1引言

如所周知，通常将实数的连续性定义为稠密性加完备性。然而，本文发现，该定义并不恰当，这是因为，稠密和完备的实数之间永远有间隙，因而本文将实数存在间隙这一现象定义为实数的L-离散性。在此基础上容易证明实数是可数的。本文还给出了一种简单可靠的列出实数的具体的方法，并在L-离散的基础上讨论了数学基础的重建。

2  实数的L-离散性和可数性

定义1  对实数轴上任意两个实数点A 和B, 若其距离

d =|A-B|>0，                                                （1）

则称该实数轴是L-离散的。

      有些教科书上（例如华师大的数学分析）常常这样描述稠密且完备的实数轴：用一把没有厚度的刀劈向实数轴，总能劈到一个实数点。这容易给人以实数轴是没有间隙的印象，否则就可能劈到间隙。显然，没有间隙的实数轴不是L-离散的。这是因为，若间隙为零，必存在两个实数点，其距离d = 0,不符合定义1。

    然而以下证明表明，这样的实数轴实际上是不存在写的： 

    定理 1 实数轴是L-离散的。

    证明（反证）：假定实数轴不是L-离散的，即在实数轴上存在A 和B 两个实数点，其距离

d = |A-B|=0,

则有A=B 成立。即A 和B 是同一个实数点，与假定矛盾，故实数轴是L-离散的。    证毕

    由于实数点互不相同，符合集合定义对元素互不相同的规定，所以可以将实数轴的实数点看作集合的元素，从而构成L-离散的实数集。

    并不是每一个实数点的数值都可以用数值来精确地表示的。例如，我们无法给出圆周率的精确数值。然而，我们可以用一个符号（例如π）来表示。

    定理 2 实数点是可数的。

    证明：任何实数点的数值都可以用一个符号来表示。根据定理1，这些数值是互不相同的，因此表示数值的符号也是互不相同的。可以将这些互不相同的符号一一列出并用自然数加以编号，从而可使得这些符号所表示的实数点与自然数一一对应，即实数点是可数的。                                                               证毕

虽然实数点是可数的，但列出实数点的方法却是可以多种多样的。例如，对于区间[0，ζ]，当ζ为有理数（或无理数时）时，

                                                       (2)

显然都是有理数（或无理数），去除其中的重复数字，就可将区间内的有理数（或无理数）一一列出。

 由于有理数和无理数都是可数的，故（2）式也证明了实数点是可数的。

 当我们用上述方法列出有理数（或无理数）时，似乎数轴将会被有理数（或无理数）填满，而无理数（或有理数）似乎就会消失，显然这是不合理的。但根据定理1，由于任意两个实数之间的距离不会等于零，数轴并不会被有理数（或无理数）填满，所以这种情况并不会发生。

 其实，对于L-离散的实数轴上的实数，其可数性是不证自明的：实数轴本身就将实数点用几何方法一一列出来了。

    离散的实数轴上的L-离散性由实数点之间的距离决定，而后者又与单位长度上实数点的多少有关，因此，

     定义2单位长度上的实数点的数目n 的倒数

     r =1/n                                                    (3)

称为实数点的一维L-离散度。

易证

    性质1）

    r = d_a                                                     (4)

d_a：实数点之间的平均邻距（相邻数之间的距离）

    由性质1可见，对于任意指定的L-离散度，都有相应的相邻数和平均邻距；而当L-离散度变化时，相邻数和平均邻距也随之变化。

    性质2）若单位长度线段上的实数点数目是无限的，则一维L-离散度是一个大于、趋于、但不等于零的无穷小量：

lim_n→∞ r = 0                                                (5)

    性质2的证明：根据性质1，随着单位长度上实数点数目的无限增加，平均邻距趋于零，但根据式(1)，平均邻距不小于零，而根据定理1，平均邻距不等于零，故这时一维L-离散度是一个大于、趋于、但不等于零的无穷小量。                                                          证毕

    由性质2可见，一维L-离散度趋于零的过程是无法结束的，因此是一个无法完成的潜无限过程。也就是说，并不能用已经完成了的无限即实无限来描述实数轴。

    由于邻距可以任意小，例如，无论两个实数如何接近，我们总可以在它们之间找到其他实数，而且，在实际计算中，我们并不需要无限小的邻距，例如，当我们计算物体的能量时，只要保证邻距不大于普朗克常数即可，所以在实际计算中，我们感觉不到实数点的L-离散性。

