伽利略悖论及其消解

         0 引言

在数学中，人们通常是通过一一对应来比较无限集合的大小的:能够一一对应，就认为两个集合基数相同，否则就不相同。

将一一对应推广至无限时，常会出现整体等于部分等悖论。远在集合论问世前，伽利略就发现了该悖论。集合论并没有消除该悖论，反而认为这是无限的特点,"这没有什么矛盾^"[1],p56，将其"合法化"了。

 相容集合论^[2]以消灭所有的集合论悖论为目标，为此，实际上已经摒弃了用一一对应为基础的基数概念，而代之以直观且精确的元素数目（称为元数）这一概念。

相容集合论实际上已经解决了伽利略悖论，因微信群《相容集合论研究》群友林益先生的要求，特展开如下。

1 相容集合论对伽利略悖论的消解

伽利略悖论有两个版本，一个是在研究自然数和平方数之间的关系中发现的^[3]，另一个是在研究自然数和偶数的关系中发现的,其实都类似，以自然数和偶数为例：

自然数

          1,2,3,...

与偶数

         2,4,6,...

可以通过1→2，2→4，3→6....建立一一对应关系, 即 自然数和偶数 的元素是一样多的。

    然而，如所周知，偶数只是自然数中的一部分，占自然数的一半，但用上述方法却发现偶数数目和自然数数目是相同的。这与人们的常识相悖，所以被认为是一个悖论，也被称为是部分等于整体悖论。该悖论最初由伽利略提出，历史上称为伽利略悖论，距今已有数百年历史。

          传统的集合论认为自然数与偶数的基数相同，并没有解决该悖论。

相容集合论用精确的元素数目代替了基数概念后，可以很好地解决该悖论。

      相容集合论虽然也可证明

        N={1,2,3,...}   

与

        D={2,4,6,...}

的元数是一样的：将集合N 的每一个元素都乘以2，这个操作不会增减元素的数目，根据文献[1]命题3，由此得到的偶数集D 与N 的元数确实是一样的。

         然而，从另一个角度，相容集合论还可以证明偶数的数目只是自然数数目的一半:

    通过集合内元素相互位置的交换，将N 改写成

N=｛1,3,5,…,2,4,6,…｝

则这个操作也不会增减元素的数目，即N 和N 的元数相同，显然，这时偶数的元数就只有N 或N 的一半了。

上述结果也可以根据文献[2]命题1和命题2得到，由于N与N 实际上可以看作同一个集合，根据命题1，其元素数目相同，但偶数只是N中的一个真子集，根据命题2，其元素数目少于N 或N。

问题的关键其实在于偶数集是N 的真子集还是独立的集合。如果偶数集只是N 的真子集，则N 中还有大量不是该真子集的元素即奇数，N 的元数当然大于作为真子集的偶数集的元数的(命题2)，这个其实非常直观。由于这时部分小于整体，所以并没有部分等于于整体悖论。

 当D 的元数>N 的元数的一半时，不可能再将其看作是N 的真子集，而且偶数也不可能和奇数出现在同一个集合里面，而只能是一个独立于N 的集合。既然是独立的集合，它的元数就不受命题2的约束，可以是任意多的，所以完全可以与N 一样多。但这时，D 并不是N 的真子集，即并不是N 的一部分，所以也不存在部分等于整体这一悖论。

可见，无论是哪一种情况，都不存在整体等于部分这一悖论，伽利略悖论得到消解。

2 讨论

由以上讨论可以看到，实际上N 并不能与作为真子集的偶数集一一对应，只能与作为独立集合的偶数集D一一对应。在文献[2]中其实已经证明了 {0}∪N 与其真之集N 之间的映射关系是单射而不是双射，在以后的工作中，我还将会证明:任何集合与其真子集的映射是单射而不是双射。

 另外，伽利略有一个叫托里拆利的学生提出了一个小号悖论，可能也是由我首次解决的^[4]。

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附《相容集合论初探》^[2]的相关命题：

虽然无法知道无限集元数的确切数值，但是它们的相互关系还是可以精确地知道的，例如，以下命题对包括无限集合在内的任何集合显然都成立：

命题 1 如果集合A等于集合B，则它们的元数相等。

命题 2 任何集合的元素比其真子集多。

该命题可以根据真子集的定义而直接得到。

命题 3 对集合的元素做任何不增减其元数的操作后，其元数不会因此增减。

参考文献

[1]康托.超穷数理论基础[M](第二版). 北京：商务印书馆, 2016.

[2]李鸿仪.相容集合论初探.

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

[3]柯华庆.试论伽利略悖论与一一对应的内涵学术研究[J]. 2003,(08):

[4]李鸿仪.从一些数学悖论看数学家思维的局限性（二）：托里拆利小号悖论

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294503.html