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摘要：本文把集合定义为对已经存在的事物的一种分类，这样，定义集合A时，集合A本身因为还没有被定义而不存在，所以不能成为集合A的元素，罗素悖论和康托悖论都不再存在。用精确的元素数目概念代替了过于简化且数学意义含糊不清的基数概念，从而根据有限集合一一对应所具有的元素数目不变性，把用于无限集合的一一对应分成严格一一对应和泛化一一对应。定义了显集合和隐集合，从而找出了泛化一一对应不具有无素数目不变性的原因，消除了无限旅馆、全体等于部分等悖论。证明了不存在已经包含全部自然数的自然数集。引入了元素数目可变的可变集合，把无限集合定义为元素数目趋于无限的可变集合，从而引入了无限变量这一表示无限集合元素数目的概念，其性质是可以根据有限推出无限，证明了泛化一一对应实际上是单射而不是双射。证明了自然数集合可以有不同的无限变量，从而消除了自然数不可数悖论和集合论在具体应用中出现的众多悖论，并证明了任何集合都可以与具有某种无限变量的自然数集合严格一一对应。

关键词：集合论；相容集合论，罗素悖论；元素数目；基数；一一对应的分类；显集合和隐集合;无限旅馆悖论;对角线悖论

0  引言

素朴集合论^[1,2]存在众多悖论。公理化集合论^[3,4]用相容性、完备性和独立性都未必具备的公理来代替集合的定义，虽然消除了其中的罗素悖论和康托悖论，但并没有消除无限旅馆等悖论，而且还把问题大大复杂化了。

所谓悖论也可以翻译为自相矛盾，是任何一门严肃的学科所不允许的。

为此，本文试图建立一个不存在任何悖论的集合论，称之为相容集合论。

本文将表明，只要对朴素集合论的基本概念作一些修改和补充，并在定义和推导中保证绝对的清晰、严格和精确，不但仍然可以保持素朴集合论的简洁性，而且所有的悖论都是可以消除的。

由于公理化集合论和素朴集合论虽然有所不同，但也有很多相同点，例如，都有以一一对应为基础的基数概念。为了讨论方便，以下把素朴集合论和公理化集合论统称为传统集合论。

1  相容集合论的基本概念

1.1 集合的定义

当我们以某种视角观察世界时，世界上已经存在着各种各样互不相同的事物。这些事物可以是客观存在的事物如宇宙、地球、高山、动植物等，也可以是主观存在的事物如各种感知觉、概念、各门学科等。但对研究者来说，某一次观察可能只对其中的一部分事物感兴趣。为了方便：

定义 1 对已经存在的事物，用｛｝将其中所感兴趣的事物与其他事物区别开来，称定义了一个集合，并把这些感兴趣的事物称为集合的元素，其余事物的总和则称为集合的环境。

特殊地，如果观察不到感兴趣的事物，则｛｝定义了一个空集。

根据上述定义，可以将集合看作对已经存在的事物的一种分类：将所有已经存在的事物分成集合中的事物和环境中的事物两类。

本文定义的集合概念与康托定义的不同之处在于：

1）只对已经存在的事物进行分类，或者说先有元素，后有集合。以下将集合定义的该性质称为元素先存性质。

2）没有引入康托定义中的“全体”这一概念^[1]p62。这样，不但可以使得集合的定义更为简洁，而且可以更自然地得到了单元素集合和空集的概念。由于人们有时只对某一被视作整体中的部分事物感兴趣，或者只能研究其中的部分事物，因此，去除了整体概念的集合定义，其应用可以更为广泛和可靠。

1.2 集合的元素

根据本文定义的集合概念，世界上任何因感兴趣而欲研究的事物即研究对象都可以成为集合的元素。在数学中，最简单的研究对象是自然数。若将自然数1，2，3，....作为元素，则

N =｛1,2,3,...}                                                             (1)

定义了一个自然数集合。

当然，实数、已经定义了的集合，甚至函数等任何数学对象都可以成为集合的元素，只是传统集合论的元素概念还比较狭隘，尚未将函数等可以变化的数学对象包括进去而已。

若将集合本身也看作研究对象，那么集合也可以成为元素。但这并不能成为可以将集合和元素这两个不同的概念相互混淆的理由。例如，根据元素先存性质，当我们在定义集A时，集合A本身还没有被定义，当然也不存在，所以不能成为集合A的元素。

