后记:网络科学与统计物理面临的挑战与思考

网络科学的研究方兴未艾，课题不断涌现，层出不穷，好多与非平衡态统计物理密切相关，迫切需要两者紧密结合，不断创新，任重道远。在结束本书之前，我们不得不思考这样一个撩人心肺的问题：什么是下一个网络科学和非平衡统计物理需要攻克的最主要的前沿问题？涉及网络科学的问题barabasi已经作了比较明确的回答：“寻找或发现网络的动力学普适规律及其同网络拓扑结构、功能的关系”就是前沿课题之一。正如Barabasi的洞察那样：“我们需要攻克下一个前沿问题，就是理解在网络中发生的动力学过程。而问题在于我们已经有了几乎和复杂系统一样多的动力学现象。…… 尽管是多种多样的，但是否有这样的可能：这些动力学过程有着一些共同的特征？” 可以预言：动力学共性是存在的，只是迄今暂时还没有完全揭开它们普遍性的理论框架。这里必然存在丰富多彩的非平衡统计物理过程，这样找到构成复杂系统的理论基础离不开统计力学方法，也就是说，与网络拓扑结构的普遍性相比，构成网络动力学共性的基础不可能没有统计物理因素的卷入，因此，自然迫切要求统计物理方法的创新和发展。

进而，理论上自然提出问题，网络科学是否存在或需要建立一套复杂网络的基本动力学方程？这一切似乎又离不开Liouville方程，Schrodinger方程和Hamiltonian。什么又是网络的Hamiltonian的清晰形式？事实上，对任何特定的网络来说，都不过是节点及（正在生长或消灭的）特定节点间的相互作用或连线的集合，理论上，都具有一定的能量结构，所以对应的Hamiltonian表述应该具有意义，但具体的网络Hamiltonian形式还需发展。不论怎样，能谱和特征谱的分析是同网络动力学性质密切联系的，并且同网络的拓扑结构也紧密相关，这些我们在本书关于微观网络的研究中已有所表现。

网络的信息方面是否也存在着基本的普适规律？信息是不是也是网络的基本要素？网络的信息、能量和动力学三者是怎样互动？它们如何影响网络拓扑性质和功能？在回答这些奥妙问题之前，我们建议读者体会本书所介绍的量子信息基本方程，这些方程是可以看作自然界关于信息、能量和动力学三者关系的基本方程；复杂网络应该也不例外。

网络的小世界原理或许是最小作用原理在网络世界的反映，而网络的度分布幂律定律，也不应是唯一的，事实上，实际网络还存在网络的度分布服从其它函数系分布形式，不同的函数系分布对应于不同类型的实际网络，虽然许多实际网络像B A网络一样其度幂律分布具有普遍性，但是也存在一大类（微观）网络度分布是广义指数形式的分布，而网络能量往往同指数上的变量有关。

显然，搞清楚这一发展的物理过程、现象和规律，统计物理具有不可推辞的责任。实际上从本书已经知道：统计物理包含平衡态和非平衡态两部分。平衡态统计物理，经过一百多年的研究和完善，迄今博大精深，许多概念和方法已臻成熟，但是如何应用到具体网络模型上，还需要磨练和创新。比如上面提到的，如何提炼出网络模型的Hamiltonian，就是一个难点。另外还有一个统计物理概念同网络概念协调的问题。例如，在量子网络中度、度分布所对应的算子是什么？如何通过密度算子算出度、度分布期望值。另一方面，非平衡态统计物理，其目的是想从大量微观粒子的运动规律出发研究和理解非平衡态宏观系统的运动性质和演化规律，它作为一个独立活跃的学科广受重视，仅是近四五十年的事情，目前仍处于发展阶段。

统计物理的基本矛盾是：自然界所有实际宏观热力学过程都是有方向性的或不可逆的，而经典力学和量子力学所反映的物理规律都是可逆的，因而在建立非平衡态统计物理时，首先面临的难题就是不可逆性佯缪：为何微观动力学是可逆的而宏观统计热力学过程却是不可逆的？这个矛盾自Boltzmann以来一直困扰着很多物理学家。它在现有统计物理中的具体表现为：时间反演对称的Liouville方程，长期被认为是统计物理基本方程，它与平衡态统计物理中微正则、正则和巨正则三个统计系综分布函数是协调的，可用它来计算平衡态的熵。然而，当用它来推算和解释非平衡态宏观系统的不可逆性、熵增加定律和流体力学方程等时，若不补充任何假设，总不能给出正确结果，甚至根本不可能简洁统一严格地给出各种正确结果。这一点对网络科学的发展犹为重要，因为绝大部分网络，如果具有复杂性的话，是开放的，不可逆的，可以演化的，包含着随机性和确定性，可以是混沌的，自相似的，等等，非平衡态统计物理才是可能处理的手段。

