Zmn-1124 薛问天: 求导数时要求∆x≠0，从而克服了貝克莱悖论，评新华先生的《1123》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生的《Zmn-1123》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

求导数时要求∆𝒙≠0，从而克服了

貝克莱悖论，评新华的《1123》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，新华在一中问了两个问题。

1，新华问【”求导数𝒇′(𝒙)时，是用极限方法处理∆𝒚/∆𝒙= 𝒇′(𝒙)+ 𝒐(∆𝒙)的，如果“要求∆𝒙≠0”，如何消去𝒐(∆𝒙)，得到𝒅𝒚/𝒅𝒙= 𝒇′(𝒙)？】

新华说【通过把∆𝒙当成 0 处理才能得到𝒚′=𝒅𝒚⁄𝒅𝒙，否则∆𝒚/∆𝒙=𝒇′(𝒙)+𝒐(∆𝒙)中 的无穷小𝒐(∆𝒙)是大于 0 的，怎么就没有了呢？这表明𝒚′=𝒅𝒚⁄𝒅𝒙=𝒇′(𝒙)成立的必要条件是∆𝒙=0。】

这说得不对。求导数并没有【把∆𝒙当成 0 处理】，导数不是定义为∆𝒚/∆𝒙，而是定义为∆𝒚/∆𝒙的极限，即𝒇′(𝒙)=𝐥𝐢𝐦∆𝒙→𝟎(∆𝒚/∆𝒙)，因而要对等式两端求极限。等式是∆𝒚/∆𝒙=𝒇′(𝒙)+𝒐(∆𝒙)/Δx。在两端求极限时，无穷小𝒐(∆𝒙)/Δx是大于 0 的，但它的极限等于0，取极限后就没有了。所以 𝐥𝐢𝐦∆𝒙→𝟎(∆𝒚/∆𝒙)=f´(x)。

在这里是𝒐(∆𝒙)/Δx的极限等于0。並不是Δx=0，所以并不表明𝒚′=𝒇′(𝒙)成立的必要条件是∆𝒙=0。

是的，【教材的微分定义是在导函数定义之后】。所以微分的定义中允许∆𝒙=0，同求导数时要求∆𝒙≠0，没有任何矛盾。在微分的定义中，微分定义为Δx的线性函数，定义𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙，𝒅𝒙=∆𝒙，如果∆𝒙=0 则必有𝒅𝒚=0，𝒅𝒙=0，当然是有意义的。

在求导数时要求∆𝒙≠0，而且在证明𝒅𝒚⁄𝒅𝒙=𝒇′(𝒙)时也说明是在∆𝒙≠0和𝒅𝒙≠0的条件下成立的关系，因而求导数时不存在∆𝒙=0 和∆𝒙≠0矛盾的贝克莱悖论。

2，新华问【2、“但对于定义的微分𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙和𝒅𝒙=∆𝒙中，却是允许∆𝒙=0 的。”如果“却是允许∆𝒙=0 的。”必有微分𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙=𝒇′(𝒙)∙0=0 和𝒅𝒙=∆𝒙=0，即𝒅𝒚=0，𝒅𝒙=0，意义何在？ 】新华先生问【按薛问天说法：“在定义的微分𝒅𝒚和𝒅𝒙中，是允许∆𝒙=0 的。”显然𝒅𝒙=∆𝒙=0，由𝒅𝒚=A∆𝒙=A∙0=0，微分还有什么意义呢？】

微分是相应变量增量的线性主部，是自变量增量Δx的线性函数，当∆𝒙=0时函数值𝒅𝒚=𝒅𝒙=0，这很正常，这就是它当∆𝒙=0时的意义。为什么还要问【还有什么意义呢？】你要微分有的是什么意义？

我在《1117》中说：〖但是，在证明𝒇′(𝒙)=𝒅𝒚/𝒅𝒙时，要使微商𝒅𝒚/𝒅𝒙= (𝒇′(𝒙)∆𝒙)/∆𝒙= 𝒇′(𝒙)，必须要求∆𝒙≠0，同时这里也要求𝒅𝒙≠0。〗

新华先生说【讨论问题应该严肃一点吧！在微积分的任何教材中，都没有 “ (𝒇′(𝒙)∆𝒙)/∆𝒙”这样的表达式，只有∆𝒚/∆𝒙=𝒇′(𝒙)+𝒐(∆𝒙)的表达式，只能随便杜撰呢？】

新华先生问的太奇怪了，明明微分的定义写得清清楚楚 𝒅𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙，𝒅𝒙=∆𝒙，自然有𝒅𝒚/𝒅𝒙=(𝒇′(𝒙)∆𝒙)/∆𝒙，怎么说【没有“(𝒇′(𝒙)∆𝒙)/∆𝒙”这样的表达式】？是【随便杜撰呢？】多看一会就看清楚了。

二，关于表达式中的高级无穷小。

既然∆𝒚/∆𝒙−𝒇′(𝒙)=φ(∆𝒙)，即∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)∆𝒙，其中 φ(∆𝒙)=∆𝒚/∆𝒙−𝒇′(𝒙)。对于𝒚=𝐬𝐢𝐧 𝒙，𝒇′(𝒙)=cos x。代入即得∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+φ(∆𝒙)∆𝒙，其中

φ(∆𝒙)=∆𝒚/∆𝒙−𝒇′(𝒙)=(sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x。

即在理论上可证 φ(∆𝒙)∆𝒙是高级无穷小。即当Δx→0时，

φ(Δx)=(sin(x+Δx)-sin x)/Δx-cos x →0。

对于𝒚=𝐥𝐧 𝒙和𝒚=𝐞^𝒙同样可求出相应的φ(Δx)。代入即可求出相应的∆𝒚=𝒇′(𝒙)∆𝒙+𝒐(∆𝒙)表达式。其中的𝒐(∆𝒙)=φ(Δx)Δx。太简单了，不用我来表达了。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】