这样，所有所谓包含自身的集合例如A={A},A={A,B},A={A,B,....}等就都是非法的，罗素悖论和康托悖论自然就都不存在了。

从集合的定义可以看出，从时间顺序上来说，是先由称为元素的那些事物，然后才可以定义集合。从这个角度来说，元素是比集合更原始的概念。因此，研究元素是一个很关键的步骤。这方面应该还有很多工作可做。

1.3 元素的数目和基数

1.3.1元素的数目

定义 2 元素的数目称为元数。

定义 3 将元数有限的集合称为有限集合，元数无限的集合称为无限集合。

显然，对于有限集合来说，元数等于基数，但由于无限集的元数似乎不太容易研究，所以在传统集合论中，使用一一对应即“对等”概念来对元数加以粗略的估算^[5]p9并据此建立了基数理论。既然是估算，必然会有误差，产生悖论并不奇怪。

其实，虽然无法知道无限集元数的确切数值，但是它们的相互关系还是可以精确地知道的，例如，以下命题对包括无限集合在内的任何集合显然都成立：

命题 1 如果集合A等于集合B，则它们的元数相等。

命题 2 任何集合的元素比其真子集多。

该命题可以根据真子集的定义而直接得到。

命题 3 对集合的元素做任何不增减其元数的操作后，其元数不会因此增减。

例如，

(N \{1})∪{1}={2,3,...,1}                                                 （2）

一般不考虑元素的排列秩序，故{2,3,...,1}的每一个元素都与N 相同，因此是同一个集合，根据命题1，元数相同。若根据命题3，减掉一个元素后再增加一个元素的操作也没有增减元数，故{2,3,...,1}与N 的元数也相同。

如果将集合N的每一个元素都乘以2，这个操作也不会增减元素的数目，所以由此得到的偶数集与N 的元素是一样多的。

虽然以上结果与传统集合论用基数这一概念得到的结果相同，但元数与基数并不完全是同一个概念，有时会得到不同的结果。例如，如果通过集合内元素相互位置的交换，将N改写成｛1,3,5,…,2,4,6,…｝，则这个操作也不会增减元素的数目，但这时偶数的元数就只有N 的一半了。

由该例可见，用精确可靠的元数这一概念，可以根据不同情况得到符合实际的不同结论，而用过于粗略的基数概念不一定能得到这种精细结果。

1.3.2基数概念的数学意义探究

在康托的原著^[1]p63中，把基数定义为抽取元素性质和次序以后留下来的东西，至于留下来什么东西，他并没有讲清楚。在基数大小的比较上，康托则把原本用在有限集合的一一对应推广到无限集合^[1]p64，但对这种推广的可靠性也没有深入的研究。

尽管大多数数学家都把基数理解为元数^[5]，但如上例所述，对于无限集合，两者并不一定相同。另一个典型例子是，根据命题2，任何集合的元素比其真子集多，无限集合当然也不会例外。但在传统集合论里面，无限集合与其无限真子集却具有相同的基数。

如果把基数理解为元数，还会导致无限集与其真子集的元数相同这一违反命题2的悖论，可称为部分等于全体悖论。

因此，至少对于无限集，实际上并没有人能够确切地说出基数这一概念的数学意义。

1.3.3基数和元数不同的原因

在传统集合论里面，判断两个集合是否具有相同的基数，是根据两者之间是否能够建立一一对应关系来决定的。

对有限集合来说，如果两个集合能建立一一对应关系，则两个集合的元数必然相等，以下把这个特点称为一一对应的元数不变性，简称元数不变性。

对无限集合之间的一一对应，上述元数不变性不一定成立。例如，设N’={0}∪N ={0,1,2,3,...}，根据命题2，集合N’的元素比其真子集N多，但康托却建立了以下N→N’的所谓的一一对应：

1→0，2→1，3→2，....                                                 （3）

显然元数不变性不再成立，这是基数概念和元数之所以不相同的原因所在。

1.3.4对传统集合论中一一对应的分类和无限旅馆悖论的消除

我们可以把传统集合论中用于无限集合的一一对应分成两种：

定义 4 元数相同的无限集之间的一一对应，称之为严格一一对应，否则称之为泛化一一对应。

例如，命题1所示的两个具有相同元素的无限集合之间的一一对应，或（1）与（2）两个集合之间的一一对应都是严格一一对应；（3）所示的一一对应则为泛化一一对应。

定义 5 若两个集合之间的任意单射都是满射，称映射具有单射任意性。

对有限集合，单射任意性显然成立。对无限集合，不难证明，

命题 4 若无限集合之间能建立严格一一对应，则映射具有单射任意性。。

证明 对于f:A→B的任意单射，每一个a∈A都存在唯一的b＝f(a)∈B。若无限集合之间能建立严格一一对应，即A，B元数相同，则B的元数等于f(a)的数目，即像充满B，是滿射。证毕

例如，集合N与自身的单射

1→1，2→2，3→3，......

