摘录；戴德金似乎想用厨房间的筛子，把单独的一个水分子筛出来？

             戴德金分割无法定义唯一的实数     

                       李鸿仪

摘要：在定义实数的方法中，戴德金分割被认为是最严谨的，因此被广泛奉为经典,且似乎从未被质疑。本文证明了任意两个有理数之间有无限个无理数，故有理数的第三类分划Q’|Q对应于无限个无理数，因此用该分割无法定义唯一的无理数。

关键词：数学基础;戴德金分划;无理数

1引言

当古希腊人发现有理数之间存在空隙时，大惊失色，从而引起了所谓第一次数学危机。两千多年过去了，虽然人们已经承认了无理数，但是问题其实并没有根本解决:任何事情都有原因的，有理数之所以会有空隙，当然也是有原因的。不找出这个原因，仅仅停留在现象的描述层面上，其实是永远不能真正认识问题的，即使是对于现象的描述，也不可能完全准确，有时还会出现自相矛盾的情形而不自觉，

例如，戴德金用分割点不是有理数的第三类有理数分划Q’|Q(Q′中无最大有理数，Q中无最小有理数)证明了无理数的存在。一般认为,在定义无理数的方法中,戴德金分划是最严谨的。但本文发现，该方法只能证明无理数的存在，并不能定义任何一个无理数。这是因为，为了证明可以用分划定义任何一个无理数，该方法要求利用有理数的稠密性保证该无理数的左右两端都是有理数，即在任意两个有理数之间都可有唯一的一个无理数(见文献[1]上册P297引理2，该引理是戴德金证明所必不可少的)，然而，虽然有理数是稠密的，但不可能是无限稠密的。由测度论可知，无理数还要稠密得多:在单位长度的实数轴上，无数个有理数对测度的贡献为零，而无理数的贡献要大得多，明显与上述有理数与无理数似乎可以”一一相间"的描述矛盾！因此，能否保证在两个有理数之间只有唯一的一个无理数，就成了一个必须重新加以严格考察的问题了。

事实上，本文将会证明，任意两个有理数之间都有无数个无理数，不可能只有唯一的无理数：由于有理数之间有空隙，即有理数之间的距离实际上是有限小，而无理数之间的距离却可以是无限小，在有限小的区间内要放入间距无限小的无理数，那当然就只能放入无限多的无理数了！

     道理虽然很简单，但对数学却会有一定的冲击，比如

    ①文献[1]中的引理2不成立，其证明必定有问题，戴德金分割只能证明无理数的存在，不能够定义任何一个无理数。

    ②端点为有理数的闭区间套不能定义唯一的实数。

    ③狄克雷函数不是处处不连续的。

从这个角度来说，所谓第一次数学危机并没有真正解决。

2本文的证明.

文献[1]用无限小数表示实数,例如

1.000...(或0.999...,但为了统一表述,本文不采用这种方法)

0.01000…

-0.333…

3.14159......

从理论上说，用无限小数是可以精确地表示实数的。以e=1/3-0.333……为例，不难证明，当且仅当小数位数有限时，e不等于0。例如，小数位数为1时，e=0.0333……，小数位数为2时，e=0.00333……，……，不过，无限位小数通常仅仅停留在人们的想象当中，实际上人们进行的计算都只能、也只需要是有限位小数。为此，我们有时候需要进行估算。只要这种估算并没有小数位数的限制，其结果就可以无限逼近原本只存在于人们想像中的无限小数。

定义1若某位小数的值可以取0~9中的任意一个数值，则称该位小数为自由小数位；

    对任意a∈N,第一位小数为自由小数的数称为1_小数,可以写成以下形式：

    a.0...,

    a.1...,

    a.2...,

    ……

    a.9...，

其中省略号”…”表示任意数。显然，有无数个1_小数。第一位小数不同且相差1的1_小数称为是1_相邻的,其间隔称为1_邻间距。对任意选定的10个1_相邻的1_小数，1_邻间距的均值约为0.1，证明如下;

        对于任意选定的10个1_相邻的小数a.0...,a.1...,a.2...,...,a.9...,无论其中每个小数后面的省略号表示什么，其平均邻间距= [（a.9...- a.8...）+（a.8...- a.7...）+（a.7...- a.6...）+...+( a.1...- a.0...)]/9= (a.9...- a.0)/9.因为(a.9999...- a.0000...)> (a.9...- a.0)> (a.9000.....- a.0000....)，即1>(a.9...- a.0)>0.9, 所以1/9>平均邻间距>0.1, 约为0.1

同理,任意10²个具有2位自由小数的2_相邻的小数a.00...,a.01...,a.02...,...,a.99....,其2_邻间距约为0.01,...,故

引理1 任意10ⁿ个具有n位自由小数的n_相邻小数的n_邻间距d_n≈10⁻ⁿ。

需要强调的是，这里规定每一位小于等于n位的小数都可能取0~9之间的任意一个数，所以具有n位自由小数的无限小数有10ⁿ个，n_邻间距d_n≈10⁻ⁿ当然也会随n的增加而越来越小。对于非自由小数，即不能在0~9内任意取值的小数，以有理数