于是人们自然要探索，网络科学的发展就需要我们探索：不可逆性佯谬的起源究竟是什么？是否因为统计热力学规律本质上有别于动力学规律？若是，两者究竟有何差别？非平衡态统计物理是否有基本方程？若有，它是什么形式？可否由它提供一个包括非平衡态和平衡态统一的理论框架？网络非平衡熵是否遵守什么演化方程？若是，它又是什么形式？熵产生率、即熵增加定律的微观物理基础是什么？可否由一个简明公式描述之？孤立网络系统的熵是否永远只增不减？开放网络的熵又如何推动网络演化？所这些问题，能否从一套新的基本方程出发进行统一解答之？近十多年，许多研究围绕这些问题中的部分进行了新探索，力图发现统计物理新的基本方程。

但是要获得普适的、大家都接受的平衡态非平衡态统计物理基本方程，谈何容易？Liouville方程后面新项的添加，要同复杂的系统协调，目前还无一个方程达到。

在这一问题上我们推荐子动力学方程和非平衡态系综理论。这是因为，首先，Liouville方程对平衡态封闭统计系统肯定成立，这就是说，对于任何开放体系，都可以加上环境部分而形成一个平衡态封闭系统，于是Liouville方程对这样的总系统是成立的。其次，要抛弃“求迹运算”获得待求开放体系约化分布函数的方法！本书中的工作表明：子系统的密度分布是不能简单地通过“求迹运算”而获得的。它需要系统开放体系的自由Hamiltonian的本征投影算符加上总系统Hanmiltonian的本征投影算符的共同作用才能获得，并且所满足的方程不简单是原来的Liouville方程，而是子动力学方程，原来Liouville算子已变成“中介（或碰撞）算子，他们之间通过相似变换才能联系起来，并且对应于不可逆系统，这一变换是非么正的。这样一来，由对原Liouville算子进行非么正相似变换而构造的“中介（或碰撞）算子”所带来的子动力学方程就是一个统计物理新的基本方程。当相似变换是么正时，这一方程就退回到原Liouville方程的等价表示，并且“中介（或碰撞）算子”同原Liouville算子具有相同的谱结构，那么显然，这时它们所对应的三大系综密度算子计算公式是相同的。

我们提出子动力学方程就是一个适应于（非）平衡态统计物理新的基本方程，是基于我们过去多年的工作和布鲁塞尔学派三代学者的基础工作。这个方程导出，正如大家在本书中所看到的，基本上没有动用假设，有的只是我们对Rigged Hilbert（Liouville）空间的认识和正确的算子代数的运算，所以说，应该还是可以被学界接受的。但是，子动力学的理论还需要完善和发展，比如说，函数空间扩张的理论仍需要完善，在网络模型中投影密度算子构造，等等。

这些都需要研究者具有一定的泛函分析和算子代数基础，需要较深的解析技巧。这可能是目前网络科学和统计物理研究的大环境所缺乏的。大多数人们急于挤入计算机模拟、数值计算和模型翻新的热流之中，缺乏解析计算，不知我们突破“无标度网络理论”和“小世界网络理论”还需多长时间？又在什么时候能建立“非平衡态统计物理的系综理论”？

本书作为抛砖引玉，建议研究者对“量子网络”为代表的“微观网络”给予应有的重视。目前，网络科学的主题是，98%-99%的论文都集中在“经典网络”，发展不平衡，可能是不正常和不成熟的一中表现，因为整个世界，未来极有可能是朝着 “量子信息”，“量子网络”和 “纳米技术”等的方向前进，我们如何在这当中发挥更大的作用，真正有所作为，有所创新，有所前进。

对于今后网络科学的研究方向，我们提出以下见解提供参考。

第一,进一步探索网络科学前沿问题，需要建立网络科学的统一理论框架（体系）：这需要深入探索和发现构成复杂系统基础的理论核心，形成统一理论框架，以便能够进一步揭示和深入了解发生在网络系统中的动力学过程及其物理演化机制问题，需要定性和定量地深刻理解所能感知的复杂系统的行为及其演化特性，揭示复杂网络的拓扑、动力学和功能之间的普遍联系（规律性）。因此，这必然与许多交叉领域的前沿课题密切相关。例如，探索脑神经网络是21世纪科学的主要前沿领域之一。

第二,努力突破关键问题：完善数据和发挥人的想象力、创造力和智慧。今后能否保持网络科学发展的势头取得更辉煌的成果呢？回答：是可能的！主要的关键问题之一是需要更多的完善的数据。事实上，在过去的十年里大型可靠的网络数据的突现已经促进了网络理论的发展。今后几年只要能够捕获更详细数据，并能反映发生在网络系统中的动力学过程。在此基础上，关键问题之二是，人就成为了唯一的决定因素，需要依靠全世界科学家发挥高度想象力、智慧和创造力。随着现代科学技术的迅速发展，今后肯定能够挖掘和提供更多、更完善的实际数据，所以非常需要建立最广泛的科学家国际合作网，开展最密切的国内外合作研究。相信依靠全球科学家的高度（原）独创性的思维能力和智慧，有望今后10年进一步发现复杂网络更普遍和更深层次的规律，从而获得更深入广泛的应用。