    当然，感觉不到实数点的L-离散性并不意味这种离散性是不存在的。

    有了实数点L-离散性的概念，很多事实都可以得到合理的解释。

    例如，在不同长度的线段上，若希望各线条上有一样多的实数，则各线段的L-离散度就会不同。

                                      图1邻距（弧长）

    如图1所示，邻距（弧长）的比值恰为同心圆的半径之比时，才能在表示两个同心圆的实数点之间建立一一对应关系并保证它们具有一样多的实数。

    一维L-离散度的概念很容易推广至二维、三维……的情形，这样，在邻距相同的情况下，不会出现直线上的点的数目与平面等上的点的数目一样多之类的反直觉的结论。

    定义3 每一维都具有L-离散度的m维空间称为m维L-离散空间。

    m维L-离散空间具有以下性质：

    1）空间点之间有间隙即存在不等于零的邻距；

    2）邻距可以是常数（例如式(3)中的n为常数时）也可以是函数（n为函数时）或无限小（如式(3））。

    3）当邻距是无限小时，空间是动态的。

     最后一点特点有用，例如，如果劈到空隙，可以动态地补一个实数上去，从而使得实数轴是“准连续”的。

    3 在L-离散空间基础上重建数学基础
   基于L-离散性概念重建数学基础并不困难。 例如，可以重建一个简单且可靠的测度论。由于可以在测度中考虑实数的邻距，例如，我们可以简单地通过相邻距离的总和定义一维测度M

                                                    (6)

故该理论不需要极其牵强附会的诸如不可数个零的总和可能不等于零之类的并未严格证明过的说辞。

    文献[1]给出了一个用平均邻距(L-离散性）来解决数学问题的示例，该文首次指出了在实数轴上，当离散度无限小时，有理数是单独存在的，无理数则成片存在，因此不能用戴德金分割来定义无理数。形成上述现象的原因在于，当离散度无限小时，有理数之间的距离远大于无理数之间的距离（见文献[1]的定理1），而后者恰与无理数与有理数之间的距离相等。

4 结论和讨论

  虽然本文的推导十分简单清楚，但却得出了实数是L-离散且可数的等与传统数学完全不同的结论。

  那么，究竟谁对谁错呢？

    由于本文的式（2）已经将实数一一列出，可以说是已经用事实宣告了实数不可数论的破产，而与此相关联的所谓连续统假设（CH），超穷数理论等自然都不再成立。

    其实，国内外对康托的质疑尤其是对对角线法的质疑由来已久（见[2]中的参考文献），只是一直没有被主流数学界采纳。但式（2）的出现或许会改变这一局面。

    那么，康托的理论错在哪里呢？人们可以从他的错误中得到什么教训呢？

    康托认为，假定实数可数并将其全部列出，则总能找到一个不在这些实数里的新数，形成矛盾，所以他认为，实数是不可数的。

     然而，他真的做到了这一点吗？

     我们先从简单的情形开始，然后一步一步扩展。

     先看一个较为简单的有限小数的情形：2位二进制小数总共有4个，即可列出以下4个二进制小数

x1： 0.1 0

x2:  0.0 0

x3:  0.1 1

x4:  0.0 1

其中的对角线元素是下划线所示的 1，0，令

b=0.10,

取反后得到

b’= 0.01

显然，b’并不等于对角线所经过的x1,x2之中的任何一个，于是康托认为这是一个“新数”。

     其实，康托只是用对角线法证明了b’不是x1和x2中的一个，却并没有证明不是x3和x4中的一个。实际上，这并不是一个新数，而是早已经列出的x4！

     需要强调的是：上面的例子是2位小数，所以不可能有第3、4位小数。而如果要对角线能够保证与4个数都不一样的话，就需要4位小数，显然，对角线“不够长”，造成了矛盾！为了叙述方便，我把上述对因为角线不够长造成的矛盾现象称为“对角线短缺矛盾”。对于2位有限小数，对角线短缺了2位。

