“悖论”是英文paradox一词的意译，从字面上讲就是荒谬的理论。弗兰克尔和巴-希勒尔在其《集合论基础》一书中给出了悖论的定义：如果某一数学理论的公理看上去是真实的，它的推理规则也是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论，在逻辑上不能自洽。

随机游走（Random Walk）是《随机过程》教科书中的一种基本随机过程。假设一个质点在数轴的整数点上做随机运动（图1），以S(n)表示质点在第n步时的位置，则S(n)可以描述一维简单随机游走可能到达的所有位置。

图1 一维简单随机游走示意图

下面我们根据一维简单随机游走的位置，计算随机游走的位置方差D[位置]。

（1）根据随机游走定义计算位置方差：

位置= S(n)

D[位置]=D[S(n)]=n≠0

上式表明：n大于等于1时，随机游走所有可能到达位置的方差不等于零。

（2）根据随机游走常返性计算位置方差：

随机游走常返性表明，随机游走可以返回原点无穷多次，也就是说，必定会发生“位置等于零”事件，即

位置=0

根据上式直接计算位置方差，有

D[位置]=D[0]=0

上式表明：n大于等于1时，随机游走的位置方差会无穷多次等于零。

显然，根据随机游走定义和随机游走常返性计算出的位置方差自相矛盾，表明《随机过程》随机游走理论包含悖论，在逻辑上不能自洽。

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