是满射，同样单射

1→2，2→1，3→4，4→3......

也是满射。

    若元数不同，单射未必是滿射，例如以下N→N’的单射显然不是滿射：

1→1，2→2，3→3，....

根据命题4可以知道，要判断两个集合之间的一一对应是严格的一一对应还是泛化的一一对应，除了根据两个集合的元数是否相同以外，还可以根据是否具有单射任意性来判断。

无限集合通常只能列出部分元素，其余元素用省略号表示，为了讨论方便，

定义 6 把无限集合中列出的元素称为显元素;没有列出的、用省略号表示的元素称为隐元素。

定义 7 用显元素组成的集合称为显集合;用隐元素组成的集合称为隐集合。

无限集合可以看作是由显集合和的隐集合的并，例如

N ={1,2,3,...}= {1,2,3}∪{...}                                                 (4)

N’={0}∪N ={0,1,2,3,...}= {0,1,2}∪{...}                                (5)

显然，若两个无限集合要建立严格的一一对应关系，且其中的两个显集合（或隐集合）已经建立了严格的一一对应关系，则另外两个隐集合（或显集合）也要严格一一对应。

例如，在泛化一一对应(3)下，(4)和(5)中的显集合{1,2,3}和{0,1,2}已经严格一一对应，那么两个隐集合能否严格一一对应？显然我们不易直接判断，也不应该想当然地去判断。事实上，N’与N 之间不能建立严格一一对应，所以这两个隐集合的元素也不能严格一一对应。

但若把N’写成

N’={0}∪N ={0,1,2,3,...}= {0,1,2,3}∪{...}                             (6)

则(4)和(6)中的两个隐集合都满足

｛…｝＝N \｛1，2，3｝，                                            （7）

为同一个集合，根据命题1，可以建立严格的一一对应。但这时(4)和(6)中的两个显集合显然不能严格一一对应，这样，即使我们不用命题2，也证明了N’与N 之间不能建立严格一一对应。

由于(4), (5)只保证了有限的显集合具有相同的元数，并没有保证相应的隐集合也一定具有相同的元数，从而使得两个元数不同的无限集之间也能形成泛化一一对应。也就是说，元数不同却能形成的泛化一一对应，实际上都是在人们未必仔细推敲的无限隐集含里面发生的，因此，这是泛化一一对应无法严格地研究无限集合的元数的原因，产生各种悖论毫不奇怪。

例如，无限旅馆既然已经客满，房间数和旅客数就必定是严格一一对应的，可以用两个N分别表示房间数和游客数的编号。这时候如果再来了一个旅客，相当于表示旅客数的N变成N＇，房间和旅客之间不可能再建立严格的一一对应，旅客无法入住。因此，无限旅馆悖论源于不严格的泛化一一对应，从严格一一对应的角度来看，无限旅馆悖论是不存在的,所谓在学术界有重大影响的形象表示

∞+1=∞

自然也不成立了。

纠正了上式导致的各种错误认识，以下命题显然也对包括无限集在内的任何集合成立：

命题 5 若A∩B＝｛｝，则A∪B的元数是A，B元数之和。

将A或B看作是A∪B的真子集，用命题5也可以推出命题2。

1.3.5自然数集不完全定理

定理 1 不存在已经包含全部自然数的自然数集。

证明 假定N=｛1,2,3,...｝已经包含了全部自然数，即不存在其他自然数了，则其元数不能再增加。将其中每个元素加1得到集合{2,3,4.... }，根据命题3该操作不会增加元数，然后令N*=｛1｝∪{2,3,4.... }={1,2,3... }，由命题5可知,，自然数集合N*中自然数的数目比N增加了1个元素,与“N已包含了全部自然数，元数不能再增加”这一假定矛盾，证毕

定理1也可表述成集合｛x|x是自然数｝不可能包含全部自然数。

如果一个无限集合可以完成，当然应该包含了其所有的元素。所以

推论 不存在一个已经完成了的自然数集或与其一一对应的可数集。

为了可以把无限集看成一个整体以简化问题，传统集合论相信无限是可以完成的^[1]。但显然与推论1矛盾：至少自然数集合或可数集是不能完成的。所有建立在存在一个完成了的自然数集或可数集这一假定基础上的东西都可能会导致悖论。

