哥德巴赫猜想的证明

摘要：该证明通过建立“准素数”数学模型、揭示了素数等所有整数子序列、在数轴上的排列规则，为证明“猜想”鉴定了理论基础。又通过推导素数数目的“舍余消筛轴函数”，逾越了离散量无法用 x 的连续函数表达这一关碍，为利用连续函数这个数学工具对“猜想”进行定量证明，铺平了道路。再然后将数轴对折，便建立起了偶数的“整分割对序列”。仅凭该序列和准素数模型的基本属性，相当多类型的偶数，其“1+1”的存在性，便被轻而易举地证明了。剩余类型偶数的“猜想”证明，通过对“整分割对序列”进行“双筛”这种更普遍适用的方法也得以完成。证明结论是：较大偶数2a的“1+1”分割对，不少于  对；大于4的任意偶数，都能够写成两个奇素数之和。

关键词：准素数、基素数、轴函数、舍余消筛轴函数、整分割对序列、双筛法

MR（2000）主题分类：20F19；20E45

中图分类号：O156   文献标识码：A

1．揭示素数、和林林总总的合数序列分布规律的数学模型—Pn阶准素数 

设从小到大依次排列的 第 i 个素数为 Pi，定义整数中那些不含素数因子 Pi

(i=1,2…n）的整数、为“Pn阶准素数”,并称 P1、P2、…Pn 这n个素数、为

.

“Pn阶基素数”。

.

在数轴上，用筛法筛掉所有整数 m×Pi (i=1,2…n ;m=0,1,2…),存留下来的

.

正整数就是Pn阶准素数，而被筛掉的所有整数 m×Pi ,则称其为 “Pn阶准合

.

数”。

在数轴上，每个Pi的筛除点，都是从0起始、以Pi为步长的等间距点，所有Pi的

.

筛除点，都将在 x=m×P1×P2…×Pn (m=0,1,2…)点上相互重叠，这些重叠点

.

就是Pn阶准素数分布周期的周期端点。可知，Pn阶准素数是从0开始、以 Pn阶

.

基素数之积——An=P1×P2…×Pn 为周期、而周期性分布的，且是关于周期端

点、中点对称性分布的。（见例图1——P3阶准素数的筛选和分布图之第一个

.

周期）

P3阶准素数的筛选和分布图之第一个周期（其中黑点表示的是P3阶准素数）

对于筛选素数而言，由于 Pn+1 的非重叠有效筛点、总是从   点起始的，

.

所以，Pn阶准素数与素数的关系，在（0， ）区间上总是非常简单的。在

.

（0，Pn]上，唯一的Pn阶准素数 1 并不是素数，而 Pn 阶的 n 个基素数——

P1、P2…Pn，才是该区间上的全部素数；而在（Pn ， ）区间上二者关系

则更为简单，其上全部的Pn阶准素数，恰好就是其上的全部素数，二者之间没

.

有丝毫差异。所以，若取：

                                        （1）

.

则[0，x] 区间上的素数元素，是由[0，Pn] 区间上存在的n个 Pn 阶基素数元

素、和（Pn ，x] 区间上的全部 Pn 阶准素数元素、这两部分构成的。为了方

便，这n个 Pn 阶基素数也被称为满足式（1）的 x 的基素数。由此可以推知,

[0，x]上的素数数目π(x)、与同区间上的 Pn 阶准素数数目πn(x)间的关系

.

为:                                (2)

.

由此可见，建立了Pn阶准素数模型,并利用该模型研究清楚了（0， ）

区间上的 Pn 阶准素数的分布规律，就研究清楚了（0， ） 区间上素

数的分布规律。又因为 Pn下标中的n 是可取无穷大自然数的，所以，用 Pn 阶

.

准素数模型，即可研究清楚无穷大素数的分布规律。从而为在无穷域内证明哥

.

德巴赫猜想等数论命题，鉴定了坚实的理论基础。

.

简而言之，Pn 阶准素数模型是一个认识整数序列及其子序列——素数序列、和

. 

林林总总的合数序列之分布规律的理论工具。是整数域中、由低阶通向高阶、

.

由有限通向无穷的一个阶梯式空间隧道。

.

