我相信研究复杂网络的人最常听到的两个词就是：结构和功能。我记得第一次听周昌松老师做报告的时候，structure 和function这两个词简直就没离开周老师的嘴。拿大脑网络来说，有什么样的结构就大体上对应着相应的功能，同时网络功能的要求也会促进网络结构的演化。

尽管网络结构和功能之间关系的研究很多，但两者之间的关系却是“剪不断，理还乱”，很难说得清楚。例如网络上的各种动态过程，如同步、神经元集群放电、疾病传播以及随机行走等，应该可以强划到网络功能的范畴，虽然观察网络的结构可以大体上知道这些动态过程在网络上的大致情况，但很难通过网络结构来量化性的进行研究。据我所知，目前这个方面也没有比较合适的方法。

缺乏网络上动力学和结构之间沟通桥梁的原因是复杂网络研究工具的乏力，目前复杂网络的结构统计量侧重于研究节点和节点之间的直接联系（链接），而网络上相互影响的动力学过程通过间接关系也会相互影响（a链接b，b链接c，b和c之间也会相互影响）。因此研究网络结构是一套方法，研究上面的动力学过程是另外一套方法，同时由于动力学过程既是节点之间直接联系（链接）又是网络之间间接联系（相关）的反映，因此近年来出现了一些基于动力学过程研究网络结构的文章和方法，反而直观通过研究结构来反映网络动力学特征这方面的进展不大。解决这一问题的关键是找到一个方法将复杂网络结构上的间接关联表达出来，最近张捷被PRE接受的一篇论文中使用的多尺度核方法就是一个很好的选择。

在现实生活中，我们都有最深刻的体会，和我们关系亲近的人对我们影响大，和我们关系疏远的人对我们影响小。将这个基本思想对应到网络就是一个节点对另外一个节点的影响取决于他们之间的距离：把一个核函数放置到其中的一个节点上，另一个节点受到的影响就是沿最短路径衰减到此处的核函数值的大小；距离越近，受到的影响越大，距离越远，受到的影响越小。

核函数方法的好处是这种方法跨域了节点之间的之间链接，包含了节点之间的间接影响，同时由于可以选择不同宽度的核函数，对复杂网络上动态过程来讲，该方法可以估计在不同的物理参数下（比如耦合强度或有效传播率）节点之间的动态相关性。我们甚至可以尝试将不同的动态过程统一起来，即不同动态过程的节点相关性都可以利用同一框架进行描述和预测。通常情况下，窄的核函数对应于动力学过程中小的耦合强度或有效传播率， 而宽的核函数则能够对大耦合强度或大的有效传播率的动力学过程进行的描述。文章还提出了一个多尺度复杂性的概念。对于一个网络，不需要进行动力学仿真，就可以对该网络在不同尺度下所能提供的动力学（功能）复杂性做出估计。

这种方法的意义在于这是复杂网络结构分析从直接关系到多尺度关系特性研究转变的一种方法，实际上复杂网络中多尺度结构特性的刻画近期越来越热门，还有这种方法可以找到一个节点在多尺度上对其他节点和受其他节点的影响，将不同节点发出和收到的影响比较，可以得到两个节点多尺度上的相似性，无疑这是进行链路预测的一种好方法（由相似性出发进行链路预测可参考周涛和吕琳媛的博客）；另外这种方法也从另一个角度促进了我们对网络上动态过程的理解。由于可以选择不同尺度、不同特性的核函数，该方法可以类比于复杂网络上的动态过程，甚至可以尝试将所有动态过程用一个的框架统一起来，因此张捷这篇文章是从复杂网络结构出发来映射复杂网络功能的努力。

当然，尽管这种努力看上去很美，但其反映的动态过程特征依赖于核函数的尺度和特性的选择，还需要进一步努力来搞清选择什么样的核函数能有效逼近于某种动态过程。另外，毋庸讳言的是，动态过程反映出的网络特性是非常微妙的，核函数这种方法的有效性还需要更多的尝试和讨论。记得这篇文章最初送到Nature Physics评审的时候，尽管我们受到审稿人和编辑的一些正面评价和鼓励，但有审稿人认为网络上的动态过程是复杂的，尽管他承认这种方法是更好的从结构到功能的方法，但是还没有走到可以取代和统一各种动态过程的地步，最后败下阵来。

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Mapping from Structure to Dynamics: A Unified View of Dynamical Processes on Networks

Jie Zhang, Changsong Zhou, Xiaoke Xu, and Michael Small

Although it is unambiguously agreed that structure plays a fundamental role in shaping the collective dynamics of complex systems, how structure determines dynamics exactly still remains unclear. We investigate a general computational transformation by which we can map the network topology directly to the dynamical patterns emergent on it -- independent of the nature of the dynamical processes. Remarkably, we find that many seemingly different dynamical processes on networks, such as coupled oscillators, ensemble neuron firing, epidemic spreading and diffusion can
all be understood and unified through this same procedure. Utilizing the inherent multiscale nature of this structure-dynamics transformation, we further define a multiscale complexity measure, which can quantify the functional diversity a general network can support at different organization levels using only its structure. We find that a wide variety of topological features observed in real networks, such as modularity, hierarchy, degree heterogeneity and mixing all result in higher complexity. This result suggests that the demand for functional diversity is driving the structural evolution of physical networks.

Accepted By Physical Review E ：

 Mapping from structure to dynamics- A unified view

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