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北大数院《应用随机过程》教材中的基本概念和研究方法错误

已有 2993 次阅读 2020-6-9 10:46 |个人分类:随机过程|系统分类:科研笔记| 随机过程

《应用随机过程》是钱敏平、龚光鲁、陈大岳和章复熹四位教授为北京大学数学学院三年级学生合编的教材。由于四位作者对随机过程定义的理解出现了严重的概念性错误,因此教材在描述、分析和解决随机游走、泊松跳跃和布朗运动问题时,竟将一个粒子在不同时刻的位移(时间函数)错误地抽象为随机变量,导致研究对象从一个粒子变为大量粒子,并用大量粒子的空间统计特性来描述一个粒子的时间运动规律,因而得出了一系列与事实不符的错误结论。

随机过程是定义在Ω×T上的二元函数X(ω,t)对于固定的时间tX(ω,t)为随机变量,简记为X(t)Xt;对于固定的ωX(ω,t)为时间t的一般函数,称为样本函数或样本轨道,简记为x(t)。注意:随机变量X(t) Xt并不是时间t的函数,它只表示所有样本函数x(t)t时刻的取值。

1为随机过程定义的示意图。图中的三条样本函数曲线可分别看成是三个粒子的位移时间图像,每个粒子在t时刻的位置均为时间t的函数。所有粒子t时刻的空间位置(图中红点)就是随机变量在t时刻的状态。因此,随机过程既可看成是“所有随机变量的集合”,也可看成为“所有样本轨道的集合”,而样本轨道只是随机过程集合中的一个元素。

随机过程定义1.png

图1 随机过程示意图

  从上图可以看出,随机变量和样本函数是两个具有完全不同定义域和值域的单值函数,在实际应用时,随机变量用来描述大量粒子的空间统计特性,样本函数用来描述一个粒子的时间运动规律。

  《应用随机过程》新版教材是这样定义并解释随机过程基本概念的:

随机过程stochastic process是一个运动的粒子。假设我们最初将粒子放置在位置X0然后将之挪动到位置X1然后再将之挪动到X2……。于是,粒子在空间S中运动的轨道便成为一个随机变量序列X0X1X2,…其中Xn表示该粒子在时刻n即运动n步后时所处的状态(或位置)我们称这个随机变量序列为一个离散时间参数的随机过程。随机过程的取值是S中的一条轨道,因此,我们可以将随机过程理解为一条随机轨道

错误分析:根据随机过程的定义,随机过程是大量样本轨道的集合,随机变量是所有样本轨道在某一时刻的取值,一条样本轨道在不同时刻的取值是时间的函数,而《应用随机过程》教材却将随机过程理解为一条样本轨道,并将一个粒子在不同时刻的位置(时间函数)错误地抽象为随机变量,表明四位作者根本没有弄懂随机过程的定义,也没有搞清楚随机过程、随机变量和样本函数三者之间的关系,最让人不可思议的是,四位作者竟然都不知道一个粒子在不同时刻的位置是时间的函数,这可是中学生都明白的基本常识

基于对随机过程定义和概念的错误理解,《应用随机过程》教材在第一章马氏链、第二章跳过程和第三章布朗运动中,分别将一个粒子的随机游走位移、泊松跳跃位移和布朗运动位移错误地抽象为随机变量,并用描述大量粒子空间位置分布的随机变量统计特性来描述一个粒子的随机运动规律,势必会得出一系列与事实不符的谬误,《应用随机过程》为读者解决实际问题提供了错误的概念、方法和理论

《应用随机过程》教材的第一句话就表明了作者的研究方法,“在面对实际问题时,人们往往是将所关注的量当作随机变量来处理”。事实上,在面对实际问题时,首先要具体问题具体分析。当关注一个粒子(质点)的位置随时间变化的规律时,只能采用牛顿质点运动学研究方法,将一个粒子在不同时刻的位置抽象为时间函数;当关注大量粒子位置在空间的分布规律时,才能将大量粒子在某一时刻的空间位置抽象为随机变量。


《应用随机过程》新版教材

《应用随机过程》第一章.pdf




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