最近做水文大地测量，绕不过去的卫星重力GRACE以及球谐函数，始终不理解空间分辨率和球谐最大展开阶（degree）是什么关系！

问题：球谐展开的阶数的多少与地面空间分辨率的关系？

一、查阅相关资料：

1）重力场模型_重磁与时间域电磁_挂云帆 https://www.guayunfan.com/lizhigushi/29818.html

为了表示地球引力场的空间分布状况，要建立一个地球引力场的模型，在地球物理学中，常用一个球谐函数的展开式来描述地球的引力场。所谓模型，是由一个球谐函数的展开式和展开式中的一些球谐系数组成，展开式中所取的项数愈多，系数也愈多，刻画引力场也就愈细致。全球重力模型球谐展开最大阶数Nmax与空间分辨率有如下关系：一个模型在地表可分辨的最短波长λ（以km为单位）可由下式求得：

式中：是地理纬度。例如，EGM96模型的展开阶次为360，在赤道上最短波长约为110km，相应地，空间分辨率为最短波长的一半，约55km

2）世界地磁场模型精度评价-常宜峰

http://ch.whu.edu.cn/fileWHDXXBXXKXB/journal/article/whdxxbxxkxb/2016/10/PDF/20161019.pdf

在不同的截断阶数下所对应的空间分辨率和波长是不相同的。地磁场模型球谐系数截断阶数与空间最小分辨率波长之间的关系为：

式中，R为地球半径；N为地磁场模型球谐函数的最大截断阶数；λ为空间分辨率的波长。

3）ICGEM -15 years of successful collection and distribution of global gravitational models

https://www.researchgate.net/publication/333132180_ICGEM_-15_years_of_successful_collection_and_distribution_of_global_gravitational_models_associated_services_and_future_plans

The spherical harmonic degree expansion corresponds approximately to thespatial resolution of λl =180°/l or λkm =20 000 km/l, where20 000 km is the half wavelength of the equatorial lengthand lis the spherical harmonic degree. A spherical harmonicmodel of the gravitational field up to maximum degree lmaxconsists of (lmax +1)2coefficients (see also Fig. 5).

For a given spherical harmonic degree l, the corresponding half-wavelength spatial resolution on the Earth's surface is approximately given by 20000/l km. 

4）THE EUROPEAN GRAVITY FIELD AND STEADY-STATE OCEAN CIRCULATION EXPLORER SATELLITE MISSION: ITS IMPACT ON GEOPHYSICS

https://bora.uib.no/bora-xmlui/bitstream/handle/1956/3796/GOCE_Survin_G.pdf?sequence=1&isAllowed=y

which can be translated into a corresponding spatial-scale(half-wavelength given in km) D with

D = 20000/L

二、验证

韩建成-基于Slepian方法和地面重力观测确定时变重力场模型 

文献中大量提及空间分辨率与阶数的关系，作为验证上面四种公式的正确：

华北地区（纬度范围32°-42°）

60、90、120和 180阶（半波长空间分辨率约400km、200km、150km 和 100km）

1）方法一涉及地理纬度，近似取平均37°；

2）方法二涉及地球半径，取：R=6378km；

阶数	方法一	方法二	方法三/四
60	266.08	333.95	333.33
90	177.39	222.63	222.22
120	133.04	166.98	166.67
180	88.69	111.32	111.11

可见60阶时候误差最大，个人感觉韩文章中所提的60阶-400km空间分辨率是GRACE卫星的成果，而GRACE时变重力数据处理会进行高斯400km平滑处理消除条带误差。

因此，这里60阶球谐函数展开与高斯平滑半径是否有关系？？？？

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