2．Pn阶准素数的数目πn(x)的表达式、及其轴函数πn’(x)

根据文献[1] 93页的表达式，[0，x]区间上的Pn阶准素数的数目πn(x)，为：

                 （3） 

式（3）是准素数的数目πn(x)的准确表达式。 由于准素数的数目πn(x)是一种离散分布量，其函数图象是一种阶梯状折线（见例图2-A），所以它不可能表示成为x的连续函数。πn(x)的离散属性表现在式（3）中的这些取整符号上，取整符号使其图象成为了阶梯状折线、使其成为了x的非连续函数。式（3）的非连续属性使其只能用于求数值解，无法按连续函数的运算法则对其进行变换、用它求得理论解。

但如果去掉式（3）中这些取整符号，虽然它变成了x 的线性连续函数πn’(x)（见式（4）和例图2-B)，从而能够按连续函数进行运算了，但变得的πn’(x)又不再是准素数数目πn(x)的准确表达式了，只能算做πn(x)的一个近似表达式。而且比较例图2中的A图线和B图线可知，该近似表达式的值，在有的点上比真值小、在有的点上又比真值大，它既非真值之上界函数、也非真值之下界函数，所以，πn’(x)尚不能直接用于理论证明。

如果能够进一步从该πn’(x)中推演出一个πn(x)的不足近似值表达式，则它既是x的连续函数，又是准素数的数目的下界函数，只要它是随着 x 递增的，它就以最简单的形式证明了素数的无穷性，它就为哥德巴赫猜想的证明鉴定了基础。

比较例图2中的A图线πn(x)、和B图线πn’(x)可知，二者存在着很多交叉点，即它们在很多点上值是相等的。这是因为，式（3）中的取整符号，只有在其内的算式值存在小数部分，且正、负项小数部分抵消不完时才有意义。如果其内算式的分子中存在着足够多个Pi因子，从而能够约掉分母中的所有Pi、使分母成为 1，取整符号内算式的值将不再存在小数部分。这时取整符号就失去了其存在的意义，就可以无代价地将其去掉了。

例如，当x中含有n个Pn阶基素数因子 Pi 时就是如此。如例图1表示的P3 阶准素数，当取 x 等于 P3 阶周期长度 A3=30 之整倍数：0、30、60、90…时，x 即含有其3个基素数因子 P1、P2、P3，它们便约掉了分母中的P1、P2、P3，使式（3）的取整符号内，没有了小数部分，有无取整符号的计算结果都相同，都是π3(0)=0、π3(30)=8、π3(60)=16、π3(90)=24、…,这些点的连线就是例图2-B的π3’(x) 直线，其斜率等于4/15。而式（3）表示的π3(x)阶梯状曲线，就缠绕在该直线π3’(x)上，二者具有一种伴随关系。不仅在每个周期端点上二者相交，在n > 1以后的每个周期中点上，二者也是相交的，这一点根据准素数关于周期中点对称分布、很容易便得到理论证明。

依次类推，任意的Pn阶准素数，其准素数数目πn(x)函数、都存在着一条与之相伴随的直线函数πn’(x)。在每个周期端点和中点上，πn’(x)都与πn(x)值相等。阶梯状函数曲线πn(x)，就象藤缠树那样缠绕在直线状函数曲线πn’(x)上。我们定义直线函数πn’(x)、为准素数数目真值函数πn(x)的伴随轴函数，或者简称为轴函数或轴。轴函数的数学表达式为：

                           (4)

Pn阶准素数数目真值函数πn(x)、与其的伴随轴函数πn’(x)的关系为：

（1）       当 x = m×An÷2 （m = 0、1、2……）时为：

                                                             （a）

（2）       当 x为任意值的一般情况下为：

               （b）

（b）中的Zn（x）是πn’(x)与πn(x)之间的误差函数，表示在 x 点上πn’(x)比πn(x)多了Zn（x）个。在 x 等于分布周期的每个端点、中点坐标时，一定有Zn（x）=0；  而 x 为任意值时，Zn（x）为正、负交错误差。 

.

