关于收入分配和经济增长的关系，最近看了几篇文章，记录了其中三篇，故事有代表性，但是使用新古典的“模型”讲出来的，当然也可以用马克思的“模型”讲同样的故事，但是马克思的模型似乎考虑了更多的因素（这是其天然的基因），所以要如何学习新古典的建模技巧，为马克思的故事提供一个简洁、清晰且包含了马克思对资本主义分析的主要逻辑的基本模型或framework，就相当重要了。

Galor, Oded, andZeira, Joseph. "Income distribution and macroeconomics." The reviewof economic studies 60.1 (1993): 35-52.

本文通过人力资本积累来说明收入分配与宏观经济的关系。作者认为历史决定的财富分配会决定宏观经济的短期和长期的均衡路径，数据上显示富国的收入分配更均衡。（其实这也有可能是经济发达了，收入分配才更平均，但是作者的意思是认为收入分配平均才是发达的原因，理由就是人力资本积累）

作者采用OLG模型，假设生产可以以技术密集或者非技术密集的方式生产，一个人分为两期，第一期只能以非技术密集的方式生产，若第一期积累了人力资本，则第二期可以以技术密集的方式生产，否则只能以非技术密集的方式生产。

因为信贷市场的不完美，个人对于人力资本的积累取决于其继承的财富，于是财富分配越平均，人力资本积累就越多。而且这不是一个短期的影响，因为人力资本的积累又会使收入分配更均衡从而持续对人力资本进行投资。

关键性假设有两个，一个是人力资本投资是不可分的，即非凸的技术；一个是信贷市场不完美，人力资本投资的借贷成本高昂。所以财产分配对人力资本投入非常重要，因为自己的投入不用付出高昂成本。

模型显示，一方面存在多重均衡和均衡路径的可能性，另一方面，收入分配还会影响系统面对宏观冲击所作的调整。

基本假定：单部门总量模型

技术密集的生产函数：Y_t^s=F(K_t,L_t^s)

非技术密集生产函数：Y_tⁿ=w_nL_tⁿ

   其中，F是规模报酬不变的凹函数，资本和人力资本是上一期积累的，而且不考虑调整成本和资本折旧。假设没有人口增长，从而一人将遗产给一个孩子，而且一个人仅在第二期进行消费，从而其效用函数是：u=αlogc+(1-α)logb

C是第二期的消费，b是遗产，α在(0, 1)上。

假设国际上利率水平为r，个人要获得贷款需付出比r更高的代价，而企业则不需要，即F_K(K_t, L_t^s)=r

   产品市场和劳动力市场都是完全竞争的。于是，给定资本和劳动（上一期积累的），给定国际市场利率r不变，技术密集的劳动的工资w_s就决定了。所有人都是理性预期的。

   以上是全部假设。后面的分析主要是个人是否选择人力资资本投资才能效用最大化，基本认为一开始的财富状态决定了以后所有的均衡产出水平。

Alesina,Alberto, and Dani Rodrik. "Distributive politics and economicgrowth." The Quarterly Journal of Economics 109.2 (1994): 465-490.

本文研究的是不同人禀赋不同，即所拥有的资本/劳动不同，对经济增长的影响。影响机制是，假设只针对资本征税（这里的资本指的是所有可积累的生产要素，包括人力资本），不同禀赋的人的最优税率不同，于是根据“中间人投票定理”分配比例的中位数将决定政府的税率，从而影响资本积累和经济增长。结论是，要素分配越不平均，税率越高，增长率越低。这一结论得到了国别数据的支持。

但是，本文并不认为政府征税后形成的支出是消费性的，而是认为政府服务是生产性的。文章假设生产函数为：y=Ak^αg^1-αl^1-α

   其中，A是技术，k是资本，l是劳动，g是政府服务，α属于(0, 1)

财政收支平衡，所以g=τk，τ是对资本的征税。

于是，生产函数变为y=Akτ^1-αl^1-α

假设要素市场是完全竞争的，因此，要素价格有边际产出决定：

r=∂y/∂k= Aτ^1-αl^1-α=r(τ)

w=∂y/∂l=(1-α)Akτ^1-α=w(τ)k

其中，我们假设劳动总供给是没有弹性的，因此，将总劳动供给单位化为1.