在数学中,除了合理的定义和公认的公理外，引入任何并不显然又没有证明的东西都是不严谨的。

因此，在相容集合论中，不采纳这种无限可完成的观点。

另外，如果设“被包含在自然数集”为一个性质，那么虽然任一个自然数都具有该性质，但根据定理1，并不能认为所有自然数都具有这个性质，即“任意”并不一定等于“所有”，形式符号与数理逻辑应该把任意与所有区分开来。

2  可变集合

如前所述，为了简化问题，传统集合论把集合看成是一个已经完成了的、确定不变的整体。但定理1及其推论表明，不存在一个已经完成了的、确定不变的无限自然数集合。为了更准确地描述自然数及其相关集合，我们必须引入元数可变的集合。

2.1 固定集合与可变集合

设存在着n个欲研究对象a₁,a₂,a₃,…,a_n，｛a₁,a₂,a₃,…,a_n}定义了一个元数为n的集合A：

A＝｛a₁,a₂,a₃,…,a_n}，                                                    （8）

定义 8 当元数n为指定的自然数时，称集合A为外延固定的集合，简称为固定集合;当元数n为正整数变量时（以下简称为元素变量），称集合A为外延可变的集合, 简称可变集合。

性质 1) 固定集合是有限集合。

性质 2) 元数n为有上界的变量时，可变集合也是有限集合。

引入可变集合显然能使得集合论能更灵活地应用于实际问题：当集合内称为元素的事物与环境中的事物有交换的时候，可变集合仍然能描述这种现象。

例如，在以学生为元素的班级集合中，如果有一个学生退学了，则退学前后的集合就不是同一个固定集合，不太方便。但引入了可变集合后，改变的就只是其元数。例如，该学生退学前后一（1）班还是一（1）班，只不过人数有所变化，比较方便。

由于每一个自然数都是有限的，因此自然数集合实际上是一个元数不断增加的有限集。但通常把自然数集看作是无限集，这就意味着，至少对于自然数集，所谓无限就是不断地增加的有限。根据同一律，这个概念应该具有普遍性。

这样，引入可变集合就可以更自然、更科学地定义无限集：只要把定义8的性质2中的n改为不断增加且无上界的元素变量，即得到了一个无限集合。

定义 9 若可变集合的元素变量n→∞，则称定义了一个可变无限集合，其元数是一个不断增加且无上界的自然数，称之为无限变量，用n_∞表示。

可能有人认为，用有限段的可变集合来定义无限似乎不太自然。其实，关键在于哪一个概念更普遍：如果无限比有限更普遍，那么就应该可以用无限来定义有限；如果有限比无限更普遍，那么就应该可以用有限来定义无限。

人类最初接触的是有限的世界，而无限不过是在有限基础上想象出来的的一个概念，所以应该是有限比无限更普遍。

由该定义不难看出，由于n_∞是一个不断增加且无上界的自然数，所以，

性质 1) 可变无限集的元数是无限的，符合定义3关于无限集的定义。

性质 2) 把有限集的元素变量n改为无限变量n_∞ 即可把有限的可变集合变为无限集合。

性质 3) 若某一命题对任意有限集合成立，则该命题对可变无限集合成立。

性质1、2可以直接根据定义9得到。性质3也不难得到：若某一命题对任意有限集合成立，即该命题对无限变量n_∞ 的任一取值成立，则该命题对可变无限集合成立。

这样，就可以从有限的角度来研究无限。例如，根据定义9的性质2，（1）所定义的N=｛1,2,3,...｝也可表示成更清楚的

N =｛1,2,3,..., n_∞｝

再例如，如前所述，（2）中的{1,2,3,...}与{2,3,...,1}的元数相同，可以建立严格的一一对应，但如何建立？根据上述方法，可以先考虑n个元素的情形并建立以下一一对应：

1→2，2→3，..., n-1→n,n→1

然后根据定义9的性质2, 可改写为更清楚的

1→2，2→3，..., n_∞-1→n_∞,n_∞→1

一个非常重要的事实是，用上述方法可以发现（3）是单射而不是双射：

有限集合{1,2,3,...，n}与{0,1,2,3,...，n}按(3)的方法建立的映射:

1→0，2→1，3→2，.... n→n-1

显然是单射而不是双射，由于该结论对任意n都成立，根据定义9的性质3，（3）所示的映射f:N→N’

