Zmn-1006 薛问天 : 全体自然数集合的唯一性。评李鸿仪先生的反例《1005》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《100 5》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

全体自然数集合的唯一性。评李鸿仪先生的反例《1005》。 

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn′

一，李先生没有认识到，全体自然数集合的唯一存在，这一切内容都是由集合论的公理所决定的。可以由集合论公理来证明。你对无穷集合存在的质疑就是对集合论公理的质疑。

李先生说【实际上都存在着一个未加证明的假设:存在着一个已经完成了的，不再变化的自然数集合。】【完成假设是可以用实无限观加以证明的。】【实无限观本身也是一个假设，从来没有人能够加以严格的证明，】

李先生没有认识到，这一切内容，包括全体自然数集合作为唯一的无穷集合的存在，都是在集合论的公理中可以得到证明。有无穷公理，承认归纳集合的存在。由于全体自然数集合是最小的归纳集合，所以由无穷公理和分离公理(模式)即可证明全体自然数集合的存在。

唯一性是由外延公理推出的。外延公理规定，如果集合A和B含有完全相同的元素，即它们的元素外延相同，则A和B是同一集合，A=B。也就是说凡是A的元素都属于B，而且反之，凡B中的元素都属于A。由外延公理很容易证明全体自然数的集合是唯一确定的。因为所有全体自然数的集合，它每个所包含的元素都是全体自然数，外延相同，不可能包含有不同的自然数，所以全体自然数集合都是相同的，不可能不唯一。

公理反映人们对集合的认识，公理本身没有证明，无需证明。李先生质疑公理所证明的命题，实际上就是对集合论公理的质疑。而且他所说的【大量的反例】实陈上并不存在。

二，李先生对有穷和无穷的区别，还未正确认识。

李先生说【有的人以为，我们之所以不能把所有的自然数都一一列出，只是因为时间和空间是有限的。言下之意，只要时间和空间是无限的，我们就能把全部自然数全部列完。这种说法是不合逻辑的：即使给人们无限的时间和空间，列出自然数这个过程也永远不可能完成。这是因为，一旦完成，也就意味着没有后续了。】

我认为这段话说明，李先生对无穷还沒有正确的认识。他的思想仍然受到有穷的限制和约束。要知道自然数集合通过加1来增大，这个过程只对有穷的自然数集合有效，有穷自然数集合有个最大数，通过对此最大数加1，会产生一个更大的有穷自然数集合。因而通过加1产生新自然数集合，这个过程永远不会终止。但是要认清，这只对有穷自然数集合有效。对于己形成的全体自然数的无穷集合，己经没有最大数了，通过对最大数加1，产生一个更大的有穷自然数集合的过程已不再存在和有效了。通过不是最大数的加1，只能产生仍在集合中的数，不增加新数，集合不变。也就是说这个增加后续的过程已经终止，已经完成，沒有后续了。一定要认清这个有穷和无穷的区别。

三，李先生说不出不存在无穷集合的道理，要承认无穷集合的存在。

李先生说【自然数是可以通过加1不断增加的，除非这个过程能够终止，即可以不再有后续数了，才有可能形成全体自然数。然而，这是不可能的，所以永远不可能形成全体自然数。】

这里说的【自然数是可以通过加1不断增加的】，指的是自然数的有穷集合，全体自然数的无穷集合就不能通过加1不断增加。所从由此得出结论说【永远不可能形成全体自然数】是不对的。李先生说不出不存在无穷集合的道理。要知道只有不终止的有穷，才能形成无穷。如果有穷终止了，就只有有穷，哪里来的无穷，无穷就是不终止的有穷才能形成。我们就是用无穷来概括和描述这个永不终止的有穷概念。正是由于永不终止，这些不断增加的有穷集合才能产生无穷多个。在这无穷多个有穷集合中并无任何一个是无穷集合。正是这无穷多个有穷集合的所有的元素构成的集合，才是无穷集合。没有理由不承认这无穷多个有穷集合的存在，以及它们的并集形成的无穷集合的存在。所以关键是要承认这个无穷集合的存在。这就是实无穷覌。

四，李先生用自然数集合在应用中所标注的对象集合的不同来说明自然集合不唯一，是错误的。要了解自然数集合是数学概念。对数学概念的抽象性要有正确认识。

数学是对客观世界的数量关系的抽象。不同的客覌事物，可能具有相同的数量关系。10头牛和10个苹果当然是不同的对象。但是表示它们数量关系的自然数10则是完全相同的，不能说自然数10和10不同。100张壹元的钞票，和100张十元的钞票当然是不同的钱。但你能说自然数100不是唯一的，有很多个不同的自然数100吗？当然不行。自然数集合中只有唯一的一个【自然数100】，没有多个【自然数100】。

