Zmn-1063 薛问天 : 教科书对√2 不是有理数的证明没有错，评楊六省先生的《1058》。

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教科书对√2 不是有理数的证明没有错，

评楊六省先生的《1058》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

楊六省先生的《1058》，认为【教科书并没有证明√2不是有理数 ——我是这样证明√2 不是有理数的】。

我看了他的文章。他的证明没有错，他的证明等于先证明了两个引理。

引理①。若√2=p/q.，q是整数，则p不是偶数。证明用反证法。假定p是偶数，则推出p和q都含有无穷多个因数2，从而不是整数，产生矛盾引理得证。

引理②。若√2=p/q.，q是整数，则p不是奇数。可直接证明。

由引理①和②就可证明√2不是有理数。因为若√2=p/q，q是整数，则根据引理推出p不是偶数也不是奇数，当然p不是整数。从而√2不是有理数。

其实按照楊先生的证法可以直接用反证法写得更简㨗。

定理。√2不是有理数。

证明。用反证法，假定√2是有理数，那么就有√2=p/q，其中p和q是正整数。由上式两端平方得

p^2=2q^2。由于p是整数，p是奇数或偶数。因为奇数的平方不可能是偶数，所以得p是偶数，P=2r，r是整数。代入上式得

q^2=2r^2，由于q是整数，同理得q是偶数，q=2s，s是整数。代入上式得

r^2=2s^2，由于r是整数，同理得r是偶数，r=2t，t是整数。

......。

得出无穷序列，p=2r，r=2t，.....这样下去， 就会推出 p 含有无穷多个因数 2。从而说明 p 不是整数。同理可证q含有无穷多个因数 2，从而说明q也不是整数。同假设的 p和q 是整数相矛盾。定理得证。

但教科书提供的证明也是正确的，没有错。关键是在反证法的证明中，对反证法假定下推理要有正确的认识。要认识到在这个反证法的假定下可能会推出很多不符合真实的命题来。这些推出的命题当然都是相互矛盾的。其实只要能找出任何一个矛盾来，都可以使定理得证。

当然首先要把反证法的假定的含义搞清。在教科书对这个【√2不是有理数】的证明中，反证法的假定是【假设√2 是有理数， 那么存在两个互质的正整数 p， q， 使得 √2=p/q，】

也就是说，已明确假定√2=P/q，而且其中的p，q是互质的正整数。教科书在这个假定下推出p^2=2q^2，根据只有偶数的平方才是偶数，得p是偶数，再由p=2s， q^2=2s^2. 得 q 也是偶数. 这样， p和q都是偶数，不互质从而推出矛盾使定理得证。

所以说教科书的证明也是完全正确的。楊六省先生提出的质疑在哪里呢？

楊先生首先谈到“q 是整数” 这个假设。这其实在反证法的假定中，已明确假定【p，q是互质的正整数】，不必再说什么【“q 是整数” 这个假设可以得到满足也是很明显的事， 因为√2=p/q 总可以写成√2=p/q（q 是 整数） 的形式。】而且p是整数也己在反证法的假定之中。

楊先生说【接下来才是在“p 是整数” 的假设下由“p^2是偶数” 推出了“p 是偶数” ， 所以，说到底， “p是偶数” 之结论仍是一种假设。 】显然不正确，由“p^2是偶数” 推出了“p 是偶数” ，是在反证法的假定下，由p是整数推出的结论，並不是【仍是一种假设】。说这【仍是一种假设】显然是错误的。

另外，杨先生说【假设 q 是整数且 p 是偶数， 推不出 p 是偶数（理由见笔者关于√2 不是有理数的证明）。】这句话并不正确。虽然在楊先生的证明中证明了引理①，因为如果假定p是偶数，p和q会有无穷多个2的因子，因而不是整数产生矛盾，证明了p不是偶数。这是正确的。即你在相应条件下【推出了p不是偶数】，但这并不能说明在反证法的假定下就【推不出p是偶数】。因为我讲过反证法的假定可以推出很多互相矛盾的命题。完全可以证明在这个假定下可以推出p是偶数。很简单，因为p是整数，可以推出p不是奇数就是偶数。由于已证明p不是奇数，即教科书中所说【只有偶数的平方才是偶数】，所以就直接由P^2是偶数，推出了p是偶数。也就是说在反证法的假定下，即在假设 p 和 q 都是整数的情况下，能推出 p 是偶数， 因为整数有一个因数2，就是偶数。同时也能推出 q 是偶数。楊先生说【人们在证明中只用到了无穷偶数 序列“p， q， s， ……” 中的前两项参与推理，】认为这是证明中的错误是不对的。因为前两项就可证明p和q是偶数。至于用无穷序列证明p和q不是整数，那已是推出的另外矛盾的命题了。我讲了，在反证法的假定下可推出很多相互矛盾的命题。但只要找到一个，就可使定理得证。推出的p和q是偶数，这同p，q互质相矛盾，从而使定理得到正确的证明。

也就是说，楊先生要理解，在反证法的假定下，可能推出很多相互矛盾的命题(甚至是楊先生所谓的【明显荒谬】的)。你【推出了p不是偶数】。并不等于在这个反证法的假定下，就【推不出p是偶数】。事实证明完全可以推出。在反证法的假定下，会产生很多矛盾。只要推出任何一个矛盾，都能使定理得证。关键是楊六省先生忽略了这点。

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