1→0，2→1，3→2，.... n_∞→n_∞-1

也是单射而不是双射：N={1,2,3,...,n_∞}中没有元素是N’={0,1,2,3,...,n_∞}中n_∞的原像。

由此可见，从相容集合论的角度来看，所谓泛化的一一对应并不是双射而是单射。因此，在相容集合论中，将不采纳泛化一一对应和建立在此基础上的基数概念，而代之以严格一一对应和元数概念。

除非特别注明，本文以下一般不讨论泛化一一对应及其基数，当然也不会采纳与真子集之间可以建立（泛化）一一对应来作为无限集的定义。

有了定义9，定理1的证明可以变得更为简洁：

定理1的另一种证明：假定无限集合N=｛1,2,3,...｝=｛1,2,3,..., n_∞｝已经包含了全部自然数，即不存在其他自然数了，则其元数不能再增加，n_∞不再是一个变量而是常量n，为一固定的有限集，矛盾, 证毕

由定理1的证明不难得到以下定理：

定理 2 自然数集合可以有不同的用无限变量表示的元数。

证明 只要举出一个例子即可。定理1中的N和N*都是自然数集合，但元数不同：N*比N多了一个元素。证毕

推论 1 两个自然数集之间不一定能够建立严格的一一对应。

根据可数定义，任何自然数集都是可数的，但由上述推论可知，并不是任何自然数集之间都可以严格一一对应。这在表面上似乎是自相矛盾的，其实不然：由于自然数集并不是唯一的，所以不能与某一自然数集一一对应，并不等于不能与任何自然数集一一对应。事实上，根据严格一一对应的定义可得

推论 2 两个自然数集能够严格一一对应的充分必要条件是具有相同的无限变量。

由于一般变量也有可能把无限作为定义域，所以，无限变量与一般变量并没有本质的区别，所有可以用于一般变量的数学规则例如变量的四则运算、指数运算、变量之间的函数关系等都可以用于无限变量。

定义 10 两个集合的元数之差称为元差。

显然，用元差这一概念可以很方便地比较两个无限集合元数。

考察以下两个有限的可变自然数集合

N ＝｛1,2,3,…,n }，                                                        （9）

M ＝｛1,2,3,…,m }，                                                     （10）

没有理由认为它们表示元数的元素变量n与m一定相同，例如，一（1）班有学生调到一（2）班，在调动前后，两个班级的学生数都不一定相同。这时，就可用元数差（简称元差）n-m来比较N 和M 的元素多少。

         对于两个固定集合，元差是一个确定的整数，对于包括无限集合在内的两个可变集合，如果两个变量可以独立变化，显然元差的正负、大小都是不确定的，无法比较它们的大小。所以，当且仅当两个可变集合的元数之间存在函数关系时，才有可能比较可变集合元素的多少。如果

m＝f (n)                                                                            (11)

则元差m-n=f (n)-n,是n的单元函数，当n等于任何值的时候都可以比较元素的多少，n→∞时也不例外。例如，如果对任意n,有

m=2ⁿ                                                                             （12）

成立，元差m-n=2ⁿ-n>0且单调上升，则根据定义9的性质2和3，n→∞时，m_∞-n_∞>0仍成立，即

n_∞<m_∞                                                                           (13)

需要特别注意的是，由(9),(10)可知，n→∞时的N和M(以下分别用N_∞和M_∞表示）的每个元素都是自然数，因此都是自然数集，但如定理2及其推论所示，其元数并不一定相同，也不一定能够建立严格的一一对应。

2.2 自然数集不可数悖论及其消除

由于传统集合论并没有无限集元数的概念，所以无法对不同元数的自然数集加以甄别和研究，很容易把具不同元数的自然数集合混为一谈。当两个自然数集合的元数不同时，甚至有可能只认识其中一个自然数集N，而把另外一个因元数不同而无法与N严格一一对应的自然数集当成是不可数的。著名的对角线证明^[6]和康托定理的证明都存在这个问题。

在对角线证明中，康托假定实数是可数的，根据该假定，[0，1）内所有的实数都必须与自然数一一对应，即存在一个包含了所有实数的无限序列:

a₁,a₂,a₃,.....                                                                （14）

可将其排列成：

a₁:0.a₁₁a₁₂a_13....

a₂:0.a₂₁a₂₂a₂₃....                                                          (15)

a₃:0.a₃₁a₃₂a₃₃....

.......

