Zmn-0613 一阳生：对薛问天老师Zmn-0606中无穷观的评价

【编者按。下面是一阳生先生的文章，是对薛问天先生《Zmn-0606》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

对薛问天老师Zmn-0606中无穷观的评价

一阳生

看到您在Zmn-0606中所提出的康托尔的无穷观（或者是您自己的观点），里面有重大错误。

[……康托尔将无穷集合看作一个完成了的实体，……他认为自然数不断增大的过程可以终结，但是由于这个过程是无穷的过程，……所承认的是这个无穷的生成过程是可以完成的，……]

根据康托尔的观点，任何认真独立思考的人都会因[如果无穷可以生成完成，则会带来矛盾]而苦恼。而认可康托尔观点的您却没有苦恼。因为您认为生成过程是无穷过程。但您曾经写过无穷运算是禁忌的文章，您认为(如果把生成过程看成运算过程，)通过运算过程去找到无穷存在的根据根本不可能。既要求无穷可以生成，又不能无穷次过程的生成。请问您是否应该苦恼！

所以关于这个至关重要的问题：无穷何以存在？！您没有给出正确的解释。下面是我的解释，还请薛老师和所有老师给予批评。

首先考察皮诺亚公理Ⅰ和Ⅱ

Ⅰ、0是自然数。

Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数。

公理Ⅰ告诉我们有个存在，叫0且是自然数。公理Ⅱ告诉我们若存在自然数a，则a的后继数a’亦存在，且是自然数。说明公理Ⅰ和Ⅱ是存在性公理，如同空集合存在公理，这点很重要。 综合Ⅰ和Ⅱ，根据皮诺亚公理Ⅴ，若0已存在，则任何其它自然数皆已(且同时)存在。存在的存在性在逻辑上有先后，但在时间上不分先后。

既然全体自然数皆已存在，那么问全体自然数的个数这个问题就是有意义的，显然全体自然数个数不能用自然数计数，只能是非有限个。因为公理Ⅱ告诉我们不存在最大自然数。从公理Ⅱ引申出来的后继运算同样得不到最大自然数。

其次集合论公理直接假设了自然数集合的存在。

所以无穷的存在是在有穷的基础上合理假设而来。有穷达不成无穷，这是根据有穷无穷的不同定义而来。

另外关于一一对应的问题。一一对应是两个集合之间的关系。如果只给定一个无穷集合A和一个关系P，且对于每个a ∈A都有一个不同的b使得P(a,b)成立。则根据集合论替换公理存在以全体b为元素的集合B，A与B是一一对应关系。

关键在于关系P是否能让每个a，都能获得对应的b。这时对于关系P的分析就很重要，如果P是可用自然数计数的操作，那么b的个数将是有限的，且不能形成元素确定的集合，更无法形成一一对应，即一一对应是对应不完的。如果P是不可用自然数计数的操作，那么b的个数将是无限的，且可形成确定的集合，可以形成一一对应。

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