3．“舍余消筛轴函数”—πn”(x)与准素数数目的不足近似值—[πn”(x)]

    在x为任意值时，轴函数πn’(x)与 准素数数目πn(x)之间存在交错误差Zn（x）的原因，是这时 x 中，不含有某些基素数因子Pi，从而分母中的基素数因子Pi没能被全部约掉，使取整符号内的计算式中存在小数部分、且相互抵消不完。这样以来，无取整符号的轴函数πn’(x)、与有取整符号的原函数πn(x)之间，自然存在着误差。由此可知Zn（x）实际上是一种由分母中 Pi 产生的小数误差。约掉了分母中的 Pi，肯定就消除掉了这种误差。在周期端点上，正是因为 x 中含有n个基素数因子Pi，自行地约掉了分母中所有的 Pi 因子，从而消除掉了这种小数误差。

    那么，在周期中点为什么也一定能够消除掉小数误差Zn（x）、使πn’(An/2) = πn（An/2）呢？在第一周期的中点上，显然x = P1×P2×P3…×Pn÷2 = P2×P3…×Pn, 是一个奇数，它能够约掉分母中的P2、P3、…Pn，但绝不可能约掉分母中的P1，那么P1所产生的小数误差是怎样被消掉的呢？

从式（2）看，只能是在正、负项中,P1 所产生的小数误差恰好相互抵消掉了；而从式（3）看，答案就十分简单了，原来，分母中的 P1 是被（1-1/P2）=2/3 的分子 2 约掉了，难怪只有在n > 1、已有（1-1/P2）存在的情况下，才有πn’(An/2) = πn（An/2）。

周期中点的这种现象，给了我们一个很有用、很重要的启示：那就是约掉分母中的基素数因子Pi、消除具有正、负交错属性的小数误差，不依赖 x 中含有Pi进行约分、也可以达到该目的。因为，可利用连乘积（1-1/P1）×（1-1/P2）…×（1-1/Pn）分子中自行存在的 Pi 进行约分。甚至可以人为改造该连乘积分子，使其含有需要的 Pi 因子，约掉分母中的 Pi，铲除掉这些产生交错误差Zn（x）的根源，自然就消除了交错误差Zn（x）。

虽然人为地改造又会产生新的误差，但这种新误差之正、负是可以人为控制的。若在一致减小连乘积的分子的过程中进行改造，就可以保证所产生的新误差始终是负的。就可以靠新产生的负误差，淹没掉Zn（x）曲线中大于 0 的部分，得到准素数数目πn(x)的不足近似值。该不足近似值便可用于“猜想”命题的证明。

下面，我们用“舍余消筛法”改造准素数数目πn(x)的轴函数πn’(x) 。即展开πn’(x)，将其连乘积分子中 i > 1 的各个（Pi+1-1）因子，用等于或者小于它的Pi取代，使分子一致变小、从而能够将分母中的 Pi 约掉，最终约掉分母中除了Pn以外的其它所有 Pi，铲除掉产生交错误差Zn（x）的这（n-1）个根源。用Pi取代（Pi+1-1），相当于舍弃用分母中的 Pi 除分子产生的余数；约分掉（n-1）个 Pi，相当于消除这（n-1）层筛网。因此称其为“舍余消筛法”，改造后的轴函数称为“舍余消筛轴函数”用πn”(x)表示。则有：

              [展开]

                 [错位]

                       [舍余]

                                                 [消筛]

                                             （5）  

式（5）给出的就是Pn阶准素数数目πn(x)的“舍余消筛轴函数”—— πn”(x)。该函数用“舍余”和“消筛”这两个措施，通过铲除产生交变误差Zn（x）的根源Pi，从而消除了由这些Pi产生的正负交错变化的误差Zn（x），只保留着Pn产生的交变误差、和“舍余”产生的、负的、新误差。

πn”(x)再经过取整，就进一步消掉了Pn所产生的交变误差。所以πn”(x)的整数部分[πn”(x)]，就是Pn阶准素数数目πn(x)的不足近似值 。即有： 

                          (6)  

“舍余消筛法”给出的结论十分简单，它证明[0，x]区间的Pn阶准素数数目，不少于其最大基素数Pn在该区间上的筛除点数目。该Pn阶准素数数目的不足近似值，也很容易用x的连续函数表示为：πn(x) ≥（x/Pn–1）。

     例图2将P3阶的上述四种函数图线画在了同一坐标系里，使它们之间的关系一目了然。该图严丝合缝地证实了上述的理论分析结果。

     例图2:A——π3(x)、B——π3’(x)、C——π3”(x)、D——[π3”(x)]函数图线

该图中的四种函数图线依次为：

阶梯线A—P3 阶准素数数目函数π3(x)。它是P3阶准素数数目随 x 变化的函数图线。

斜直线B—P3 阶准素数数目轴函数π3’(x)。它是脱掉π3(x)中的“取整符号”，所得到的准素数数目π3(x)的一般近似值函数图线。它显示了准素数数目随 x 递增的总趋势。