然后康托用对角线法证明了该序列外至少还存在一个实数：

b=0.b₁b₂b₃...，                                                                     (16)

式中

b_k≠a_kk, (k=1,2,3,...)                                                   (17)

即该序列并没有包含所有的实数，形成矛盾，所以康托认为实数是不可数的。

公式（17）有3个都用k表示的下标。

如果认为自然数集合是唯一的，这三个下标就可以用同一个自然数集来表示，这样就很自然地证明了（14）中不含有b。康托就是这么做的。

然而，根据定理2，自然数集可以有不同的无限变量，这三个下标就不一定能用同一个自然数集来表示了。为此，用B_∞表示(17)左端下标组成的自然数集，M_∞和N_∞分别表示由(17)右端的行标和列标组成的自然数集，3个集合的无限变量分别为b_∞,m_∞和n_∞。

由（14）（15）可见m_∞表示（14）所列出的实数数目;n_∞则表示实数的小数位数。

由于[0，1）内n位二进制实数有2ⁿ个，即M_∞和N_∞的元素变量m和n符合（12），故（13）成立。

由于(17)中k表示行标时

k≤m_∞，                                                         （18）

表示列标时

k≤n_∞                                                              （19）

在（13）所示条件下，能同时满足（18）和（19）的k＝1，2，3，…n_∞, 所以

b_∞＝min（n_∞，m_∞）＝n_∞                                       （20）

由（17）可见，当b有n_∞位小数时，能且只能保证b不等于（14）所列出的n_∞个实数中的任何一个,而不能保证b不等于(14)所列出的m_∞个实数中的任何一个，对角线证明失败！

有的人可能会问，既然对角线可以无限延长，为什么不能延长到有m_∞个实数？

其实，无限变量本来就不是一个确定的数值，而是可以无限增加的变量，也就是说，对角线确实是可以无限延长的。

然而，当一个无限变量增加时，在增加过程的任何一步，另一个和它有函数关系的无限变量也要增加，所以相互之间的函数关系不会变化。

所以，无论如何延长对角线，（13）始终成立。由此推导出来的（20）也不会因为对角线的无限延长而变化。

打一个比方，蜗牛和人比赛，设同时同地同向出发，只要时间足够多，蜗牛可以到达人走过的任何一个地点，但在出发后的任一个时刻，蜗牛永远追不上人。

另外，M_∞可数时，b∪M_∞也可数，也就是说，即使在m_∞个实数之外找到了一个b，也没有与反证法的可数假定发生矛盾。

对角线法实际上只证明了（14）列出的实数数目比n_∞多，与本来就成立的(13)一致，并没有证明任何新的东西，却误把每个元素都是自然数的M_∞当成不可数的了。

康托幂集定理的证明也存在同样的问题：由(9),(10),(12)可知，如果N_∞表示一个自然数集合，则M_∞的元数m_∞可以用来表示N_∞的子集的数目。与对角线法一样，幂集定理只证明了本来就成立的(13)，并没有证明任何新的东西，却否认M_∞本身也是一个自然数集并断言它是不可数的。

至于康托最初证明实数不可数的闭区间套法^[5]p11，其思路也是先假定实数可数并将其一一列出[见（14）]，如果能找到一个

x ≠a_i (i=1,2,3...)                                                           (21)

就认为证明了实数是不可数的。为此，康托把区间分割成

I_1,包含I₂包含I₃ 包含...                                                         （22）

试图使得（21）成立。

这里也有两个不同的下标组成的自然数集合，分别由（14）中实数的下标和（22）的下标组成，前者仍用M_∞表示，后者用N_∞表示。

为了研究两个无限变量m_∞和n_∞之间的关系，仍然可以先从有限着手。为此，把点或其覆盖放大至有限小，但仍然保持其不可分割性，可以形象地把它看做是一个不可分割的球。假定单位长度上有m个“球”，则每个“球”占据的长度是1/m，由于“球”不能被分割，所以1/m也是闭区间的最短长度。设闭区间有n个，则每个区间三等分后（1／3）ⁿ＝1／m，即对任意n, 都有m＝3ⁿ和m＞n成立，故n趋于无限时 m_∞＞n_∞，即（13）仍然成立。因此，区间套法最多只能保证x 在n_∞个实数之外而不能保证x 在m_∞个实数之外。闭区间套法失败。

而且，一旦到了极限点，由于点是不能分割的，所以也无法通过区间分割使得x不等于所列出实数，即无法排除x 正好是n_∞个实数中某一实数的可能性。从而，要保证 x 在n_∞个实数之外也不一定能够做到。

