Zmn-1098 薛问天: 互反函数的四个微分是不同的，这是由微分的定义所决定的。评新华《1097》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生的《Zmn-1097》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

互反函数的四个微分是不同的，这是由微分

的定义所决定的。评新华《1097》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

数学是逻辑缜密的科学。任何数学对象都有严格的数学定义。因而断定数学对象是否具有某性质，必须根据它的定义来进行推论。互反函数是两个不同的函数，尽管它们有共同的变量x和y。但这两个函数的微分dx是不同的，dy也是不同的。要知道这一切都是由微分的定义所决定的。新华先生之所以对此有错误看法，认为微分是相同的，关键在于他没有正确认识微积分中对微分的严格定义。下面我们来仔细讲述。

一、关于互为反函数的两个函数，函数𝒙=𝒈(𝒚)与函数𝒚=𝒇(𝒙) 。

按照函数定义，函数有确定的自变量和因变量。这是两个【不同】的函数，不是两个【恒等】的函数。这两个函数的关系不是【恒等】关系，而是【互反】关系。即这两个函数，作为自变量和因变量的𝒙，𝒚这两个变量的函数关系互反。所以，新华先生说它们是可以【互为恒等变形】的，其中【恒等】二字用的并不妥当。而是【互为反函数】比较准确。两个函数按照函数的自变量和因变量的关系所画的图形也不是完全一样，而是说它们是【互为反函数的图形】比较准确。

二、函数表达式是等式，所以把函数表达式看成是方程式，是没有问题的。

同样，把具有函数表达式形式的方程，看成是函数表达式，也是没有问题的。但是当你把它看作是方程还是看作是函数时，它们的含义不完全相同，这也是有目共睹的事实。看作是函数，它具有的是一个确定函数的特性，有明确的自变量和因变量，有确定的映射关系。如果把它看作是方程，它具有方程的特性。它可以给定多个隐函数，这些隐函数中有以x作自变量的函数，也有以x作因变量的函数不等。所以我还是认为说函数【是】方程，或说某类方程【是】函数是不妥的。方程和函数毕竟从概念上是两个不同的概念。

三、函数𝒚=𝒇(𝒙)和函数𝒙=𝒈(𝒚)两个函数表达式都是等式，可以看成是方程式。

因为这两个函数互为反函数，所以这两个方程式是等价的方程。这都没错是完全对的。因为所谓方程A和方程B的等价，是指对任何x和y，满足A当且仅当满足B。

但是这两个函数是两个不同的函数，不是【等价函数】。说互为反函数的函数是等价函数是完全错误的。而且进一步还说它们【在微分运算中也完全相同】则更是错上加错。新华先生说【从微分结果就可以得到验证】的认识是错误的，必须纠正。另外在微积分中只定义了函数的微分，并没有定义方程的微分。

四、新华先生说【微分就是函数的微分，就是对变量的微分，】

说微分就是函数的微分，这是对的。但说微分就是对变量的微分，就不对。因为函数y=f(x)的微分，有两个，一个是函数的因变量微分dy，一个是函数的自变量微分dx。并不是对变量的微分。

新华先生认为微分是对变量的微分。在讨论有共有变量的多个函数时就出现错误。在有互反函数两个函数时，(1)函数𝒚=𝒇(𝒙)通过微分得到𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)𝒅𝒙，(2)函数𝒙=𝒈(𝒚)通过微分得到𝒅𝒙=𝒈′(𝒚)𝒅𝒚。新华先生就错误的认为(1)和(2)中得到的微分dx是同一个微分，说它是同一个变量x的微分。认为得到的微分dy也是同一个微分，说它是同一个变量y的微分。这种说法是错误的。

新华先生之所以对此有错误看法，认为微分是相同的，关键在于他没有正确认识微积分中对微分的严格定义。

4.1，那就严格地说说微积分中的微分定义。

请新华先生回答，在微分定义下这两个函数求导后形成的微分是四个还是两个。我的回答是四个，你的回答呢？

我把我的回答附上。引自《1050》

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还是先从微分的定义开始。首先给出一个函数y=f(x)。如果有Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx称为函数y=f(x)的因变量微分，记作dy，把Δx称为函数y=f(x)的自变量微分，记作dx。

这个定义讲得非常清楚，为函数y=f(x)定义了两个微分，一个叫作函数y=f(x)的因变量微分，dy=AΔx。一个叫作函数y=f(x)的自变量微分，dx=Δx。后又证明A是函数y=f(x)的导数，即dy/dx=f′(x)=A，

如果仅仅讨论这一个函数，你把dx看作是变量x的微分，把dy看作是变量y的微分，不会出什么问题。因为这些变量为函数所独有。但当我们研究两个以上函数时，在讨论它们的微分时，就可能有要特别注意的情况，因为不同函数可能有共用相同的变量。例如在把y=f(x)同它的反函数x=g(y)一起讨论时，它们有共同的变量x和y。讨论它们的微分。

(1)对函数y=f(x)，如果有Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx称为函数y=f(x)的因变量微分，记作dy，把Δx称为函数y=f(x)的自变量微分，记作dx。dy/dx=f′(x)=A，

