引言 

本文将给出数学基础中的两个颠覆性定理。这两个定理将彻底推翻包括对角线方法证明实数不可数、无限可以完成、可以用一一对应可靠地比较无限集合的大小等数学基础中的一些重大错误。

 一    定理及其推论

为了保证推导的严格性，本文不引用包括集合论公理在内的集合论中任何未加以证明的命题。

对区间[0，1）内的任意实数，只要其存在，都可以表示为无限小数的形式，例如0.1可以表示为0.1000……，而这些无限小数，只要足够多（例如大于3个），总可以排列成下列形式

0.a₁₁a₁₂a₁₃......

0.a₂₁a₂₂a₂₃......                                                         （1）

0.a₃₁a₃₂a₃₃......

-------

要特别特别注意的是，在上述推导中，并没有用到任何假定，即（1）对于[0，1）内的任意实数，不管可列与否，都是成立的。

定理1 （1）不可能包含区间[0，1 ）内的所有实数。

证明 假定（1）已经包含了区间[0，1）内的所有实数，则可用对角线形成一个不在（1）内的实数，与假定矛盾。证毕

注：任何知道对角线方法的人都很清楚上述具体证明应该是怎样进行的，所以这里就不再详细叙述了。

根据该定理及证明可见，不管可列与否，（1）内都没有包含区间[0，1 ）内的全部实数，故用任何方法找到一个不在（1）内的实数一点不奇怪，并不必然形成证明实数不可数的反证法所需要的矛盾，所以：

推论1，对角线法和区间套法并没有证明实数不可数。

定理1的结论不难推广到实数轴上区间[z，z+1），其中z为任意整数, 因此定理1表明，实数的任何区间都会有一些没有包含进去的实数，因此

推论2，不存在一个已经完成了的实数轴。

根据推论2，实数轴上的实数是永远在不断地增加的，所以

推论3 不存在一个固定的数可以用来描述实数的数目。

设“被包含在区间[0，1 ）”为一个性质，那么虽然区间[0，1 ）内的任何一个实数都具有该性质，但根据定理1，并不能认为区间内的所有实数都具有这个性质，即

推论4 对任意一个实数成立的性质并不意味着一定对所有实数成立。

推论 4 表明，仅有存在量词和全称量词是不够的，形式符号与数理逻辑应该把任意和所有区分开来。

 关于这个问题，也可以看花瓶悖论一文^[5]。 

定理2 不存在包含全部自然数的自然数集。
   证明  假定存在包含全部自然数的自然数集N={1,2,3......}，将其中每个元素加1得到集合{2,3,4......}并补充自然数1得到N’={1,2,3......}，显然，自然数集合N’ 中自然数的数目比N增加了1,与N已包含了全部自然数这一假定矛盾，证毕

推论1，不存在一个已经完成了的自然数集。

根据推论1，自然数集内的自然数是在永远不断地增加的，所以

推论2 不存在一个固定的数可以用来描述自然数的数目。

设“被包含在自然数集”为一个性质，那么虽然任何一个自然数都具有该性质，但根据定理2，并不能认所为有自然数都具有这个性质。

推论3 对任意一个自然数成立的性质并不意味着一定对所有的自然数成立。

推论 3 也表明，仅有存在量词和全称量词是不够的，形式符号与数理逻辑应该把任意和所有区分开来。

二 一些讨论

1对定理1，2的理解

定理1，2及其推论其实非常容易理解: 既然实数（或自然数）有无限多个，怎么可能把所有的实数（或自然数）都包括进实数集（或自然数集合）内呢？

以自然数为例，你一旦说已经把所有的自然数都包括进去了，我马上就可以通过加1生成一些新的自然数，难道不矛盾吗？

而且，一旦把所有的实数（或自然数）都包括进去了，集合内实数（或自然数）的数目就不可能再增加了。正如林益先生所述，既然实数（或自然数）数目不能增加了，实数（或自然数）数目难道不就变成了有限的了吗？