同样，即使在（14）列出的实数之外找到一个符合(21)的x，也没有与反证法的可数假定发生矛盾。

无法甄别不同的自然数集合，从而混淆不同元数的自然数集合，是三个证明的共同特点，也是导致这些证明发生错误的共同根源。

由可数定义可知，任何自然数集都是可数的，但无论是对角线证明还是康托定理或者闭区间套法的证明，都居然“证明”了自然数集M_∞是不可数的，显然是一个悖论，不妨称之为自然数集不可数悖论。

如前说述，康托所谓的一一对应，有时候并不是严格的一一对应，而是单射，所以无法严格地比较元数的多少。而且他在没有严格证明的条件下，想当然地认为无限可以完成，所以自然数集是唯一的，有唯一的基数，与定理1及其推论矛盾。实际上，自然数集不一定有相同的元数(定理2)。他关于实数不可数的三个证明其实都是在自然数集是唯一的这个错误假定的基础上得出的。

其实，任何有限集都可以与有限的自然数集一一对应，根据定义9的性质3直接可知，任何无限集也都可以与自然数集一一对应：

定理3所有的无限集合都是可数的。

事实上，根据定理2，既然自然数集合可以有不同的无限变量表示的元数，那么，对于任何一个所要考察的无限集A，不管它有多少元数，甚至也不管是否知道它有多少元数，总可以令自然数集合的元数与A的元数相同，则A就与自然数集合严格一一对应了。这也证明了，不可能存在不可数集合：

至此，所谓自然数集不可数悖论被消除了。

既然所有的无限集合都是可数的，根据定理1及其推论，不存在一个已经包含全体元素的可数集，可得：

推论 不存在一个已经包含全体元素的无限集合。

例如，集合｛x|x是实数｝不可能包含全体实数。

其实，从相容集合论的角度来看，所谓已经包含全体元素的无限集本身就是一个自相矛盾的概念：既然已经包含了全体元素，自然就没有其他元素可再增加了，根据定义8的性质1，这样一个元数已经固定的集合是有限集，再增加一个元素都是不可能的，又怎么可能有无限地增加下的元素？显然，这钟自相矛盾的概念不产生各种悖论倒是十分奇怪的。

2.4 元数的其他关系

以上实际上仅仅讨论了两个集合之间的元差即元素变量的差。当然也可以讨论元素变量的加乘除等运算。

例如，如果用(9),(10)的n-1和m-1分别表示从同时同点同向出发的乌龟和兔子在某些时刻走过的路程，设兔子的速度是乌龟的10倍，则在任何时刻，兔子走过的路程也是乌龟的10倍，即(m－1)/(n－1)=10 ，时间趋向于无穷时，(m_∞－1)/(n_∞－1)＝10仍然成立，即当时间趋无穷时，它们走过的路程之比不变。

该结果和事实显然一致。但如果用传统集合论的基数来描述，则在有限时，基数等于元数，结果一样。然而，时间无限时，由于所有的自然数集合都具有相同的基数，就会导致时间无限时走过的路程之比突然变成1这一悖论。也就是说，时间趋于无限时，用不同的速度走过的路程竟然是一样的！显然是一个悖论。

类似于数学分析中的无限小量的阶，无限变量的比值也可以用来比较无限变量的大小。

以上是无限变量除法的应用。无限变量的加法也可以有相应的应用。例如，无限变量的加还可以用来研究两个无限集A和B的并的无限变量，例如当A∩B＝f 时，并的无限变量等于A，B的无限变量之和。

如果用n-1和m-1分别表示火车相对于地面走过的路程和与火车同向前进的人在火车上走过的相对于火车的路程，则无限变量之和m_∞-1+n_∞-1表示的是无限长的火车上的人相对于地面走过的路程。同样，如果采用传统集合论，也会得出时间无限时，三个路程都是一样的悖论。

由此可见，用相容集合论来描述具体的数学问题时，不但比传统集合论方便，而且不会产生错误和悖论。

3  产生悖论的原因和相容集合论对悖论的消除

在逻辑学三大规则都成立的论域内（称为可行域），只要前提可靠，推导严格，结论就必然可靠，不可能产生任何悖论^[7]。

定义、前提或推导，其中任何一个一旦偏离了可行域，都很可能产生悖论。

例如，由定理1的证明可见，把自然数集合定义为唯一的、已包含了全体自然数的无限集合，就是一个自相矛盾、偏离了可行域的定义，从而产生了自然数集不可数和2.4节所述的众多悖论。