     要注意的是，在研究过程中，在某一步没有彻底研究清楚之前，是绝对不允许跳到下一步的，否则很容易造成逻辑循环或错误。比如，我们现在讨论的是2位小数，发现对角线不够长，那是否可以延长对角线呢？但这样做就势必要引入3，4位小数，而这是不允许的。这是因为，引入第3、4位小数虽然似乎可以解决对角线不够长的问题，但其实只会使得对角线更不够长：既然小数位数增加了，可以列出来的小数数目也增加了，例如，如果延长到3位小数，可以列出来的小数数目就不是4个而是8个了，结果对角线更加不够长！就好比我今天钱不够用了，就用明天的钱，那明天呢？岂不是更不够用了？

     所以我们只能严格地、老老实实地一步一步算！！

     这样算下去，3位，4位，5位…乃至任意位二进制小数都存在对角线短缺矛盾。一般来说，n位二进制小数有2ⁿ个，对角线法只能保证b’不在列出的前n个数里面，却并不能保证不在剩下的2ⁿ-n个数里面，即对角线短缺了2ⁿ-n位。显然，n越大，对角线短缺得越多，且随着小数位数的增加，短缺数指数式地“爆炸”。n趋于无限时，短缺数当然也趋向无限。 

     以上考虑了小数位数n为有限或趋于无限（任意大）的情形，后者通常称之为潜无限小数。无论是有限还是潜无限，对角线短缺矛盾始终存在！

     可见，对有限小数或潜无限小数，对角线法都不成立。

     本来讨论到这里就可以结束，但为了更严格起见，我们还能还可以证明：即使对于实无限小数（即已经具有无限位的小数例如0.333….），也可以证明上述短缺矛盾一样存在，因此对角线仍然不能形成新数：

    先注意在上面的4个小数中，x1，x2中第一位小数互不相同；在x1到x4中前两位小数互不相同，依据该规律，可知在x1到x8中前三位小数互不相同，…，在x1到x_2^n中前n位小数互不相同….

    假定我们已经列出的小数中既包括有限小数，也包括无限小数（含实无限小数），则对于其中的有限小数我们通过补零使其也变成无限小数，这样，所有的小数都变成了无限小数，可以根据上述规律通过调换已经列出的小数的前后次序进行重排，例如，前8位小数可以排成这样：

x1： 0.1 0 0….

x2:  0.0 0 0….

x3:  0.1 1 0….

x4:  0.0 1 0….

X5： 0.1 0 1….

X6:  0.0 0 1….

X7:  0.1 1 1….

X8:  0.0 1 1….

这样，我们就会发现，如果对角线只有1位时，即

b =0.1

b'=0.0

1位小数互不相同的小数却有x1，x2两个，但只能保证b'与其中的x1不同，无法保证其与x1，x2都不同；如果对角线有2位时，即

b =0.10

b'=0.01

2位小数互不相同的小数却有x1到x4四个，只能保证b'与其中的x1，x2不同，无法保证其与x1到x4都不同；如果对角线有3位时，即

b =0.100

b'=0.011

3位小数互不相同的小数却有x1到x8八个，只能保证b'与其中的x1，x2，x3不同，无法保证其与x1到x8都不同

………

    由此可见，无论对角线如何延长，都只能保证b’与一部分小数不同，而无法保证与所有的小数不同！

    康托只看到对角线可以无限延长，就认为总可以保证b’与所有已经列出来的小数不同。但由以上分析可以看出，这是做不到的。

    造成错误的关键在于，康托误以为可以预先将实数全部列完，排在那里不再动，然后自然可以使得b’与所有已经列出来的小数不同，从而形成矛盾并完成反证。

    然而，只有对于有限集合，才有可能将其元素全部列完。对于无限集，是永远不可能将其元素全部列完的。这一点只要看看最简单的自然数集合就可以了：如果认为可以将自然数元素全部列完且不再出现新的元素，哪一个数是其最后的一个元素？即哪一个自然数是最大的？存在这样的自然数吗？

     既然无限集合的元素是永远列不完的，对角线无限延长又怎么能保证b'与已经列出和还没有列出的所有实数都不一样呢？

    比如两个人，如果其中一个人（实数数目）不动，只有另一个人（对角线位数）可以动，那么自然对角线位数总能追上实数数目。如果两个人都在动，怎么保证一定追得上呢？

    何况，实数数目比对角线位数增长得快得多：实数数目以指数式增长，对角线位数只能线性增长，因此两者距离只会越追越远。

    康托把无限多的实数数目可以不变这一希望当现实了，本质上是他不符合事实的实无限观在作怪，这是康托错误的根源。

    然而，只要老老实实地一步一步走，保证每一步都高度可靠，然后再进行综合考虑，就不太容易犯上述低级错误。

    再退一步说，即使真的可以找到一个新数，也不能因此认为实数是不可数的。这是因为，根据康托的理论，由于无限集合可以与其真子集等势，因此在无限集中增加一个元素b'并不会改变无限集的势，因此也无法因此推翻实数是可数的这一假定。