斜直线C—P3 阶准素数数目舍余消筛轴函数π3”(x)。它表明“舍余消筛”能使一般近似值图线B向下偏转、趋近于不足近似值图线的位置，仅仅因为Pn尚未消掉，它未能到达。

阶梯线D—P3 阶准素数数目不足近似值函数[π3”(x)]。再“取整”消除了仅存的Pn所产生的交错误差，便使近似值图线最终达到了不足近似值图线的位置。通过从A到D的迂回，得到了准素数数目的不足近似值图线D。若连接阶梯线D的各下峰值点，就得到该不足近似值的线性连续函数表达式（x/Pn–1）之图线。它是一条与直线C平行的直线。

    由式（6）的结论很容易得到[0，x]区间上素数数目的下界函数。只要将式

（6）代入式（2）即得：

                                      （7）

再将式（1）左端给出的   代入式（7）又得：

                                             （8）

式（8）是素数数目的一个下界函数表达式，它是一个比较弱的下界，经得起任

意x值的检验。当x ≥ 9时，n ≥ 2，从而 n -2 ≥0 时，如果允许下界更

弱，该下界函数还可以表示得更为简洁，可表示为： 。

.

. 

4．偶数2a的“整分割对序列”及部分类型偶数2a的哥德巴赫猜想之证明

为了便于讨论哥德巴赫猜想的证明，以下一律取 x 等于任意偶数 2a（a 为任

.

意自然数），并设定： ，  即设定： 为 2a 的基

.

素数。

 .

由上述准素数模型的概念可知，用筛法筛选素数，只能在完整的、有序排列着

.

的整数序列中进行，如果整数序列的完整性、有序性已被破坏，筛法将无法

.

进行下去了。

.

由筛法的理论结论式（3）—（6）又知，筛法结论公式，只能给出存留下来的

.

素数数目，并不能给出存留下来的每个素数的数值。如果试图先筛出素数、再

. 

在其中寻找之和等于偶数的双素数对，由于筛出的只是素数数目、而并非素数

.

元素的值，寻找将无法进行下去。

 .

以上这两个原因决定了,要用筛法完成哥德巴赫猜想的证明，必须将对偶数的分

.

割、与对其分割对的筛选这两个过程，有机地结合起来。在不破坏整数序列的

.

完整性、有序性的前提下，先完成对偶数的分割，先设法建立起偶数的“整分

.

割对序列”，然后再从该序列中筛选出双素数对。如此以来，便避开了筛法不

.

能够给出素数数值之短，充分利用了整数序列具有最便于筛选的排列规则之

.

长，将筛选素数的传统筛法，发展成为筛选双素数分割对的“双筛法”。

. 

具体操作也很简单，设2a为任意偶数，假想地将数轴绕其上的a点对折，对折点

.

两边位置对称的整数点相互重叠，它们就是偶数2a的一对对“整分割对”，它

们在数轴上整齐有序地排列着,构成了“整分割对序列”(见例图3)，它们可以

表示为：

                         （9）

             例图3——偶数44的“整分割对序列”图

        （将数轴绕半偶数点22对折，得偶数44的23对整分割对。其中：

         13—31、7—37、—41为素数对；1—43为非素数之准素数对。)

 式（9）给出的整分割对数目为（a+1）对，但是,当a为偶数时，其中的偶数分

割对必然比奇数分割对会多出一对，在进行保守计算时，多出的这对偶数分割

.

对应该减掉，所以,在以下证明中,我们将整分割对数目一致视为a对。

式（9）即已经显露出了先分割得到的“整分割对序列”之的优势，其优势在于它将“猜想”这个头绪纷乱的复杂问题简单化了。使其简化到、只要根据 Pn阶准素数的基本概念、对式（9）中的唯一变数 j 的值，进行分析和适当选择，即可找到很多类型偶数2a的“1+1”,完成这些类型偶数的哥德巴赫猜想证明。

