在现代科学文献中，受到“物质及其运动决定时空”这个自然哲学理念的支持，也受到“物理规律有张量性”的理念激励，由此引出的坐标系概念被泛称为流形上的坐标系。

       对于物质运动，如观测某个质点，它的运动轨迹是一条3维观测空间中的曲线，以时间为自然长度参数。由此，在观测系，单位时间的运动轨迹就是微元曲线ds=V^xdX+V^ydY+V^zdZ。而对它的抽象就是：ds=dx+dy+dz，这里小写的dx,dy,dz已经是任意微分曲线了，加号只是表明它们维持正交性。而且，小写的dx,dy,dz被理解为弯曲的微元矢量。但是，大多数文献约定，不黑体化（经典矢量的约定写法）。

       在哲学上，在抽象理论上，只有在物质对象及其运动被给定后，才能实际的测定（或确定）小写的dx,dy,dz。对于连续物质（场），以势场U为例，它的梯度曲线就定义了这样的一个坐标系。也就是：dU=U_xdx+U_ydy+U_zdz。如果取dx为等位面法向，则dy,dz取为两个切向。

       在这种表达下U(x,y,z)中的小写(x,y,z)就是物质点的（身份证号）拖带坐标，而dx,dy,dz才是实际的坐标线。

       虽然我们可以在物质实体上任意的给它赋予拖带坐标（x,y,z）但是，其物理上的实在却是由物质及其运动决定的，从而dx,dy,dz的几何性质是由物质及其运动决定的。

       在这个意义下，物理规律的表达是与具体坐标系无关的。而具体的运动既要确定其坐标系的几何性质，也要确定相应的物理场量（U_x，U_y，U_z）。

       因此，dU=U_xdx+U_ydy+U_zdz的写法就是普遍的，张量化的。

       从而，现代物理理论的场量是几何化的。研究的重点是物理运动规律所决定的微分几何性质。

       在现代工程上，设想在每个代表性微元物质上有随体传感测量器，则微元体间的物理场量（U_x，U_y，U_z）（如能量差）是可以实际测得的。从而，在其运动轨迹几何（dx,dy,dz）也被确定后（在实验系观测），就可以得到真实的物理场量dU=U_xdx+U_ydy+U_zdz。

       对于一般意义上的运动，虽然在初始物质的物质点（身份证号）拖带坐标意义上取3个正交长度方向来确定坐标，但是实际的运动轨迹几何（dx,dy,dz）确是未必正交的，而且初始时单位间距的两个物质点，在运动后其间距也是变化了，从而（dx,dy,dz）代表的任意曲线系。但是，在抽象形式上，依旧是dU=U_xdx+U_ydy+U_zdz的写法。

       对于很多想学习现代基础理论的读者而言，这是最为难于越过的一个哲学观。

       为何大多数文献采用这个写法呢？因为，在直角系下，这就是经典的理论公式。所以，从经典理论出发，把符号的意义一换，就得到了张量形式（一般形式）。而这种简单的概念一换，在没有深入的解释流形概念及流行上的坐标系概念时，即便是读者认为他理解了有关的理论，而实质上也未必是理解了。

       我看到很多文献在引用现代基础理论时，就把这类（dx,dy,dz）理解为直角系。这肯定是成立的，但是，如果仅是限于这种理解，那就完全的忽略了20世纪基础理论学者的研究成果了。

       对于拖带坐标系的科普论述到此结束。