 上述道理其实再浅显不过了。由此可证，有理数集合不可能包含全体有理数，无理数集合不可能包含全体无理数....任意无限集不可能包含其全体元素。

        2 关于基数和一一对应

根据定理1，2及其推论，实数或自然数的数目是在不断地增加的，不能用固定不变的数来描述。

         这样，引入所谓基数这一概念就显得有点奇怪了。

         在康托的原著中，所谓基数，原本是定义为抽取了集合的元素次序和元素性质后剩下的东西。

        如所周知，通常只要定义了集合中元素的数目和每个元素的性质，集合的外延就确定了，集合本身也因此确定了。当然，再定义一下元素的次序虽然未必有必要，但也未必不可以。那么，抽取了元素的性质和次序后，剩下的东西不就是元素的数目吗？为什么还要引入基数概念？

或许，康托认为，无法计算无限集元素的数目。那么，换一个名字就能计算了吗？

不过，一旦把基数概念换回到明确的元素数目，许多矛盾就会变得非常清楚。例如，根据真子集的定义可知，任何集合的元素数目肯定是比其真子集多的。显然，康托不会愚蠢到去证明无限集元素的数目和其真子集一样多，但是否把元素数目用基数来表示就可以了？还是那个老问题，换一个名字能改变事实本身吗？

康托用于比较集合的基数用的是一一对应。

所谓一一对应即双射，用于比较有限集合元素数目的多少是毫无问题的，但是否能用于比较无限集的大小，当然是需要证明的。但康托本人及其拥护者从来就没有做过这个工作。

在数学中，除了得到广泛公认和久经考验的公理以外，引入任何没有被证明过的命题是一件很奇怪的事情，这使得数学宗教化了：只要相信即可，哪里还需要摆事实，讲道理？

而且康托的所谓一一对应，往往不过是一一对应了两个无限集中的部分元素，然后就声称完成了两个集合的全部元素的一一对应。

例如，集合A=｛0，1，2，3，.....｝与其真子集B=｛1，2，3，.....｝当然可以建立如下对应关系

1对1，2对2，....

这种对应关系其实是同一个集合之间的对应关系，即A和B省略号里面的元素也是完全一样的，因此可以保证A和B省略号里面的元素可以对应起来，但这样A元素里的0就无法与B中的元素对应，即A与B并不能建立一一对应关系。

然而，康托却建立了如下的对应关系，

0对1，1对2，....,

并声称A与B建立了一一对应关系。

这种方式完全不考虑 A和B省略号里面的元素能否对应起来，

这种只考虑部分元素就以小见大，一叶障目，井蛙观天，实在是太草率了。这种东西竟然还会有人信？可见宗教化了的科学，其信徒们是多么地无脑！

如果严格考虑集合省略号里面的其他元素，任何无限集都不可能与它的真子集建立一一对应关系。

从上面的例子还可以看出，在两个无限集之间，能否建立起一一对应还与对应方式有关，这种现象在有限集合是不存在的。因此，这本身也是将一一对应方式从有限集合推广无限集的不可靠性的一种表现。

    事实上，将一一对应用于比较不同的无限集，还会出现很多令人匪夷所思的反直觉的东西，或明显是错误的东西。

一般来说，如果根据某一个假定（例如，可以用一一对应比较无限集合的大小）推出矛盾，那么就说明这个假定是错了。但是康托及其追随者却反其道而行之，他们坚信假定是正确的，所以一旦推出了矛盾或错误后，他们就说这个矛盾或错误是正常的。
    这里可以再次看到信仰力量的"伟大"!

总之，一一对应方式未必能可靠地用于比较无限集的元素数目即所谓基数。

3关于实无限观

在康托的原著中，所谓实无限观，指的是无限可以完成。但实无限观其实从来就没有得到过证明。

如前所述，在数学中，除了得到广泛公认和久经考验的公理以外，不能引入任何没有被证明过的命题。

事实上，人们最多只能举一些无限能够完成的例子，其中实数轴似乎是一个已经完成了的无限的一个典型例子。但根据定理1，实数轴并不是一个完成了的无限。

薛问天认为可以给出一个无限可以结束完成的例子，与芝诺悖论有点类似：

把回家的路程分成无穷个路段或地点，由于到家的时间是有限的，所以所经过的这无穷个路段和地点是可以结束完成的。

然而，路段分得越细，每一段所需要的时间越少，最后总的时间还是一样的。哪怕是分成无限细，总的时间还是不变。不过，既然承认是分成无限细，就得承认分的过程是永远不会结束的。例如，如果采用对分法，如果不是永不停止地对分下去，就只能分成有限细而不是无限细。