根据Pn阶准素数的属性和前面  的约定,  这里的“整分割对序列”中的每对整数（a±j），只要它们不能够被每一个基素数Pi整除，它们就一定是素数（或1）。而整数对（a±j）中的a和j，只要既不是二者都能被某Pi整除，也不是不是二者都不能被该Pi整除，则（a±j）就一定不能够被该Pi整除。由此即可证明，下列四类偶数2a，一定存在着如下的“1+1”分割对： 

《1》当 a 不能被 n 个基素数 Pi 中的任何一个整除时，

     则 a 为素数, 取 j = 0 所得的 （a）+（a），即为2a的“1+1”。 

《2》当 a 能够被 n个基素数 Pi 都整除时，

     则（a±1）为素数, 取j=1所得的（a-1）+（a+1），为2a的“1+1”。 

《3》  当 a 仅仅不能被 n个基素数 Pi 中的某一个——（Pi0）整除时，

则（a±Pi0）为素数,取j=Pi0 所得的（a-Pi0）+（a+Pi0）,为2a的“1+1”。 

《4》  当 a 不能被n个基素数Pi中的Pi1、Pi2… 整除、且（a- Pi1×Pi2×…)>1时，

则（a ± Pi1×Pi2×…）即为素数, 取 j=Pi1×Pi2×… 所得的:

（a - Pi1×Pi2×…）+（a + Pi1×Pi2×…），为2a的“1+1”。

这里，对于偶数2a的分类，是按照a含有基素数 Pi 因子的个数进行的,这4类含含盖着包括两个极端情况在内的所有类型偶数。而其中未能被确定出“1+1”的偶数，仅是第《4》类中、那些不能够满足附加条件（a - Pi1×Pi2×…)>1 的部分偶数，将这部分偶数单列出来，列为第《5》类偶数。

要寻找第《5》类偶数的“1+1”，可通过尝试减少 Pi1×Pi2×…中的 Pi 因子个数；或者在其中用比较小的Pi、取代比较大的Pi，使该乘积减小到满足附加条件的程度，这样进行反复的试算来完成。但对于第《5》类偶数的“猜想”之证明，则需要根据筛法对整分割对的存留率大于0、存留数大于1，这种普遍适用的、定量的方法，进行证明。以下，我们用“双筛”“整分割对系列”的存留数目，来证明仅剩的第《5》类偶数之“1+1”的存在性。

事实上，我们用式（9）完成对任意偶数2a的分割、建立整分割对序列时，并没有破坏整数序列的完整性、和其排列的有序性，数轴只是在a点转了180度而已，这对下一步筛除并没有任何不利影响，筛除前进的方向，在该点也转过180度即可。可见，该分割方法，为下一步的筛除保留了原有的良好基础。 

.

5．用“双筛舍余消筛法”证明仅剩的第《5》类偶数的哥德巴赫猜想

用前面的单筛法在[0，2a ]上筛除，只能筛掉其上所有的合数、存留下除2a基素数之外的其他素数和1（这里将1暂且视同为素数）。

在2a能够被其n个基素数Pi都整除时，由于每个Pi的筛点都关于a点对称分布，在这种情况下，合数一定是成对存在的，存留下的素数也一定是成对存在的，不存在由一个合数和一个素数构成的“孤合素分割对”。所以，用传统筛法筛除后，存留下来的素数数目除2，即是“1+1”的对数。

但是，一般情况下, 2a不能够被其所有奇基素数Pi整除。而不能整除2a的Pi，其筛点关于a点是不对称的。这样的偶数一般会有“孤合素分割对”存在，其“1+1”的数目，必少于存留素数数目的二分之一，用传统筛法已经不能得到“1+1” 数目。必须用不能整除2a的基素数Pi进行“双筛”，方能得到“1+1” 数目。

所谓“双筛”就是“筛一减二”，就是将单筛计算式中的 （Pi-1）/Pi 改为（Pi-2）/Pi 即可，以便在筛掉每合数时，“株连”掉与之构成整分割对的那个整数，使“孤合素对”中的两个整数，同时被筛掉。

在2a不能够被所有奇基素数Pi整除时，“孤合素对”最多、需要“双筛”的Pi最多，筛掉的整数数目最多，所以筛除后剩余的“1+1”数目将最少。

那么，对于任意的偶数2a，如果将其都视同为不能够被所有奇基素数Pi整除的偶数，都用（n-1）个奇基素数Pi进行“双筛”，那么该双筛计算得的“1+1”对数计算值，只能是其真值的不足近似值。绝不可能成为其真值的过剩近似值。

可见，“双筛”与“单筛”之间只有量值的差异，并没有根本性质的差异，“双筛”仅仅是“单筛”结果的另外一种数据处理而已。二者数学表达式的所有基本属性完全相同，可以进行完全相同的数学处理，推导出任意偶数2a的双素数分割对“1+1”数目之不足近似值。

将[0，2a ]区间的“双筛轴函数”用 表示；将“双筛舍余消筛轴函数”用

.

