4.对轴函数进行舍余消筛计算求取原函数的不足近似值

    取得 Pn 阶准素数数目不足近似值函数的基本思路有如下两条：

其一是根据 Pn 阶准素数是由 n 种等间距筛点筛选出来的这一要件、以及准素数分布的周期性、对称性等属性，证明出误差  的最大幅值，从轴函数中减去误差的最大幅值，得到原函数的不足近似值函数。该思路正是《破译哥德巴赫猜想之谜》一书的主要思路。

其二，是对轴函数进行舍余消筛计算，即减小轴函数分子中各因子，以达到舍弃余数、和约分掉分母中那些产生误差  的Pi之目的。实质上是用对轴函数“过量舍余”所产生的负误差增量，抵消掉（淹没掉）轴函数相对原函数的正误差，得到一个比轴函数小的、相对原函数只有负误差的、新的轴函数——“舍余消筛轴函数（）”。该新轴函数，就是我们需要的、原函数的不足近似值函数。

舍余消筛计算法，实际上是受到轴函数“天然消筛”的启发、而产生的一种数学方法。n大于1的 Pn阶轴函数分子中，由于“天然”存在着（P2 - 1）=2 这个因子，因此就“天然”地约分掉了其分母中的P1，也即“天然”地消掉了P1筛网。从此之后的Pn阶轴函数，再不会因为 x 不能够被 P1整除而产生相对于原函数值（也即真值）的小数误差了。在每个周期中点上，轴函数与原函数曲线相交、就是这一结论的证据，这时，,是一定不能够被 P1 整除的,但是原函数却没有因此而产生丝毫的误差。而这一结论不用于P1阶，其实也是这一结论的证据之一。P1阶的轴函数为  ，只要 x 不能被 P1整除，它就一定要产生0.5的小数误差。这是因为在这个轴函数分子中，尚且没有（P2 - 1）这个因子,尚且不能“天然”地约分掉其分母中的P1所致。

这个舍余消筛的过程，在前面的（4）-（7）式中已经基本完成。对最后的第（7）式右端再取整后，就是我们需要取得的舍余消筛轴函数 ，即：       

                            （8）

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前面，第（4）式之前都是恒等变换。第（4）式分子中有n个因子（Pi-1）；分母中也有n个因子Pi（其中i=1、2、3......n)。因为 Pi都是正整数，相邻两个素数的间距至少是1，所以一定有（Pi+1 - 1） Pi。因此，将第（4）式分子中，从（P2 - 1）开始的后面（n-1）个因子都将其由（Pi+1 - 1）变换为 Pi,分子就缩小成为:

                  （P1 - 1） P1 P2... Pn-1,

如此以来,第一，是轴函数肯定变小了；第二是舍弃了分母除分子产生的小数，这是因为轴函数分子在缩小的过程中、使其含有了 P1 ~~ Pn-1 这前（n-1）个 Pi，从而可以将其分母中的这些素因子约分掉，使它们不可能再产生小数误差了；第三，约分掉了分母中 P1 ~~ Pn-1这（n-1）个素因子，相当于小除了这（n-1）层筛网。所以，从第（4）式到第（5）式这一步就完成了“舍余消筛”的基本过程，其余步骤，都是恒等变换。

当然，式（4）~~（7）并没有达到彻底舍余消筛的目的，轴函数分母中还剩有一个素因子 Pn ,还剩有一层筛网就还会产生小数误差。但这时已经没有了多层筛网相互交错重叠时的情况那么复杂情况了，一层筛网产生的小数误差，其幅度是不会达到1的。

（例图2)严丝合缝地反映出了“舍余消筛”的上述效果，该图中的红色直线（B）是轴函数；深红直线（C）是舍余消筛轴函数；蓝色阶梯线（A）是原函数；绿色阶梯线（D）是舍余消筛轴函数取整的整数部分，也即最终取得的原函数的不足近似值函数，它也可以用连续函数表示为（）。舍余消筛轴函数线在[0，11]区间,仍然有高出原函数曲线的部分，但高出的幅度小于1。这反映了新的轴函数由于还存在一层筛网、仍然有相对原函数的小数误差，但不大于1。新轴函数“取整”后得到的绿色阶梯线，则在任何区间上,都没有高于原函数的蓝色阶梯线，只在[0，11]区间上，有与原函数线相互重叠的部分。 这说明新轴函数“取整”后确实消除了最后一层筛网产生的小数误差、确实成为原函数的不足近似值函数，它只能小于或者等于原函数，不可能大于原函数。

5.素数数目的下界函数 

因为满足条件的[0，x]区间之上的Pn 阶准素数，除了其中的1之外都是素数，再加上Pn 阶的n个基素数，就是该区间上的全部素数。所以，将式（8）代入前面的式（2）即得到素数数目的下界函数，即：                           

                          ( )  (9)

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将式（9）的限制条件给出的  代入式(9)又得：

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                                          （10）

下面是验证式（10）的实例 ：

x    真实存在的素数数目和素数

4      2     2 （2、3）

9      4     4 （2、3、5、7）           

16     5     6 （2、3、5、7、11、13）                

25     7     9 （2、3、5、7、11、13、17、19、23）     

36     8     11（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31）       

49     10    15（2——47）

64     11    18（2——61）                          

81     12    22（2——79）          

100    13    25（2——97）

从这些例子可以看出 ， 不仅是素数数目  的下界，而且是比较弱的下界。在 x 还比较小时，它还比较强；x 越大它将越弱。这是因为，一方面 x 越大，阶次越高，舍余的次数越多；另一方面，x 越大，相邻两个基素数间的差值可能越大，用 Pi 取代（Pi+1 - 1）时舍弃掉的越多。这两方面的因素，都决定着x 越大，下界  越弱。但从另一个角度看，是 x 越大，的下界属性就越明显、越突出、越可靠，这正是我们最需要的。它的强弱程度，对于我们现在所要研究的问题，并无决定性的影响。只要它是随着x递增的、的可靠下界函数，用它就足以解决哥德巴赫猜想这类定性分析的问题，因为，猜想命题仅仅是要证明偶数存在“1+1”，而并非要证明偶数存在着多少对“1+1”。