由于这种分完全是在脑海中进行的，并不影响实际走路的速度，和回家需要多少时间一点关系都没有。所以不能认为回家所需要的时间是有限的，那么这个细分的过程就是可以停止的。

把完全不同的事物混淆混为一谈，是人类思维最容易犯的错误。

事实上，没有人能够举出一个真正可靠的无限可以完成的例子。例如，即使我们假定每写一个自然数所需要的时间是零秒，即我们零秒就可以写出无限多个自然数，或者说只需要零秒就可以达到无限，这也不意味着无限就可以完成或结束，否则必然会与定理2矛盾。

所以，无限可能达到，但是即使达到了，还会不断地延续下去，永远不会完成或结束。

笔者以后还会根据无限的定义，详细地证明这一点。 

三  展望

数学家是聪明的，也是明智的。因此，大多数工作在数学的具体领域的数学家对悖论丛生、说不清，道不明且似乎难以突破的数学基础不太关心，本人在年富力强的时候也是这样。可能只有一些专业水平相对有限的数学哲学、数学史，数学教育和数学科普方面的作者们对这个领域感兴趣。所以，在数学基础这个领域内，充满了与睿智的数学家不相匹配的错误甚至愚蠢，从而才使一些明显错的东西长期占据着历史舞台^[1,2]，很多根本不应该出现的悖论也长期挥之不去^[3-7]。

 科学描写世界，数学则从数及与数密切有关的事物例如形的角度描写世界，描写得对还是不对，最后还是要受世界固有规律与逻辑制约的。例如，如果根据集合论推出来的结论和数学事实是不符合的，那应该修改的是集合论，而不是数学事实。

不过。对于已经被宗教化了的人来说，往往已经失去了正常的思维能力，他们会认为自己崇拜的集合论是天然正确的，因此常常会充满优越感、居高临下地说所有和集合论冲突的数学事实或观点都是错的。比如，如果哪一天集合论“证明”了1+1=3，他们就会很自豪地说，1+1=2是错的。

然而，错误的东西总归是要退出历史舞台的，否则，疲于应付考试的学生们，不得不把错的东西当成真理，最后就会变得是非不分：把脑子都搞坏了，这样的人一旦成了老师或专家，又会自觉或不自觉地去搞坏别人的脑子，代代相传，数学基础还有希望吗？

所以，拨乱返正，回归常识还是必要的。

本文的定理从根本上推翻了数学基础中的一些重大错误。

不破不立：如果不把错误的东西揭露出来，不会有人对新建的数学理论感兴趣；另一方面，不立不破：如果没有正确的数学理论，茫然失措的人们或许还会糊里糊涂将就用着错误的理论。

在以后的文章中，笔者将试图抛砖引玉地建立新的集合论以重建数学基础。

参考文献

【1】皮亚诺公理无法在没有逻辑循环的条件下定义自然数

https://zhuanlan.zhihu.com/p/63620819

zmn0738的评论【22】有关于该文的讨论：

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1313223#comment

【2】用戴德金分割定义无理数中的问题

https://zhuanlan.zhihu.com/p/61346486?group_id=1103015476879331328

【3】从一些数学悖论看数学家思维的局限性（一）：谷堆悖论

http://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294495.html

【4】从一些数学悖论看数学家思维的局限性（二）：托里拆利小号悖论

http://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294503.html

【5】从一些数学悖论看数学家思维的局限性（三）： 花瓶悖论

http://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294616.html

【6】从一些数学悖论看数学家思维的局限性（四）： 希尔伯特无限旅馆

http://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294758.html

【7】从一些数学悖论看数学家思维的局限性（五）：贝克莱，罗素、芝诺悖论

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1315045.html