表示；将2a“1+1”对数真值、用 表示，则与单筛的式（5）之推导过程完全相同，有：

                                                [展开]

                                                       [错位]

                                                                               [舍余]

                                                                                                               [消筛]

                                                                                                                                              (10)                 

式（10）与式（5）类似，给出了2a“1+1”数目 的“双筛舍余消筛轴函数” 该函数用“舍余”和“消筛”这两个措施，通过铲除了其轴函数 产生交变误差的根源Pi，从而消除了由这些Pi产生的、正负交错变化的、误差，只保留着Pn产生的交变误差、和“舍余”产生的、负的、新的误差。

再经过取整，就进一步消掉了Pn所产生的交变误差，只剩下“舍余”产生的负误差。所以a/2Pn的整数部分[ a/2Pn]就是2a“1+1”数目 的不足近似值 。所以有：  

                        （11）

“双筛舍余消筛法”的证明结论式（11）证明，偶数2a 的双素数分割对“1+1”，除由基素数Pi构成的外，仅由其余素数构成的“1+1”对数，就不少于[0，a]区间上 Pn 筛点数目之半。偶数2a“1+1”数目的该不足近似值，也很容易用x的连续函数表示为：（a/2Pn-1） 。

偶数2a双素数分割对“1+1”数目之下界函数[a/2Pn]，是针对2a不能被所有奇基素数Pi整除的最不利的情况的。所以，对于任意的2a，[a/2Pn]只能是其“1+1”数目之较弱下界。只有那些确实不能被所有奇基素数Pi整除、且值较小的偶数2a，[a/2Pn]才可能成为其“1+1”数目之较强下界。这是因为在 n≤3 时，一定有（Pi+1-2）=Pi，这时算式无须“舍余”即自行“消筛”，算式[a/2Pn]并未发生人为衰减。而当2a越来越大时，[a/2Pn]的人为衰减积累量越来越大，其只能成为2a“1+1”真值之越来越弱的下界。

例如，例图3所示的偶数44，其最大基素数是 Pn=5，用式（11）算得其“1+1”数目下界为[22/2×5]=[2.2]=2，而其实际的“1+1”分割对有：13+31、7+37、1+43 这3对，真值大于式（11）算得的下界 2。其中 1+43 这一对虽不是双素数对，但它在式（11）的含盖范围之内；而另外的 +41 这一对，虽然是双素数对，但它是由基素数3参与构成的双素数对，因而又不在式（11）的含盖范围之内，理应除外。

另外，考察10-168的这80个偶数，全部与式（11）给出的结论相符。其中只有16、28、40、46、56、68、86、88、92、116这10个偶数，其“1+1”的数目真值较小、等于[a/2Pn]，其余87.5‰的都大于[a/2Pn]。且“1+1”的数目真值较小的这10个偶数中，9个在前42个偶数之中，属于相对较小的偶数，只有116这一个是第54个偶数。（偶数10-168的“1+1”分割对见《破译哥德巴赫猜想之谜》附件3）

将式（1）左端给出的  及 x=2a 同时代入式（11），并考虑到原来暂且视同为素数的1所构成的（1）+（2a-1）分割对、需要人为扣除掉，又得：

                （12 ）                        

由式（12）可得：当 2a ≥ 64 时，  

                              （13）

   式（13）和排查10-168的结果证明：

不计偶数2a基素数Pi参与所构成的“双素数分割对”，大于4的任何偶数2a，至少还存在着一对“双素数分割对”—“1+1”。即，大于4的任何偶数，都一定能够写成为两个奇素数之和。

参考文献：[1].华罗庚. 数论导引. 北京. 科学出版社. 1979.

[2].潘承洞. 潘承彪. 初等数论. 北京大学出版社. 1992 .第369、378、页.

[3].冯金岳.中学数学手册. 北京大学出版社.1998. 第229页