Zmn-1077 薛问天 : 要正确认识无穷集，无穷集并不是正在不断增大的有限集。评林益的《1076》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对林益先生的《1076》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

要正确认识无穷集，无穷集并不是正在不断增大的有限集。

评林益的《1076》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.

一，抽一支烟少活6秒钟，问一天抽一包烟，寿命能減多少？这是一个很简单的数学应用题，怎么能说【 问题就无法解决】，还说什么这是一个【 无法解决的数学问题】。应该说在数学上这个问题可以而且己经得到徹底的解决。

尽菅【 被减数是多少？】这位老师的后续寿命是多少现在还不知道，但是他的问题【 我的寿命减少多少呢？】在数学上可以确切回答: 減少的寿命等于后续生命的一个比值。这个比值α可以计算出来。活一天他抽一包烟，寿命減少2分钟，一天等于1440分钟，所以这个比值α=2/1440=0.00138...。

这个比值太小了。如果这位老师能活到100岁，他现在60岁，后续寿命40年，他少活的天数只有40X365Xα=14600Xα≈20.1，才二十天，不足以打动这位老师不抽烟。

二，同样，林益先生认为“有理数究竟是比自然数多还是和自然数一样多？”【 这个在无穷条件下的问题是无法解决的，是不可能有明确的确定性的完美的答案的。】的这个结论也是完全错误的。

正如林益所述， 康托尔给出有理数集的基数为ℵ0，也给出自然数集的基数为ℵ0。ℵ0−ℵ0=0，表明有理数和自然数一样多，

林益先生对此产生疑问，他说【 这显然违反客观存在的事实，因为有理数0.5显然不是自然数， 这就明显的表明有理数集至少比自然数集多一个元素，认为有理数和自然数一 样多就存在逻辑上的矛盾】

林益先生质疑的错误在于没有分清有限集同无限集的区别。对于有限集来说，如果集合A比集合B至少多含一个元素。那肯定A和B的【元素数目】不能一样多。A的【元素数目】多于B。但是对于无限集来说，这个规律并不一定成立。如果集合A比集合B至少多含一个元素，完全有可能【元素数目】相同，因为我们是用一一对应来定义【元素数目】相同的。对于无限集来说，一个集合完全有可能同它的真子集一一对应。

也就是说林益先生的错误在于没有认识到无限集的这个特性:〖对于无限集来说，一个集合完全有可能同它的真子集一一对应。〗

三，事实上是林益先生对一一对应概念提出了错误的质疑。

我们知道一一对应是这样定义的。两个集合A和B称为是一一对应的，如果存在映射f: A→B是双射。

林益先生的质疑说了4点，其实就是一个意思，他把无穷集合不是看作确定的无穷集合，而是看作是不断延伸的有穷集合。认为无穷集合的生成是不可完成的。他说【1、.....显然只能是在任意有限条件下进行的，也就是说，任何一一对应元素都必须是有限的而且是确定不变的； 2、一一对应的过程必然是有限的延伸，有始无终，不能完成，不能结束，一直处于动态延伸过程中；3、由于一一对应的过程不能结束完成，一直处于动态延伸过程中，就不可能得到最终一一对应的最终明确确定不变的静态结果；4、由 于一一对应最终没有明确确定不变的静态结果，就不能进行大小多少的比较， 】

林益先生对一一对应的质疑完全出自对无穷集及映射的错误理解。无限集并不是在不断延伸的有限集。而是它的生成过程已经完成的确定的无限集，因而无限集之间的双射也是其对应已涉及集合中所有的元素，而并不是尚未完成只对部分元素成立的映射。所以认为一一对应是【 最终没有明确确定不变的静态结果】是不对的。例如自然数集对其真子集偶数集的双射y=2x，就是完全完成的映射，任何自然数x同任何偶数y都在双射的像中出现，没有重复和遗漏。说它没有完成，不是确定不变的静态结果显然是错误的。因而林益先生所说的【用一一对应的方法来比较两个离散的 无穷集合元素多少是不可能的】的质疑是错误的，一一对应完全可以作为比较两个集合【元素数目】相等的标准。

四，現代实无穷覌认为无穷集合是外延固定的一个确定的集合，并不是正在变化的不断延伸外延不定的一群有限集合。无穷个外延不断延伸增大的有穷序集合的无穷序列同无穷集合是两个不同的概念。同样也认为无穷小数0.999......是一个确定的实数，并不是无穷个有穷小数0.9,0.99,0.999,......构成的无穷序列。这无穷个有穷小数的无穷序列同那个无穷小数是两个不同的概念，不可随意混同。

林益先生的错误就在此，他认为这个无循环小数【  0.999…是一直按照 9 的循环延伸规律从有限开始不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束，一直处于动态的延伸过程中，不是静态的确定不变定值；可以表示成数列就是：0.9，0.99，0.999，…。】错误地把无限小数认为是有限小数的无限序列。

