动平衡的负指数分布要求的转移矩阵--《气象随机场-25》

张学文，2014/9/14-16

我们已经对均匀分布和正态分布型的分布函数所要求的转移矩阵作了粗糙的分析。现在讨论在气象随机场中也经常遇到的负指数分布型的分布函数（概率密度分布函数）。即此分布函数实际处于动态平衡时，对应的转移矩阵的特征。我们也是打算从极限分布函数反求转移矩阵。在数学上人们好像在已经知道矩阵反求其特征函数。而我们这里的要求恰好相反。

与均匀分布或者正态分布类似，这里的第一步的工作是使你规定的连续函数的自变量和函数值都适当地离散化为n个相格（区间）中的离散值，这n个区间基本覆盖自变量的全域又不至于太细致而导致最后求得的n阶矩阵太大。同时还要求这n个相格可以体现分布函数的基本特征。

对于均匀分布，其自变量是有界的，但是对于正态分布，其自变量的存在域，理论上是从负无穷大到正无穷大。我们前面的处理是把负无穷大到-3.5合并在一个相格内，而在正的方向放弃了自变量大于3.4的区间（忽略，近似）。这种处理显然是粗糙的。但是它也基本体现了我们的成功。

现在讨论的负指数分布函数的特点是自变量出现于零到正无穷大这个范围。我们既希望自变量的分割尽量是线性的（每个区间的宽度相同），又希望从0到正无穷大，这显然是存在矛盾的。

在例子中我们取了一个标准的，有关常数都=1的负指数函数，f(x)=exp(-x),最简单的负指数函数。这个函数的基本特点在自变量＞3以后函数值已经很小了。我们把自变量划分为16个区间（相格）。其具体的各个相格的边界和有关函数值列于表中：

以上是负指数函数exp(-x)在上面指定的区间内的出现概率。它是严格按负指数的定积分而计算的（比前面正态分布的差分计算要准确）。

表的第5列是负指数函数离散化为16个区间时的概率值，它也是我们求转移矩阵的各个转移系数时，利用细致平衡原则所需要的参数。最后一列是概率值的合计值。

如果我们规定转移矩阵的第2行，2列的元素值是0.98，并且根据转移速度相等的原则和第2行的合计值=1，那么我们就可以直接求得第2行的三个元素值（0.01，0.98，0.01）。随后利用细致平衡要求和每行合计值=1，我们就获得了转移矩阵的各个元素的值。鉴于这种矩阵中0很多，而且16乘16的矩阵太大（不便于在一个表格中体现），下面我们改以仅列出主对角线各个元素及其两则的元素值的方法来表达这个矩阵。（见下表）。

负指数分布要求的16*16转移矩阵的对角线元素及其左右的元素值表

转移矩阵的其他元素的值都是0。合计值=1 体现了转移矩阵的要求。

我们利用这个转移矩阵在初始分布函数的函数值仅在第3个相格=1，其他相格都=0的很不合理的初态作为开始状态进行分布函数与转移矩阵的乘法，而不断地做乘法。结果是在做了1万多次的乘法以后所获得的分布函数已经与负指数分布函数没有什么区别了。这说明，此转移矩阵是以负指数函数为极限分布的转移矩阵。

或者说我们已经从离散的负指数分布求得了对应的转移矩阵，并且此转移矩阵确实可以从任何起点逐步转移到负指数分布函数。在实验中应当补充说明一句：第2,2元素值之所以取为0.98，是因为其他比较小的值可能导致计算的某些转移矩阵中的元素值成为负值。这显然是不合理的，所以也是不可取的。

这样我们就已经逐步获得了均匀、正态和负指数这三种概率论中经常遇到的分布函数在动态平衡时所需要的转移矩阵的基本特征了。