(2)对函数x=g(y)，如果有Δx=BΔy+o(Δy)，则把BΔy称为函数x=g(y)的因变量微分，记作dx，把Δy称为函数x=g(y)的自变量微分，记作dy。dx/dy=g′(y)=B，

显然从微分的定义可知(1)中的dx，是函数y=f(x)的自变量微分，而(2)中的dx，是x=g(y)的因变量微分，这两个dx不是同一个微分。同理可知(1)的dy同(2)中的dy，这两个dy也不是同一个微分。

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再补充一句，为了不引起混乱，所以我们在记号上可以把(1)中的dy记作dy1，dx记作dx1，把(2)中的dx记作dx2，dy记作dy2。共有四个微分。

4.2，新华先生按照他的想法，在论述中並未引出微分的完整定义。

我们仔细㸔新华的文中的四，他只承认𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚/𝒅𝒙和𝒈′(𝒚)=𝒅𝒙/𝒅𝒚，但是他根本就没有具体说出其中的𝒅𝒚和𝒅𝒙的定义是什么。我们要问新华先生，你连dy和dx的定义都没有，你讨论什么微分？怎么知道两个导数中的dx和dy是同一个微分。你的根据是什么，连定义都没有，怎么知道它们相同。你不说函数y=f(x)的微分dy=f´(x)Δx，dx=Δ.x，你根据的定义是什么?【函数的微分最基本的知识和常识】在哪里？只说【𝒅𝒚与𝒅𝒙的关系完全由𝒇′(𝒙)给出，】为什么只说𝒅𝒚与𝒅𝒙的【关系】，而不说𝒅𝒚与𝒅𝒙【是什么】的定义？

4.3，他唯一提出的问题只是【如果导数𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚/𝒅𝒙和𝒈′(𝒚)=𝒅𝒙/𝒅𝒚中的两个微分𝒅𝒙都是不同的微分，两个𝒅𝒚也是不同的微分，怎么能推导出𝒇′(𝒙)×𝒈′(𝒚)=1 呢？这个等式成立又应该如何解释呢？】

这很好回答。因为这两个函数互为反函数，它们的复合函数f(g(y))是恒等函数。而恒等函数的导数等于1，所以按复合函数的求导规则，就可推出𝒇′(𝒙)×𝒈′(𝒚)=1，再根据承认𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚1/𝒅𝒙1和𝒈′(𝒚)=𝒅𝒙2/𝒅𝒚2，即可推出(𝒅𝒚1/𝒅𝒙1)×(𝒅𝒙2/𝒅𝒚2)=1，即(𝒅𝒚1/𝒅𝒙1)=(𝒅y2/𝒅x2)。即可知微分比相等但绝推不出微分分别相等𝒅𝒚1=𝒅y2，𝒅𝒙1=𝒅x2。所以仍然是四个不同的微分。

请注意我们在此只是对不同微分引入四个不同的微分记号，并未涉及变量。不要乱评。

4.4，互为反函数的函数𝒚=𝒙^𝟑与函数𝒙=³√𝒚的微分。

设函数𝒚=𝒙^𝟑的导数为dy1/dx1，按求导公式可求出dy1/dx1=3x^2。再根据微分的定义，求出: dy1=(3x^2)Δx，dx1=Δx。

设函数𝒙=³√𝒚的导数为dx2/dy2。根据互反函数导数互倒的规律可求出dx2/dy2=1/(dy1/dx1)=1/3x^2。当然将𝒙=³√𝒚代入，也可写为dx2/dy2=1/3(³√y)^2。求出: dx2=(1/3(³√y)^2)Δy，dy2=Δy。

五，新华先生说【数学中的直观比喻在教学中是常用的方法，深入浅出的介绍数学原理，认学生通过联想和类比，对数学原理更加容易理解，特别对思维不够敏捷的人，效果更佳，】我很同意，但要注意两点：

第一，直观比喻，只是【通过联想和类比，对数学原理更加容易理解，】而不是论证的工具。论证对错只能靠逻辑推理，不能靠比喻。

第二，，比喻必须正确，不能进行错误的比喻。错误的比喻不仅不能加强对数学原理的理解，反而会导致更严重的错误。

我们知道，微分是函数的微分，互反的两个函数的微分是四个不同的微分。由于新华先生的认识错误，认为微分是变量的微分。认为对于互反函数只有两个微分。用父親和女儿来比喻对两个不同变量的微分。是严重的错误。比喻不当，所以此比喻不可取，应予以废除。

六，我并不认为比喻可以同真正的数学概念完全相同。

用夫妻关系和妻夫关系来比喻互反的两个函数关系，当然可以做这样的比喻，但也要认识到这只是比喻，比较勉强。新华先生把互反函数的四个微分比喻为只有父、女两人，当然是严重错误的，我把它比喻为父、母、儿和女四人，起码在这点上，还比较恰当。我认为不要在这些比喻上化费功夫了。首先要从逻辑上把数学问题的对错先搞清楚。

新华先生没有真正认清微分是函数的微分，不是变量的微分。要认清不能错误地认为变量相同就说微分就相同。新华先生之所以对此有错误看法，认为互反函数这两个不同函数的微分是相同的，关键在于他没有正确认识微积分中微分的定义。所以关键还在于真正搞清微分的定义。

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