我们用工程上的概念来解释现代抽象理论上的概念。

       纤维丛。连续介质内的微元体的3维的纤维丛表示就是：任意形状的立方微元。它的3条中线是弯曲的，6个外表面也是弯曲的。对应的有3个坐标增量。

       对理想的立方体，用3个坐标增量表达。有直线系，曲线系。这是经典的工程式表达（经典表达）。

       如果用中线、中面来代表该微元体，就有3个基本长度矢量，3个基本面积矢量，取单位坐标增量（几何代数表达）。

其等价形是是，取3个长度坐标，取3个面积坐标（坐标李代数表达，代数几何表达）。

       约定：只取长度坐标（逆变坐标），取面积矢量（协变矢量），就是很长时间内的协变化表达（被泛称为张量化表达）。

       现代概念：6个外表面间的物理量是有变化的，从而，需要用中面量加上面间变化量来表达。面间变化量可以用物理量的空间梯度表达，而沿中线的变化量也应与此是同一的。从而定义：沿特定路径的方向导数等于面间物理量的空间梯度。

从而，对于相同的起点和终点，不同的路径给出不同的导数（李导数）。由此引出的是超代数理论。此时，一个物理量的变化总是由协变的物理量和逆变的路径量的积来表达的。这实质上是混合张量表达。

在20世纪有一个流行的口号：混合张量表达是毫无意义的，因为对于坐标变换，它是不变量。

而在现代概念下，它恰恰是最为重要的特征（形式不变性和客观不变性同时得到满足）。现代理论中的重要概念是路径上的导数：[Lv(t)]U[x(t)]=V^x(t)U_x[x(t)]+ V^y(t)U_y[x(t)]+ V^z(t)U_z[x(t)]= {V^x(0)U_x[x(0)]+ V^y(0)U_y[x(0)]+ V^z(0)U_z[x(0)]}I。数学上称：V(t)=FV(0)，F为变换，为前推；称[U_x(t)]=F^-1[U_x(0)]为回拉。

也就是，对求导路径约定为前推映射（变换），对偏导数约定为回拉。这样，在端点的运算和在起点的运算是等价的。这样，就把数值运算（偏导数）和物理运算（求实际物理量变化）区别开来。从而实现在任意坐标系下的运算。

这样，正变换和逆变换两个工程上常用的术语就成为：前推和回拉。

取端点的运算和起点的运算为对偶运算。约定：(FF^-1)²=-1。

在(FF^-1)²=-1意义下，混合张量表达的优越性就充分的表现出来了。

一旦引入路径导数，则微元体上外表面上的矢量就约定为切矢量，而过中心点的对应矢量就约定为余切矢量（外表面对应的法矢量）。表面光滑的微元体被替换为流形（弯曲路径形成的纤维丛）。

在单位微元体意义上，两类矢量有经典的关系（超代数理论），从而回归到高斯曲面理论。而矢量运算回归到Clifford 几何代数理论。

也就是回归到150年前。

有何工程价值呢？在张量化表达下的协变导数是工程上无法测定的，从而对于任意坐标系，实质上不可运算（联络量无法实际计算）。而在超代数理论下，求导运算是以可以实测的变换（物理运动）来实现的，从而无需引入协变导数。

这个进步是巨大的！它实现了抽象运算的工程运算化。

其它理论。把3条中线（弯曲的）+6个外表面（弯曲的）看成是9维空间，引入群运算。把3条中线（弯曲的）+3个中面（弯曲的）看成是6维空间，引入群运算。所以，群论在20世纪到达顶峰后，回归到工程意义直接的现代几何代数（和代数几何）理论。也就是：混合张量表达。

历史表明，抽象的理论研究在本质上是追求高精度的、工程上可实现的数学表达和运算体系。

不满足这个基本特点的抽象理论，无论是在某个时期是多么的高大上，总是在某个时期后被抛弃的。

数学上的多个理论并存令工程界莫名其妙，搞不清楚就当看不见算了。所以，20世纪的理论研究是与工程界脱离的。21世纪的特征就是理论向工程实现回归！