在讨论系统变换时，有一类重要的函數，就是 $\delta$ 函数，也称作狄拉克 $\delta$ 函数。我们对于 $\delta$ 函数应该不陌生，它经常被用来表示点源。 $\delta$ 函数在零点具有奇异性：

$\delta(x) = \left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \text{if } x = 0,\\ 0 & \text{if } x \neq 0. \end{array} \right.$

在实际应用中，只有把它放在积分里才有物理意义。 $\delta$ 函数的积分值是确定的：

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,\mathrm{d} x = 1.$

$\delta$ 函数有很多重要的性质，这里只列出一些最基本的：

$\delta(-x)=\delta(x),$

$x\delta(x)=0,$

$\delta\left(\frac{x}{a}\right)=|a|\delta(x),$

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)\,\mathrm{d}x = f(0)$

从上面最后一个公式我们可以得到 $\delta$ 函数的一个重要性质：

$\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\delta(\xi-x)\,\mathrm{d} \xi = f(x).$

以上公式经常被称作 $\delta$ 函数的 sifting 特性，直译作筛选特性。我们可以这样理解：任意函数 $f(x)$ 可以看作是无穷多经过一段平移之后的 $\delta$ 函数的叠加，而每个 $\delta$ 函数的权重因子就是函数 $f(x)$ 本身。后面我们会看到，这个性质将在线性系统中得到非常重要的应用。

还有一类和 $\delta$ 函数关系密切的函数，称作 comb 函数。这个函数是一系列分立的 $\delta$ 函数的叠加（如下图(a)）：

$\operatorname{comb}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(x-n).$

comb 函数的用途很广。实际中物理量的测量总是要离散采样的。如果一个信号函数 $f(x)$ 和 comb 函数相乘，得到的恰好就是均匀采样条件下的样本分布，参见下图(b)。