Zmn-1054 薛问天 : 分析李鸿仪先生对康托尔对角线证法质疑的错误。评《1053》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1053》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

分析李鸿仪先生对康托尔对角线证法

质疑的错误。评《1053》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，基本错误。

李先生说【在对角线证明中除了所要推翻的可数假定外，还隐含了另外一个假定，这就是相等性假定。】

这是李先生本文最基本的错误。在康托尔的证明中并没有【相等性假定】。这个假定是李先生自己主观臆造的假定。

二，关于无限集合【元素数目】的错误观念。

这是李先生在论证中最核心的错误。关于无限集合【元素数目】，在数学上并无此概念。目前业界公认康托尔的【基数】就是无限集合【元素数目】的准确描述，但李先生对此并不承认。

李先生的错误在于他以为他已经建立了无限集合的【元素数目】的理论，在论证中乱用集合元素个数这个概念。这是错误的重要表現。在无限集合的【元素数目】的确切概念没有确认前就随意在论证中使用，就是严重的错误。

三。李先生的【无限长方矩阵】，【无限正方矩阵】，就是李先生上述错误的具体表現。

在数学上没有【无限长方矩阵】这个概念。

李先生说【无限大的长方形矩阵在数学中早就存在，(1)只是一个例子【1】。】还说【无论是行数还是列数，在矩阵理论中都是有明确定义的，而且无限矩阵的理论早与集合论，】

这是完全不顾事实的乱说，无限行和列是无限集，哪里来的行数和列数。没有无限的行数和列数，怎么能有无限大正方形和无限大长方形的确切概念。所以李先生的这些观念和如下推论都是错误的。

李说【无限大长方形矩阵的存在直接证明了自然数集合并不是唯一的:无论是长方形矩阵的行数还是列数，都是自然数集合，既然是长方形矩阵，说明这两个自然数集合是不一样的。】

【无限大长方形矩阵的存在也直接证明了不存在全体自然数集合：既然自然数集合不是唯一的，在有多个自然数集合的时候，哪一个才是由全体自然数组成的集合？。】

由于李先生这里只是提到并无详细具体论述，所以就不在此具体评论其错误了。

四，李先生说【承认长方形矩阵的存在。还将直接推翻对角线证明。】現在来具体分析李先生的错误。

(1)，一开始这句话就错了。他说【矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。由于小数的个数比小数的位数多得多，以二进制小数为例，一位小数有两个，两位小数有四个，三位小数有八个……，所以(1)是一个无限大的长方形矩阵。】

序列的行和列都是无限集。无限集的【元素数目】没有数学定义，你怎么这样随便地说它们的【个数】和【位数】？而且还说什么【小数的个数比小数的位数多得多】。数学推理必须要有根据，李先生你做出这样的结论有任何根据吗？举了几个有穷小数的例子，用[......]就推出了【所以(1)是一个无限大的长方形矩阵】这样的结论。这是在开什么玩笑。这里讨论的(1)是无限小数形成的序列，不是有穷位小数形成的序列。要知道，没有根据算什么推理。只能是垃圾。

所以说首先，李先生的【(1)是一个无限大的长方形矩阵】，就是一个毫无根据的谬论。

(2)，李先生说【对角线论证的关键部分是定义了b，b=0.b1b2b3...，   (2)

 这里, bk≠akk, （k=1,2,3,...)    (3)  】

这没错，但李接着说

【根据(3)，k=1时，b1≠a11，我们只考察了矩阵的1行1列，被考察的行数严格等于列数；k=2时，b2≠a22，我们共考察了矩阵的2行2列，被考察的行数也严格等于列数……也就是说，对角线证明是在行数精确等于列数的情况下才能得到最为关键的b的，所以对角线证明是在假定行数和列数精确相等的前提下进行的，为讨论方便，将该假定称为相等性假设。】

在这里李先生故意忽視了有限和无限的区别，在这里所涉及的行数和列数bk≠akk, （k=1,2,3,...)，这些k都是自然数，自然数都是有限数，也就是说，行数和列数都是有限数，这里涉及的行和列数的相等，都是有限数的相等。

只要行标和列标都是自然数集合，对任何行标中的自然数k，列标中也有k与其相同，从而形成行数同列数相等。

反之，对任何行标中的自然数k，列标中也有k与其相同，从而形成行数同列数相等。也就是说，李先生所要求的

【对角线证明是在行数精确等于列数的情况下才能得到最为关键的b的，】实陆上对对角线证明的要求是在，对任何自然数k，都有行数k精确等于列数k的情况下进行的，就自然能得到最为关键的b。所以对角线证明是在假定行标和列标都是自然数集合的前提下就能正常进行的，並不需要什么行标和列标这两个集合的【元素数目】相等的假设，称为相等性假设。