第三, 网络科学志在探索整个自然界和人类社会：我们要认识的复杂系统，既不是细胞，也不是因特网，而是整个人类社会和自然界。这是Barabasi的一个大胆的预测是：“由于我们每天所要使用的电器设备数量的增长，从移动电话到全球定位系统和因特网，它们已经捕获了我们生活中的一切行踪，在一个真正量化的方式下，我们首先能够认识的复杂系统不是细胞，也不是因特网，而是我们人类社会。”并将实现一个真正量化的定量理解。从而必将更多揭开自然界和人类的“庐山真面目”。

第四，瞄准共同目标：运用网络科学重新统一地认识众多传统科学：对于复杂网络系统而言，节点（组元）之间内在的相互连接（关系）特别重要，这正是人们关注网络的原因。 “今天，对网络系统的认识已经成为一系列传统学科的共同目标” ，也就是今后需要运用网络科学科学观来重新统一认识许多传统学科.例如：计算机科学家正在绘制下一代互联网和万维网的结构与功能；流行病学家追踪病毒传播与传输网络；细胞生物学家使用网络来研究信号传导和代谢过程及其应用；生物神经科学家正在探索完全的大脑神经网络图；……。总之，我们需要运用网络科学重新统一地认识众多传统科学。

第五, 当务之急是开展重大网络工程与实际应用研究工作：特别是涉及网络安全等问题。美国已经把“网络科学与工程”提到日程，并推荐必须大力支持研究的四大方面：（1）加强未来互联网技术的实验与理论两方面的研究工作：（2）重建和扩大实验室规模、改善实验方法与技术，加大奖励制度以促进网络工作者发挥重大作用；（2）大力培养和支持网络工程设计有关的科技活动，包括理论计算机科学、网络科学新课题和其他相关的理论课题的研究；（3）支持更广泛的交叉科学研究活动，以便深刻理解和设计未来的包括互联网在内各种网络。我们需要特别关注发达国家正在加紧开展中的“网络中心战问题”。

第六, 应用多学科的知识体系、方法论和专家系统，完善网络科学的理论体系：充分利用、借鉴和吸收众多现代科学的优势，如我国系统科学中的“综合集成方法”，或“从定性到定量综合集成研讨厅体系”， 既运用整体综合方法，又利用还原论的系统分解法，在分解后研究的基础上，进行综合集成到整体。这样相结合方法，具有灵活性、适应性和实用性。我们能否把它推广到复杂巨网络系统的研究中，值得进行试验研究。

第七，今后需要建立最广泛的科学家国际合作网，开展最密切的国内外合作研究。只有最大限度地调动和依靠全球科学家的高度独创性的思维能力和智慧，才有望在今后10年进一步揭开复杂网络更普遍和更深层次的规律，从而推动更深入的工程方面的实际应用。

第八，密切结合上述网络科学课题，深入开展非平衡统计物理的研究工作，在绪论中已经明确提出的一些重要课题。

第九, 努力探索网络科学与艺术的和谐统一：“科学求真，真中涵美；艺术审美，美不离真”，这是长期以来众多有识人士的精辟概括。为了更深刻地描述真实的自然界和人类社会，网络科学和其他科学（如纳米科学）一样，应该能够达到科学与艺术的和谐统一，即“科学与艺术是相通性和统一性。”歌德说过：“我们必须把科学当作艺术，然后才能从科学得到完整的知识。”罗素也说过：“数学，如果公正地看，包含的不仅是真理，也是无上的美——一种冷峻的美，恰像一尊雕刻一样。”由此可见，科学与艺术的和谐统一是必然的发展趋势。网络科学毫不例外，一张张美妙的复杂网络图就是一个个珍贵的艺术品。如果利用艺术的想象对复杂网络图进行再创造，提倡和促进科学家与艺术家进行共同的艺术创作，不久的将来能够达到网络科学与艺术的和谐统一，这是网络科学工作者努力探索的目标之一。

我们坚信：网络科学与统计物理在更深入的交叉研究中，一定能够相互促进，相辅相成，相得益彰，共同获得进一步发展和完善。今后统计物理理论方法在网络科学的应用中必将发挥更大的作用，推进网络科学与工程的研究和发展，以取得新的更加辉煌的成果，造福于全人类。

显然，我们面临的挑战，任重道远，但是前途光明。我们寄无限希望于我国的所有敢于研究这些问题的人们，他们一定能够作出无愧于时代的贡献。