实际上在实数理论中是把无限小数0.999......定义为一个确定的数，它的值定义为这个无穷序列 0.9,0.99,0.999,......的极限，即等于1。

正是由于林益先生把 无限小数认为是有限小数的无限序列，才使他认为【 一直处于动态延伸过程中，因此它不具有数是确定不变的定值的属性，】从而使他得出错误的结论，说什么这个无限小数【 与 1 不具备逻辑中的相等关系，如果认为它们相等就违反 了逻辑的同一律规则，是绝对错误的。因此认为 0.999…等于 1 是绝对错误，】

也就是说 林益先生把 无限小数认为是有限小数的无限序列是他得出错误结论的基本根源。

五，关于小球匀速运动。我举这个例子是想说明，在有限时间内，一个无限过程是可以完成的，例如这个小球在1秒钟的时间走完了这一米的路程，但是在这个过程中【经过无限个点的无限过程】完全可以完成了。这就是我要表述的内容。其实只需要承认两点，第一，小球从0点运动到达1这个点，只用了一秒钟这个有限的时间。第二，它经过了路程中的无穷个点。只要承认这两点，就承认了我要说的事实【 在有限时间内，经过无限个点的无限过程完全可以完成。】

我看了林益先生所写的关于小球匀速运动的这段文字，看不出它在反对什么？他承认【 小球匀速运动，用 1 秒经过 1 米距离的问题：小球是从起点开始连续匀 速直线到达 1 米终点。】同时也承认【 小球也 确实经过了 0.9,0.99,0.999,…这无穷多个点，】所以说，林益先生己经承认了我要说的基本内容。现在就他提出的其它问题做些分析。

林益先生说【由于连续线段是一个完整的连续的整体，而不是由一个一个的静态点构成。虽然小球经过这 1 米长的连续线段所包含的静态点，但是却不是小球整个的运动过程的全部】。林益先生接着说【 小球也确实经过了 0.9,0.99,0.999,…这无穷多个点，但是这些点都是静态点，按照小球经过静态点运动规律，小球经过这些无穷多个静态点的时间所需时间仅仅为 0 而已，根本没有 1 秒。】

按照实数的理论，连续区间[O,1]，是由区间中所有实数点所构成。当然我们所说的0.9,0.99,0.999,…这无穷多个点只是其中很少的一部分点，不是全部。只算经过这些点的时间可以说它为0，但小球运动不是只经过这些点，还要经过这些点之间的距离，加起来是一米共需时间总共一秒。这是没有问题的。不知林益先生想由此反对什么？

他接着说的话我们就更听不懂了，不知在说什么，他说【可惜，小球是没有生命的，......如果有思维的话，它一定会感到奇怪：是否谁的精神有问题，本来一次就可以运动结束，为什么非要分成多次运动，】

我们并没有把运动分成多次运动，只是说在一次运动中经过了无穷个点′，怎么变成了【分成多次运动】？

后面的话更听不明白在说什么，他说【而且每次都要留下应该运动的距离的十分之一，难道就不知道线段是无限可分的吗，......也就是说，不可能使得留下来的距离的十分之一的线段长度为 0，那就永远达不到终点，这样的分法还有什么意义呢？除非分的人出尔反尔，不再留下来的距离的十分之一，显然这不是分人的初衷，或者分的人无知，没有一点数学理论知识而想当然，无限变小不就是 0 吗？可惜数学理论不承认想当然的人的无知。错误的就是错误的，无论用什么方法都不能将其证明正确。】

不知林益先生在说什么错误。在证明什么正确。接着林益又说【如果设计为 0.1 秒经过 0.1 米，0.11 秒经过 0.11 米，0.111 秒经过 0.111 米，…。结果如何呢？如果设计为 0.8 秒经过 0.8米，0.88 秒经过 0.88 米，0.888 秒经过 0.888 米，…。结果又会如何呢？】似乎在说小球还经过更多的无穷个点。那当然，我举的只是很少的一部分，小球经过的无穷个点还很多很多。经过这些无穷点的无穷过程，也是在一秒内可以完成的。不知林益在反对什么？

六，最后，林益用几句话做为他文章的总结。关键看这些话具体指的是什么，要做具体分析。如他说【任何动态中不断延伸变化中事物在有限的条件下都不能得到确定不变的结论，在趋向无穷情况下更不能得到确定不变的结论，】

如果他指的是，把无限集合看成是处在动态，不断延伸变化的有限集合，从而得出结论，认为无限集合的外延不是确定不变的。这样的结论显然是错误的。另外把无限集合间的一一对应也看成是不可完成的不确定的属性，显然也是错误的。实际上一一对应所存在的双射，是滿射而且不重复无遗漏，适合两个集合的所有元素，并不是处于动态尚末完成的属性。

林益先生说【不能把任意的有限条件得到的正确结论推广到无穷中去，】这个结论是对的，有很多有限集合成立的规律，对无限集合并不成立。林益先生应该理论联系实际，把具体的内容说清楚。例如对有限集合，集合不能同它的真子集一一对应。但对无限集合，则完全有可能，集合同它的某个真子集一一对应，【元素数目】相等。林益先生应具体认清这个道理。真正地，实实在在地认识到【 把任意的有限当成无穷】的错误所在，以及【 在有限条件得到的正确结论毫无顾忌的推广到无穷的情况中去，结果得到的结论都是错误的。】的实际内容。

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