也就是说只要假定〖行标和列标这两个集合是相同的集合〗，对角线法就能正确进行。并不需要假定什么【行标和列标这两个集合的【元素数目】相等】。

为什么假定〖行标和列标这两个集合是相同的集合〗，对角线法就能正确进行呢。严格点应当这么说。

(1)，在构造b=0.b1b2b3...中的bk位时，因为对任何列标自然数中的k，在行标中存在自然数k，即有第k个小数

ak=0.ak1ak2ak3...akk...它的第k位是akk。可使bk≠akk。在这里用到了【对任何列标自然数中的k，在行标中存在自然数k】

(2)，既然【对行标中任何自然数k，在列标中存在自然数k】，那么对任何小数ak就有它的第k位akk，和b的第k位bk，使bk≠akk，从而ak≠b。这就说明序列的任何行ak都不等于b，所以b不在序列中。

在(1),(2)中用到的【对任何列标自然数中的k，在行标中存在自然数k，】和【对任何列标自然数中的k，在行标中存在自然数k，】按照集合论的外延公理，这就是行标集合同列标集合是同一集合的必要充分条件。

既然我们已论证清楚，只要假定〖行标和列标这两个集合是相同的集合〗，对角线法就能正确进行。并不需要假定什么【行标和列标这两个集合的【元素数目】相等】。

所以，李先生所说的【对角线证明中有着两个假定:一个是可数假定，一个就是相等性假定。】就是错误的了。因为【实数可数】的假定，就可推出实数同自然数一一对应，小数序列的行标就是自然数集合。而我们已知列标就是自然数集合。因而行标和列标是相同的同一集合。这个假定完全可以由【实数可数】的假定推出。

因此，对角线证明否定的只是【实数可数】这唯一的一个假设，否定了最关键的可数假设，当然无可争辩的是，对角线证明了证明实数不可数。

由于李先生的【无限长方矩阵】的说法是错误的，因而他所说的【如果要证明小数不可数，就必须证明b不在(1)所示的长方形矩阵里面，显然康托并没有做到这一点。】这些说法都是错误的。

对角线法证明了b不等于任何行标k所示的序列(1)里面的小数，显然康托尔做到这一点，证明了b不在序列(1)中，推出了矛盾。

五。严重的逻辑混乱。

原以为李先生写出了【我们可以根据可数假定将小数…….一一列出】已经改正了他原来提出的【所谓“假定集合可数”是有问题的】错误。没想到在文章后面又把原来的错误全盘托出了。

李先生说【在没有证明不可数集合存在之前，我们并不知道世界上还存在着不可数集合，所以这时候自然而然就会把所有集合都看成是可数的，即不需要可数假定也会写出(1)。】

㸔来李先生还没有认识到他严重的逻辑错误。【我们并不知道世界上还存在着不可数集合，】怎么能【自然而然就会把所有集合都看成是可数的】呢，这是严重的逻辑错误。因为【不知道存在不可数集合】在逻辑上並不是【知道不存在不可数集合】。所以得不出【所有集合都是可数的】结论来！

不知道世界上还存在着不可数集合，并不等于我们不知道什么是【集合可数】，什么是【集合不可数】。由定义明确知道【集合可数】或【集合不可数】的区别是存在或不存在同自然数的一一对应的双射。在【不知道存在不可数集合】同时也【不知道不存在不可数集合】的情况下，当然有两种可能，【实数可数】或【实数不可数】。只有在假定【实数可数】的假定下，实数才能一一列出。在假定【实数不可数】的假定下，实数根本不可能一一列出！李先生说【即不需要可数假定也会写出(1)。】这是不可能的。所谓一一列出，必须存在实数到自然数的一个双射。不假定【实数可数】，就不存在这样的双射。

所以李先生认为推出的矛盾不是在【实数可数】假定下推出的，从而认为【对角线论证与可数不可数一点关系都没有】的看法是完全错误的。实际上正是李先生前面所讲【根据可数假定将小数…….一一列出】，然后推出矛盾，推翻了这个可数假定，才使【实数不可数】的定理得证。

六，最后的结论。

综上所述，由于李先生的【长方形矩阵】和【相等性假设】的错误，所以他所得出的结论说【对角线证明只不过推翻了一个本来不需要推翻的假设。或者说，对角线证明其实什么也没有证明。】是完全错误的。

当然李先生在此错误基础所说的，认为超穷数理论，连续统假设，大基数理论，【成了无本之木】的说法，以及什么【数学需要被拯救！再次呼吁教育部门暂停无限集合的相关教学，】等胡言乱语，也就不值一驳了。

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