因而李先生所举的例子，想用同一个自然数集合所标注的对象集合的不同来说明自然集合不唯一，有多个不同自然数集合的说法，就是错误的。他用自然数集合来表示有不同单位的对象如钞票等，以及用自然数集合表示两个无限班级组成的无限学校。 然后用钞票单位的不同以及和学校的不同来说明自然集合不唯一，有多个不同自然数集合的说法就是错误的。犯了对抽象的错误理解。得出【如果自然数集合是唯一的，就会得出1分=1元这一荒唐结论】的错误结论。同用自熟数表示的【A班的班学号和B班的班学号以及校学号都是自然数集合】，但却得出【这3个自然数集合显然不可能是同一个集合】的错误结论。事实是客覌对象是不同的，但是作为它们的数量关系的抽象-自然数集合，却是相同的，唯一存在的。

五，李先生关于用【元素个数】进行的推理，也是完全错误的。

李先生给出【定义1:对元素进行计数得到的结果称为元素数目】。他以为这给出了【元素数目】的完整的数学定义。其实【对元素进行计数得到的结果】，只对有穷集合有效，我们知道有穷集合【对元素进行计数得到的结果】是自然数。但是如何对无穷集合【对元素进行计数】，我们并不知道，怎么能得到所需的结果呢？因而这个定义是无效的。给了定义等于没有给出定义。

李先生也知道【对无限集合，其计数结果不可能用任何一个自然数来表示。】但是他说【这并不意味着无限集合的元素数目是不存在的。】这是不对的，要知道数学理论，是人创造的。数学理论中的存在必须要有人提出和定义，没有人提出和定义，不能用存在的数学表示，自然是在数学理论中尚不存在的概念。李先生可以提出【李氏元素数目】的定义，但是他的定义要么不完整，要么有矛盾，他的定义以最后失敗而告终，所以到目前为止，在数学理论中尚不存在他所要求的【元素数目】的概念。

关于这个问题，我们已交谈多次，李先生到現在，还没有认识到他的错误，在此文中还提出了他的错误要求。

必须明确，要给出集合的【元素数目】的数学定义。必须严格地定义一个数域，使每个集合都要有此数域中的唯一一个元素来表示它的【元素数目】。要知道李先生并没有完整地给出这个数域的内容。而只是说【不妨暂时借用数学分析表示发散的符号∞来表示无限集合的元素数目。但要注意，这里∞并不是发散符号，而是表示无限集合元素的数目的一个符号，因此仍然具有可加性，例如∞+1>∞，∞+∞=2∞>∞即∞>∞/2等。】

请问李先生，就凭这几句话，你认为就给出了这个数域的完整定义了吗？这里一个严重的问题是你连用∞表示的是哪个无穷集合的【元素数目】，都未说清。无穷集合很多。

另外什么是【可加性】，我们的理解是这样的。假定对于集合的并运算，集合C=A∪B，而且A同B无相同元素A∩B=∅，则集合C的元素数目|C|，等于集合A的元素数目|A|同集合B的元素数目|B|之和，|C|=|A|+|B|。

显然按此理解，基数是满足可加性的。而李先生说【这里∞表示的是具有可加性的精确的元素数目，而不是康托的基数概念，后者通常不具有可加性。】说得不对，基数满足可加性。

李先生的∞同超穷基数的不同在于，∞+1>∞，∞+∞=2∞>∞，但对任何超穷基数α，都有α+1=α，甚至α+n=α，而且对于可数基数β有α+β=α。

刚才说过，要严格地给出集合【元素数目】的数学定义，就必须对每个集合都要给出数域中的唯一一个确定的元素来表示它的【元素数目】。李先生也说他的∞【这里∞表示的是具有可加性的精确的元素数目】，但是李先生又变了，说【虽然我们给不出任何一个无限集合元素数目的具体数值， 但却可以精确地地给出它们的相对数值。 】

实际上，李先生的定义是失敗的，因为有矛盾。矛盾就出自他的这个关于元素数目相对数值的认识。即他认为【不难根据元素数目的可加性证明，任何无限集合的元素数目必定是比其任何一个真子集多的。】