再例如，虽然某一个集合可以成为另一个集合的元素，但在同一个集合里，集合是集合，元素是元素，两个概念绝然不同，不能混淆。在同一个集合里，把某一个事物既当元素，又当集合，违反了同一律，是产生罗素悖论和康托悖论的原因。相容集合论的集合定义中增加了元素先存原则，就是为了有效地防止这种概念混淆。

还有，无限加1当然还是无限，不可能变成有限，但加1前后的无限并不是同一个元限，形象表示应该是∞＋1＝∞’，严格的表示则是n_∞＋1＝n'_∞。将它们混淆就会产生无限旅馆、部分等于整体等悖论。

频频导致悖论的基数概念，其实也是因为混淆了具有不同元数的集合，认为它们具有相同的基数所致。

这种违反同一律的概念混淆，某种程度上是阻碍人类思维思维能力进一步提升的一个瓶颈口，具有一定的普遍性。

自从原始人类从山洞里爬出来，把外面的世界分为天和地两类以后，概念的不断细分就成为人们思维前进的特征，而概念混淆，本质上就是这种细分还不彻底的表现。

相容集合论在可行域内进行定义,为防止概念混淆而对概念进行了细分，并力求前提可靠，推导严格，不但已经消除了已知的悖论，而且应该不会产生新的悖论。

4  总结与讨论

相容集合论对集合定义等做了以下改进，从而消除了各种悖论：

1）根据新的集合定义，在定义任何集合前，元素是必须已经存在的，从而消除了罗素悖论和康托悖论。

2） 研究了无限集合的元数并据此对无限集合之间的一一对应作了分类，从而找到了产生无限旅馆，部分等于全体等悖论的原因并消除了这些悖论。

3）引入了可变集合的概念，把无限集合定义为可变集合的一个特例，从而把集合论建立在一个简单且可靠的基础上，任何和无限有关的错误都无法再盾形。消除了对角线悖论等大量悖论。并证明了任何集合都是可数集合。

研究了产生悖论的原因，讨论了相容集合论消除悖论的方法。

另外，在数学史上引入变量概念以后，曾经使数学大踏步前进，解析几何和微积分等应运而生。在集合论中引入可变集合后，是否也能使集合论有一个质的飞跃？本文做了一些抛砖引玉式的探索。

参考文献

[1]康托.超穷数理论基础[M](第二版). 北京：商务印书馆, 2016.

[2]康托.超穷数理论基本文稿[M]. 哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，2016.

[3]戴牧民,陈海燕，郑项伟.公理集合论导引[M].北京：科学出版社，2011.

[4]赫兆赵宽,杨跃集合论对无穷概念的探索[M].上海：复旦大学出版社2017年

[5]郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要(第三版)[M].北京：高等教育出版社2005

[6]G.Cantor: Uber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung I (1890-91) 75 - 78.

[7]李鸿仪. 思维规律及其可靠性和实践的关系.364-377,in:何全胜,郭德泽.科学思维，北京：经济日报出版社，2017.

                              Initial Exploration to Compatible Set Theory

Abstract: This paper defines a set as a classification of things that already exist. In this way, when a set A is going to be defined, the set A itself does not exist because it has not been defined, so it cannot become an element of the set A. Russell's paradox and Cantor Paradoxes no longer exist. Replaces the oversimplified and ambiguous concept of cardinality with the simple and exact concept of number of elements. According to the invariance of the number of elements of the one-to-one correspondence of finite sets, the one-to-one correspondence for infinite sets is divided into strict one-to-one correspondence and generalized one-to-one correspondence. The explicit set and the implicit set are defined, and the reason why the generalized one-to-one correspondence does not have the invariance of element number is found out, and the paradoxes such as infinite hotel, the whole equals the part, etc. are eliminated. Prove that there is no set of natural numbers that already contains all natural numbers. A variable set with a variable number of elements is introduced, and an infinite set is defined as a variable set with an infinite number of elements, thus introducing the concept of infinite variable, which represents the number of elements in an infinite set.Its property is that the infinite can be deduced from the finite, which proves that the generalized one-to-one correspondence is actually injective rather than bijective. An infinite set of natural numbers can have different infinite variables, thus eliminating the  many paradoxes that appear in some applications of set theory. And it is proved that any set can have a strict one-to-one correspondence with the set of natural numbers with a certain infinite variables.

Keywords: set theory; Compatible set theory，Russell's paradox; number of elements; cardinality; one-to-one correspondence classification; explicit and implicit sets; infinite hotel paradox; diagonal paradox