开场白（第一天） 

        我：在数学史上潜无限和实无限的无穷观始于古希腊，距今已有两千多年。
最近一两百年以来，两种无限观的争论十分激烈^[1]。

        MAN 所有争议都是由无穷观引起的。都能追根溯源到无穷观。可惜现在的人们很多却不重视无穷观，不了解争论的本质。

       欧阳耿  在现有的数学分析和集合论中，因为都是以传统的无穷理论体系为基础，所以经常出现在潜无穷和实无穷之间任意跳跃的状况、并且美其名为“有穷与无穷之间的飞跃”，导致许许多多悖论和问题的产生。所以不从根本上改变无穷理论体系的基础，就不可能解决现有数学分析和集合论中的许许多多问题，这也就是我将那些问题和悖论叫做“综合症状群”的最根本原因。但是，许多人都没有意识到这一点，而是头痛医头，脚痛医脚，几千年来都是如此，难怪没办法解决问题

       我： 康托建立了以实无限为理论基础的集合论后，由于出现了一些悖论，争论愈发激烈。

        悖论也可翻译为自相矛盾，而自相矛盾是任何一门严肃的科学所不能允许的。
相容集合论以从根本上消灭集合论悖论为目标，初步文献已上网，目前还有待进一步成熟和发展。
        由于相容集合论^[2]与无限观密切相关，所以在微信群《相容集合论研究》(群二维码见本文左上角，欢迎有兴趣的人扫码入群)中关于无限观的讨论也较多，本文是其中的一部分。

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        我 潜无限论者认为无限是一个不断进行的过程，没有终点。这种观点是符合事实的，比如说，自然数的增加。什么时候可能有终点？实无穷论者认为，无限是可以完成的。在潜无限论者看来，这种观点显然不符合无限过程本身。但实无限仍然有很大的市场。这是因为，无限一旦能够完成，它的结果就确定了，后续的研究就非常方便。 

        那么，是否可以把无限过程和无限的结果分开来讨论？比如n→∞肯定是一个潜无限过程，永远没有终点，但收敛级数部分和的极限却是可以确定的，某种意义上可以看做是有终点的，这样是不是就可以把潜无限和实无限结合起来了呢？

        从潜无限角度来说，这个好像是一种和浠泥的方法。能不能严格起来？

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部分讨论

        MAN： 求和的项次趋于无穷还是达到无穷？无限小数的位数是趋于无穷还是达到无穷？实无穷与潜无穷的回答显然不一样。如何结合？

      怀旧老爵士： 无限过程和无限的结果的典型例子就是0.999999……=1。这是一个实无限过程.

   谢钢礼：科学要允许质疑（大意）。

      欧阳耿 ： 与“潜无穷--实无穷”无关的新无穷理论体系展示了一种新的研究思路。

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继续（第二天）

    我：其实，无限的结果能不能达到，不但是一个理论问题，而且还是一个技术问题，不能一概而论。
    无限的结果如果是发散的，无限没有确定的结果。这个自不待言。
    在收敛的情况下，也要分两种情况，一种是达不到，一种是能达到。
    例如，圆周率的计算， 至少从目前的技术上来看，只能接近而不能达到无限的结果。
      之所以达不到，是因为以我们目前的技术，只能老老实实、一步一步地算，而每一步计算都是需要时间的，这时，无限的结果只能当无限过程结束后才能达到，而无限过程是永远不能结束的，所以这个结果也是永远达不到的。
    这个推导并没有问题，也是潜无限的理论基础。
    不过，这个推导里面有一个前提就是无限过程必须一步一步地进行。
    不难想象，如果哪一天我们找到某种化腐朽为神奇的技术，能够将本来需要无限步才能完成的动作，变成有限步就能完成的动作，从而并不需要一步一步地计算，那无限的结果就可以达到了。
     这种技术还真有，求数列的极限就是这样一种技术。
     从数列极限的定义来看，所谓求数列极限，本质上就是猜测无限的结果: 对一些无法从其他已知极限推算的极限，人们通常只能根据一些蛛丝马迹，先猜出无限的某一个结果即极限，然后再用极限的定义来证明所猜非虚。这样，并不需要一步一步地进行，就可以得到无限的结果。

      例如，求 lim_n→∞(1/n) 时，很容易猜出其极限为0，剩下的工作就是用极限的定义来证明0确实是lim_n→∞(1/n)的极限。
      不过。 无限的结果，即使能够达到，能不能使用则是另外一个问题。例如，如果无限的结果是零，而这个零恰巧出现在分母上，那就不能使用了，否则就可能导致悖论。       

        这时，不能说极限零是错的，只能说零不能用，但可以用无穷小量代替。
        还有一些无限过程，客观世界并不存在，而是人们头脑里想出来的，这种无限过程的结果，本来就知道，不存在能不能达到的问题。
        例如，本来一秒钟就可以走完的路， 如果在大脑中把它分成速度不变但需要无限步才能完成的过程，由于速度不变，故一秒后还是达到了终点，和把它分成多少步是没有关系的。
        这一类无限（芝诺悖论），本来就是从有限过程转化过来的，当然还可以把它转化回去，因此都是能够达到的。
        总之，无限是不能完成的(潜)，但由于有限是可以完成的，所以能够转化为有限的无限也是可以完成的(实)。
        因此，在实际问题上，应该采用哪一种无限观，取决于能不能将无限转化成有限。

        至于发散的无限结果，一定要把它当成是可以完成的、有确定结果的无限，显然是对事实的一种歪曲，有削足适履之嫌。例如，不可能把无限多的自然数放入一个外延固定的集合(见文献2，定理1)
    

 [1]杨熙龄 西方数理哲学上的“无限”问题如何解决？记我国著名数学家徐利治的评述和研究,国外社会科学.         1982,(02)(谢钢礼提供文献线索)

 [2]相容集合论初探https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

参与讨论者：  MAN   怀旧老爵士  谢钢礼  欧阳耿