0.000……，

0.111……，

0.222……，

0.333……，

……，

0.999……

为例，从第二位小数开始，每一位小数的取值都由前一位小数确定，因此都不是自由小数，即自由小数的位数为1。所以这样的小数的个数并不会随小数位数的增加而增加，其间距当然也不会随小数位数的增加而缩小了。

另一个例子是0.1453111111......，如果其第五位小数是确定的，则其自由小数为4位，否则为5位。

不难看出，由于循环小数的取值是有规律的，不能自由取值，所以有理数自由小数的位数是有限的。随着自由小数位数的增加，有理数的间距虽然也能缩短，但是不可能无限缩短，这是有理数之间存在空隙的根本原因。而无理数则具有无限位的自由小数，所以其间隔可以趋向于0.

关于自由小数可以总结如下:

1. 某位小数的值可以取0~9任意一个数值，则该位小数称为自由小数，本文用n表示自由小数的位数；

2. 具有n位自由小数的间距称为n_邻间距，其数值为d_n≈10⁻ⁿ

3. 无理数具有无限位自由小数，故无理数的邻间距可以趋向0. 

4. 无限循环小数只有有限位自由小数，所以有理数与有理数之间的距离>0

5. 若把零也看作循环节，则n位有限小数的自由小数位数恰为n位。

 一个有趣的现象是，根据上述第5点，如果把具有无限多位自由小数的数定义为无理数，则包括0.01在内的2位小数，其自由小数只有2位，当然是有理数，但当n→∞时，无穷小量10⁻ⁿ却因为有无穷多位自由小数，所以是无理数。 

    所谓有理数的稠密性，其实本质上就是有理数的自由小数位数可以增加，以一位有限小数0.1和0.2为例，自由小数位数n等于1，如果在中间插入一个0.15，变成了2位有限小数，自由小数位数n就变成2了，当然，n越大，有理数就越稠密，然而，无论有理数如何稠密，与n为无穷的无理数比较起来，总是非常非常稀疏的。

这里其实已经可以大致看到本文的主要结论了:由于无理数的每一位都是自由小数，所以n→∞时，其间隔10⁻ⁿ就可以→0，但有理数做不到这一点，所以相对要稀疏得多。

在下文中，除非特别说明，否则n都是指自由小数的位数。

推论 当n→∞时,n_邻间距d_∞≈10⁻ⁿ→0。

由于推论并未对无限小数的类型做出规定，故该推论原则上可用于任意无限小数的邻间距。不过，由于有理数的n是有限的，所以做不到n→∞。

定理1任意两个有理数之间的距离与d_∞的比值为∞。

证明 由于任一有理数都可以表示成与小数位数n无关的整数之比，因此，任意两个有理数之间的距离也是一个与n无关的数，设用h表示该数，由引理1及推论可知，limn→∞h/dn=∞。证毕

由自由小数的位数也可以证明这一点:任意两个有理数的自由小数位数都是有限的，所以它们的距离也是有限值h(易证h的大小由自由小数的位数决定)。

这里要注意，定理1实际上可用于任意两个定点之间，这里不过是用到了两个有理数定点而已。

定义2  n→∞时，n_相邻的小数称为是∞_相邻的。

性质: 两个∞_相邻的小数的间距为无限小。

推论1任意两个有理数不是∞_相邻的.

证明(反证)若能∞_相邻,根据定理1的证明,h即为邻间距d_∞,与定理1矛盾.证毕

根据自由小数的概念，也可直接证明上述推论:任意有理数的自由小数的位数n都是有限的，所以任意两个有理数的距离都不是∞-相邻的。

推论2  n→∞时,任意两个有理数之间必存在非有理数(称为无理数)。

证明(反证)n→∞时,若两个有理数之间不存在非有理数，则这两个有理数∞_相邻，与推论1矛盾。证毕

推论2也可以看作实数中存在无理数的证明。

推论3有理数和无理数可以∞_相邻。

证明(反证)若不能∞_相邻，n→∞时，有理数之间就不能存在无理数，即有理数可以与有理数∞_相邻，与推论2矛盾，证毕

推论4  n→∞时,任意两个有理数之间不能只有一个无理数.

证明(反证) n→∞时,若只有一个无理数,则h=2d_∞，与定理1矛盾，证毕

需要注意的是，该推论其实已经直接推翻了戴德金分划，后者要求两个有理数之间可以只有唯一的无理数，这样才能用分划来定义唯一的无理数。

同理，

定理2  n→∞时，任意两个有理数之间有无限个无理数.

证明(反证)若只有有限个无理数,用m表示无理数的数目，则h=(m+1)d_∞,与定理1矛盾.证毕

由于第三类分划Q’|Q所对应的无理数的左右都是有理数，而由定理2可知，如此对应的无理数有无限多，故不能用该法定义唯一的无理数.