     也就是说，哪怕根本不考虑证明的细节问题，光凭这一点，就足以推翻对角线法、区间套法和康托定理对实数不可数的证明。这是一个致命的逻辑错误！

     康托的致命逻辑错误并不仅仅在实数不可数的证明方面，还在他的基础理论方面[3]。

     能否在两个无限集合之间建立一一对应关系，是他考察无限集合的基本方法。然而，虽然作为一个定义，一一对应永远是有意义的，但能否将在有限集合中行之有效的一一对应方法推广到无限集合，也是需要仔细考察的

    通常将元素数目有限的集合称为有限集，将元素数目不是有限的集合称为无限集。某一集合中的部分元素组成的集合称为该集合的真子集。由于真子集的元素只是原集合元素的一部分，因此任何集合的元素数目必定是多于其真子集合的元素数目的。根据亚里士多德的三段论，无限集合的元素数目也必定是多于其真子集合的元素数目的。但无限集合与其真子集合之间却可以建立起一一对应关系。这充分说明能否建立一一对应关系与无限集合的元素数目是否相等不存在任何必然的逻辑关系。既然如此，在此基础上建立无限集的势或基数的概念就找不到任何可以与元素数目关联起来的关系。但学界却将势或基数的概念来对无限集合进行分类。如果这种分类与无限集合元素数目的多少无关，那么这种分类的意义何在？如果这种分类与无限集合元素数目的多少有关，那么显然也陷入了自相矛盾。

 甚至，康托关于超穷数的定义也是有问题的。

    康托将ω定义为比任何自然数都大的数。然而，无论是自然数还是实数，都是可以任意大的，因此，认为存在比任何自然数都大的数本身就与自然数可以任意大自相矛盾。这和中国古代关于自相矛盾的典故毫无区别：一边说我的矛可以戳穿任何盾，一边又说我的盾不会被任何矛戳穿！

    非欧几何的出现使得人们认为讨论矛盾的、不存在的甚至反事实的东西也是有意义的，这就造成了思想混乱。其实，在平面上，平行公理永远是成立的，但在非平面上，平行公理自然不一定成立。因此，非欧几何并不是与事实“对着干”，只是拓展了视野而已。然而，无论如何拓展，自相矛盾等任何逻辑错误都是永远不被允许的。

    例如，因为自相矛盾而在现实世界中并不存在的ω，怎么可以坦然地接受呢？

 另外， 只要思维严格，是不应该存在任何悖论的（参见我最近的一篇题为“悖论的非客观性”的博文http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1243836），因此，一个成熟且严格的科学理论中不但不可以有任何逻辑错误，而且也不应该有任何悖论，但康托的理论显然做不到这一点。例如，在康托的集合论中就有无限旅馆悖论、康托悖论等，同时还有很多违反直觉的地方。

    人类的抽象思维能力其实并不强。有编程经验的人常常会有这样的体会，一个在逻辑上似乎是完美无缺的设想，一旦变成程序，往往会发现各种错误。因此，人们只有非常细心，才有可能避免错误。

    总之，我们既要看到严格的逻辑思维的强大威力，也要记住因为不严格的逻辑思维造成的思想混乱。在这一点上，康托为我们提供了一个很好的反面教材。

    当然，不能全面否定集合论。去除了错误的集合论还是有用的。

References

 [1] Li Hongyi. A problem in Dedekind cut

 http://www.paper.edu.cn/community/wesciDetail/NjU5OTEw）

 [2]Li Hongyi.数学史上的重大错误。

     数学史上的重大错误6.pdf

https://preprint.nstl.gov.cn/preprint/main.html?ction=showFile&id=8a8b8a986ad3108c016b1ac0c7c60070

 [3] Li Hongyi.A brief overview of the fatal logical flaws in Cantor's theory and the reconstruction of mathematical foundationsNational Science and Technology Library https://preprint.nstl.gov.cn/preprint/main.html?action=showFile&id=8a8b8a9872e384e801732c181cb80087

2020-07-08 | preprint