其实可加性证明不了这个错误的结论。可加性只能说明如果集合C=A∪B，而且A∩B=∅，则集合C的元素数目|C|，等于集合A的元素数目|A|同集合B的元素数目|B|之和，|C|=|A|+|B|。并不说明|C|>|A|和|C|>|B|。要知道【集合的元素数目必定是比其任何一个真子集多】这是有限集的特性，你怎么断定它对无穷集一定适合？a+1>a，a+a=2a>a，这是自然数系的特性，你怎么知道∞+1>∞，∞+∞=2∞>∞就对无穷集合的元素个数的数域一定成立？要知道李先生的错误就在这里。他沒有分清有穷集合同无穷集合的区别，他错误地以为对有穷集合成立的事实，对无穷集合一定成立。错误地以为对自然数数域成立的规律，如a+1>a，对其它数域也一定成立。从而全凭他的主观臆想，主观地断定【任何无限集合的元素数目必定是比其任何一个真子集多的】，【∞+1>∞，∞+∞=2∞>∞】。

李先生的主观臆想恰恰错了，同可证明的事实相矛盾。即存在无穷集合，它同它的某真子集一一对应。由于一一对应被认为是元素数目相等。所以存在无穷集合，它同它的某真子集元素数目相同。

六，李先生证明【自然数集合不是唯一的】，是错误的。

李先生给出了【命题1 自然数集合不是唯一的】的两个【证明】。

证明1 假定N =｛1,2,3,...｝，然后令N*=｛1｝∪{2,3,4.... }={1,2,3... }。由于集合{2,3,4.... }，其元素能与N严格一一对应，即其元素数目与N相同。李先生认为【N*中自然数的数目精确地比N增加了1个, 即外延与N不同， 故N*与N不是同一个自然数集合，】错就错在他认为是【增加了1个】，事实是元素数目【相等】，即如果N的元素数目是∞，则不是∞+1﹥∞，而是∞+1=∞。N*同N是外延相同的，自然元素数目相同，是同一个集合。证明1错误。

证明2设N={1,2,3……}=A1UA2。其中A1={y|y=2x,x∈N}={2,4,6,……}，A2={y|y=2x-1|x∈N}={1,3,5,……}，由于A1和A2都与N严格一一对应，所以A1和A2的元素数目都与N精确一致。李先生认为【A1UA2的元素数目是N的两倍,与N不是同一个自然数集合，】错就错在认为【是N的两倍】，实际上是【相等】，即如果N的元素数目是∞，则不是 ∞+∞=2∞>∞而是2∞=∞。判断是否是同一集合，根据的是外延是否相同。所谓外延相同是指N的元素都属于A1UA2，而且反之凡A1UA2中的元素都属于N。容易证明两者的外延相同，而且元素数目自然相等。所以A1UA2同N是同一个自然数集合，证明2错误。

李先生说【在严格地证明了自然数集合的非唯一性后，很多数学问题都可以变得一清二楚。】事实是证明错了。自然数集合是唯一存在的，数学问题都可以说得一清二楚。

七，李先生对伽利略悖论认识的错误。

伽利略悖论过去叫悖论，实际上它不是悖论，它是比较早的发现的无穷集合的一个重要属性。那就是一方面认识到偶数集是自然数集的真子集，一方面又认识到偶数集同自然数集一一对应，元素数目相等。

这是无穷集的下述重要属性的典型实例〖存在无穷集合，它同它的某真子集一一对应。由于一一对应被认为是元素数目相等。所以存在无穷集合，它同它的某真子集元素数目相同。〗

这是无穷集合的特性，很正常，一点矛盾都没有，不是悖论。

李先生的错误在于他认为，集合的元素数目必须大于它的真子集，因而作为N的真子集的偶数集的元素数目只有N的一半。

他用偶数集不是唯一的，来解释他的这个错误认识。他说作为真子集的偶数集和能同N一一对应的偶数集是两个不同的偶数集，所以元素数目不同。豈不知这样的解释则是错上加错，犯了更大的错误。因为

作为真子集的偶数集和能同N一一对应的偶数集，都是偶数集。它们的外延是完全相同的，外延相同的集合必须是同一个集合。

八，李先生对【有理数集合Q可以与自然数集合一一对应】的错误认识。

我们知道有理数集合Q可以与自然数集合一一对应，而一一对应则意味着元数数目相等，所以有理数集合Q同自然数集合N的元素数目是相等的。

而李先生说【如果硬要认为Q可以与Q所包含的N一一对应的话，就会陷入部分可以等于整体这一反直觉的悖论。】

要知道〖存在无穷集合，它同它的某真子集一一对应。由于一一对应被认为是元素数目相等。所以存在无穷集合，它同它的某真子集元素数目相同。〗这是无穷集合的重要特性。并不是【部分可以等于整体这一反直觉的悖论。】对于无穷集合，人们应建立〖有可能整个集合同它的某真子集，元素数目相等〗的正确直覚认识。而纠正【任何无限集合的元素数目必定是比其任何一个真子集多的】错误主观偏見。