定理2的推论如下:

推论1数轴上任意区间内有理数的数目与全体实数的数目之比为无限小。

推论1显然比测度论[2]更严格更简洁。

推论2无理数是可以∞_相邻的。

这是因为，如果不能∞_相邻，定理2就无法成立。

这里需要注意的是，一般认为两个无理数是不能相邻的，原因在于两个无理数之间，总能插入其他数。不过，与有理数一样，插入其他数意味着自由小数位数的增加，但当n→∞时，如果还能插入其他数，只不过意味着n还不够大而已。在实际问题中，人们所需要的精度总是有限的，因此只要n足够大，就可以认为足够解决实际问题了，这时，不需要更大的n，因此就可以认为它们是相邻的了。

3戴德金证明中的错误

在用有理数分划来定义无理数的时候，需要证明任何一个已经确定的第三类分划Q’|Q所确定的无理数是唯一的。为此，戴德金同反证法来证明这一点^[1]：如果分划Q’|Q确定的无理数不是唯一的，就可以利用有理数的稠密性在无理数之间插入有理数，从而和已经确定的分划Q’|Q矛盾，使反证成立。

虽然很容易证明有理数的稠密性，但无理数显然更为稠密，否则就难以解释数轴上的无理数为何远远多于有理数了。既然如此，为何可以在更稠密的无理数之间随意插入相对稀疏得多的有理数呢？

为了“证明”这是可以的，戴德金利用了有序域的阿基米德性：对任意两个有序元a和b，总存在自然数,使得

N|a-b|>1                                                            (1)

然后用1/N表示有理数的间距，|a-b|表示无理数的间距，从而“证明”了无理数的间距大于有理数的间距。

然而，不但所得结论违反直觉(与测度论矛盾)，该证明在逻辑上也是不严格的(只要公理不违反直觉,反直觉的结论往往意味着逻辑不严格)。这是因为，如果|a-b|是无限小的话，则N只能趋于无限，否则(1)的右端就会趋向于零。但当1/N也变成一个无穷小，这时(1)式中的“>”号是否成立是需要考查的。

根据有理数的稠密性可知,任意两个有理数的间距似乎是可以任意小的,但由定理1、2及其各推论可见,无论有理数的间距多么小，无理数的间距还要小得多，因此(1)的右端非但不可能>1，而且还是趋于0的！

由于(1)是戴德金证明中引理2的理论基础，既然引理2不再成立，戴德金证明当然也就不成立了。具体来说，由干任意两个不同的有理数之间都有无数个无理数，所以两个不同的有理数集中间也必然有无限个无理数，即用分割所定义的并不是唯一的无理数，而是无限个无理数。所以，用该分割并不能定义任何一个单独的无理数。

4小结

本文定理及其推论首次明确给出了数轴上有理数和无理数的分布:不相邻的有理数之间存在无限多个无理数。

由于任意两个有理数之间有无限个无理数,故任何一个第三类分划Q’|Q所对应的无理数是无限多的，故无法用该分划定义唯一的无理数。

戴德金的错误在于只看到了有理数的稠密性，但是并不知道稠密性的本质其实就是自由小数位数的增加，所以不知道具有无限多位自由小数的无理数的稠密性要远远高于有理数，从而错误地以为第三类分划之间可以有唯一的无理数，即可以用第三类分划来定义唯一的无理数。

打一个形象的比喻， 我们用厨房间的筛子，有没有可能把单独的一个水分子筛出来？

我总觉得虽然数学号称是最严格的，但数学基础本身却问题多多，经常会发生一些数学危机，质疑的人也不少。相对来说，戴德金还是比较严谨的，好像除了我以外，还没有人对他的理论提出过质疑。

其实，戴德金不过是为了证明无理数的存在和定义无理数，以解决源于古希腊的所谓的第一次数学危机。其实，这个问题未必很复杂。从小数的分类来说，既然存在着自由小数位数有限的有理数，当然就存在着自由小数位数无限的数，这些数当然不是有理数，那么就证明了存在着不是有理数的数，将它称之为无理数并无问题。其他数学危机也如此，以贝克莱悖论为例，观察①1+x②1÷x，x越小，在①内越可以忽略，在②中越不可以忽略，混淆无穷小作为被加数和被除数的区别，是所谓贝克莱悖论的原因。

如此简单的问题，竟然会形成所谓第二次数学危机，也很令人遗憾。

至于因罗素悖论引起的第三次数学危机，则更无必要了：集合是由元素组成的，即先有可以成为元素的事物，然后才可以定义集合，因此，元素当然必须是先于集合即已经存在的事物。这样就不可能存在包含自身的集合了:定义集合A的时候，由于A还没有定义好，故A并不存在，A的元素中当然就不可能出现不存在事物即A，因此A={A}，A={A，B}等都不合逻辑，所谓罗素悖论，康托悖论等当然也就都不再存在了。

 这种因违反因果律而导致的错误，本质上也是一种低级错误。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析(第4版)[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]郑维行,王声望编.实变函数与泛函分析概要[M].北京:高等教育出版社2005,第三版第一册.

 注：该文原发表于2019年，最近做了修改，补充了自由小数位数这一概念。