把有限和无限小数同时一一列出的方法：实数可数的最简证明

李鸿仪

摘要：把二进制的有限小数和无限小数同时一一列了出来，从而彻底证明了实数是可数的。

关键词：实数；幂集；测度论;对角线论证; 超穷数理论; 连续统假设

实数不可数是现代数学的基础，在测度论中有重要应用，更是所谓超穷数理论（见康托《超穷数理论基础》商务印书馆，2016，第二版）和连续统假设的基础。

这个基础是不是牢靠？是需要考查的。

在我的前一篇(上一篇的上一篇)博文中，已经指出了对角线等证明中引入了未经证明的假设，所以不符合充足理由律，不能成立。本文将给出更有力的方法来证明实数可数:把有限和无限小数同时一一列出。

如所周知，自然数集合N={1,2,3……}幂集P(N)的各元素为：

{} ,{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},{4},{1,4},{2,4},{3,4}, {1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，……，{2,3,4,5……}， {1,2,3,4……}                                                                         （1）

在上述排法中，自然数<=1的子集有2个，<=2的子集有4个，<=3的子集有8个，……

若规定（1）的自然数为小数点后”1”所处的位置，则与(1)一一对应的二进制小数为:

0,0.1,0.01,0.11,0.001，0.101,0.011,0.111,……, 0.0111…,0.111…   （2）

显然，（2）不但将二进制有限小数一一列出，而且也列出了二进制的无限小数（见最后几个小数），

而且我们不可能找出一个不在（2）中的小数。

不过，为了更清楚地列出无限小数，可以用N减P(N)内的每一个子集，得集合P^*(N)的各元素：

{1,2,3……},{2,3,4……},{1,3,4……},{3,4,5……},{1,2,4,5,….}，{2,4,5,6….}…….{1}，{}                                                              （3）

不难发现，式（3）的第一项正好是式（1）的最后一项，式（3）的第二项正好是式（1）的倒数第二项……，即实际上P^*(N)的元素只是将P(N)的元素的先后秩序倒过来而已。事实上，因为（3）里面的每一个元素也都是N的子集，且(3)能够与(1)一一对应，因此容易证明P^*(N)和P(N)只是写法不同的同一个集合，即P^*(N)= P(N)，所以其并集

P(N)UP^*(N) = P(N) = P^*(N)，                          （4）

但其形式有变: P(N)UP^*(N)的元素可以排列为：

{},{1,2,3……},{1},{2,3,4……},{2},{1,3,4……},{1,2},{3,4,5……},{3},{1,2,4,5,….}…….                                  （5）

与其一一对应的二进制小数则是

0，0.111…, 0.1, 0.0111…, 0.01, 0.10111…, 0.11, 0.00111…, 0.001, 0.110111…,  ……                                                             （6）

由于已经去掉了重复的元素，故在（5）和（6）中，（1）和（3）的最后几个元素都没有出现。

这样，我们就把二进制的有限小数和无限小数同时一一列出来了，而且，我们仍然找不出任何一个不在(6)里的二进制小数。 

既然可以将小数一一列出，当然可以用自然数对一一列出的小数一一编号，即证明了小数可以与自然数一一对应。

既然找不出任何一个不在所列的二进制小数，任何试图找出某一个列不出的小数的“证明”(例如对角线论证)显然都与事实不符，只能作为思维不严谨的反面教材。

也就是说，所谓实数不可数，已经成为一个因为思维不严谨而造成的历史性笑话。

任何一个熟悉数学史的人都知道这篇短文对数学史意味着什么。事实上，实数不可数及其证明方法即对角线法不仅仅在数学史上有着重大影响，对哲学史甚至逻辑学也有一定的影响，因此，实数不可数一旦被推翻，对学术界应该是一个不小的地震。