九，李先生在置疑线和面上的点一一对应问题上的错误。

我们知道康托尔发现一维直线上的无穷点可同二维平面上的点一一对应。而且给出严格的证明。

李先生错误地以【自然数集合不是唯一的】对此提出了质疑。我们来分析李先生的错误。

李先生首先以有穷小数为例，来说明。这本身就是错误的。因为结论只对无穷集合成立，有穷集合并不成立。

在康托的证明中，分别取线段上任一无限小数a的偶数位和奇数位形成的两小数作为平面坐标上的小数。显然无限小数的偶数位和奇数位可以形成完整的两个小数，所以线段上的一个实数就同平面上一个点建立完全的一一对应。这一点问题都没有，非常严格。

但李先生却认为【其小数位数只有a的一半】，虽然承认【得到线段上的点可以与平面上的点一一对应毫不奇怪】，但却认为【这种证明并无任何普遍意义】。李先生沒讲清楚他要什么【普遍意义】。这种置疑毫无根据。

十，李先生对康托尔对角线法证明的错误解读。

众所周知，康托尔对角线法证明用的是反证法，开始有个【实数集可数】的假定。但李先生却对此毫无所顾。说【没有任何理由可以反直觉地认为存在的东西是不能一一列出的，因此，假定我们有无限个无限小数，当然就可以将其一一列出：】

这就是李先生的错误，是在【实数可数】的假定下，无限个无限小数(实数集合)才可列成同自然数一一对应的序列。而李先生却不要这个假定，错误地认为任何无限集都可列出。

当把无穷小数列成序列后，分别用N和N'表示行标和列表这两个集合。李先生说【显然，如果认为自然数集合是唯一的，则N=N'，这就必然导致小数位数等于小数个数这一完全不符合事实的结论：】

当然，这个不符合事实的矛盾，即存在无穷小数b不在序列中的矛盾是由行标N’和列标N都是自然数引起的，而自然数当然是唯一的N’=N。这个矛盾对于行标N’和列标N都是自然数，必然存在。这个矛盾产生的真正原因是行标是自然数。也就是说这个矛盾所否定的是全体无穷小数(实数集合)同自然数的一一对应，即矛盾否定的是行标是自然数，即反证法中【实数可数】的假定。而这才是李先生没有认识到的错误。

十一，李先生认为数学要依靠【直觉】的错误。

学习过数学的人都知道，数学是逻辑相当缜密的科学，学习好数学必须依靠认真的思考严密的思维，不能靠粗浅的【直觉】。

李先生却认为【逻辑和直觉应该是统一的。如果两者发生矛盾，以人类目前的逻辑思维能力而言，大概率是逻辑错了， 这时就应该仔细检查逻辑中的错误，而不应该幻想着“逻辑是可靠的，直觉是不可靠的”，】

实际上刚好同李先生说的相反。人们的直觉往往是粗浅的，没有经过严密的思考，常常要通过严密的逻辑思考来纠正错误的直覚。当两者发生矛盾时，当然要靠正确的逻辑思维来克服错误的直觉。

李先生在文中说【康托很多反直觉的东西，其逻辑都是错的。】实际上刚好相反，其逻辑都是正确的，李先生的主覌直覚都是错误的，必须要用正确的逻辑和思考加以反对和纠正。

李先生说【例如，直觉告诉我们，任何确实存在的东西都是可以一一列出的，而任何可以一一列出的东西都是可以用自然数编号的，即可以与某一个自然数集合一一对应的，】

这个直觉是一个严重的错误，非可数的无穷集合确实存在。实数集合不可数，实函数集合则基数更大，与实数集合都不能一一对应。己经证明任何集合的幂集合都比此集合基数更大，基数有无穷多。那些认为所有的无穷集合都可数的观点，那些认为【不应该存在任何所谓的不可数集合】的观点，实在是太可怜无知，眼光太短浅了，只能用井底之蛙来形容。

李先生的当务之极，就是要虚心接受正确的逻辑推理，克服和纠正他的那些错误的直觉偏见，如认为【无穷集合都可数】，以及认为【全体自然数集合不唯一】等。

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