于是，工资和利息都受到政府税收的影响。由此，资本和劳动的总收入分别为：

y^k=[r(τ)-τ]k

y^l=w(τ)k

   于是，有y= y^k+ y^l +g

我们可以看到，征税越多，工资收入越高，但是虽然资本的边际产出也因此而提高，毕竟是对资本直接征税，所以资本收入也会因此而降低，所以征税会影响资本积累对资本收入有双重作用，其方向相反。

假设所有人其他方面都一样，就是初始的要素禀赋不同。

σⁱ=lⁱ/(kⁱ/k)

其中，σⁱ代表第i人的禀赋，越小就是资本富裕，lⁱ是劳动份额，kⁱ是资本数量，k是总资本量。

于是有：yⁱ=w(τ)klⁱ+[r(τ)- τ]kⁱ=w(τ)kⁱσⁱ +[r(τ)- τ]kⁱ

   从而第i人的最有增长应max Uⁱ=∫log(cⁱ)e^-ρtdt

   且满足dkⁱ/dt=w(τ)kⁱσⁱ +[r(τ)- τ]kⁱ- cⁱ

   由此求出的均衡路径取决于税率τ，而中位数i的最优税率τ则成为全社会的税率。后面的分析就自然而然了。

Cagetti, Marco,and Mariacristina De Nardi. "Entrepreneurship, frictions, andwealth." Journal of Political Economy 114.5 (2006): 835-870.

本文要说明因为存在“借贷约束”，人们在考虑“当老板”还是“打工”的时候，最主要的考虑因素就是自身的财富。而且，正是因为“借贷约束”，当老板的财富会越来越多，贫富分化也会越来越大。

整个故事是这样的：每个人的企业家才能和劳动能力都是随机的，但是信贷市场是不完美的，存在“借贷约束”。作者假设工人借不到钱，而企业家可以通过资产抵押借到钱。从而，到底是当工人还是当企业家，就取决于现有资产条件下的个人最优选择。

具体的模型假设如下：

作者假设了一个两阶段的生命周期模型，年轻阶段变老的概率是(1-π_y)，老年阶段去世的概率是(1-π_o)。如果第一期选择当工人，第二期则只能退休；第一期选择当企业家，则第二期可以继续当企业家，或者退休。

消费的效用函数为c^1-σ/(1-σ)，贴现率为β。因为去世后，遗产留给下一代，那么下一代获得遗产的贴现率为η，如果η=0就是完全不关心下一代，如果η=1就是将下一代的财产看做跟自己的财产一样关心。

企业家才能为θ，劳动能力为y。如果选择当企业家，则投资k，产出为θk^v，而v∈[0, 1]。The nonentrepreneurial sector（非企业家部门？）生产函数是CD函数，且技术不变：F(K_c, L_c)=AK_c^αL_c^1-α。两个部门的资本折旧率都为δ。

企业家借钱之后可以选择信用违约，也就是不还钱，他可保留自己的财产和借的钱的一定比例f，银行只能追回的比例是1-f。

令期初的资产为a，加上标表示下一期的值。

于是，一个人的最优选择的净值为：

V(a, y, θ)=max{V_e(a,y, θ),V_w(a, y, θ)}

其中，V_e(a,y, θ)是选择当企业家的净收益的现值，而V_w(a, y, θ)是选择当工人的净收益的现值。为了当企业家，他要以自己的资产为基础进行借贷，期利息率为r，于是有：

V_e(a, y, θ)=max_c,k,a’{u(c)+βπ_yEV(a’, y’, θ’)+β(1-π_y)EW(a’, θ’)}

s.t.  a’=(1-δ)k+θk^v-(1+r)(k-a)-c

   u(c)+βπ_yEV(a’, y’, θ’)+β(1-π_y)EW(a’, θ’)≥V_w(fk,y, θ)

a≥0

k≥0

   求期望是因为(y’,θ’)是随机的，F(y’, θ’|y, θ)是一阶马尔科夫过程。

如果年轻人选择做工人，则其收益的净现值为：

   V_w(a, y, θ)=max_c,a’{u(c)+βπ_yEV(a’, y’, θ’)+β(1-π_y)EW_r(a’)}

s.t.  a’=(1+r)a+(1-τ)wy-c

a≥0

   其中，w是工资，τ是收入税率，W_r(a’)是老后退休的价值函数，工人老后只能退休。

   接下来考虑老年阶段的选择，包括资本家选择继续经营还是退休，退休留多少遗产，以及工人退休后消费多少，留多少遗产的问题。

   企业家老后的价值函数为W(a,θ)=max{W_e(a,θ),W_r(a)}

   其中W_e(a,θ)是老后继续经营的价值，而W_r(a)是老后退休的价值。

   W_e(a, θ)=max_c,k,a’{u(c)+βπ_oEW(a’, θ’)+ηβ(1-π_o)EV(a’, y’, θ’)}

s.t.  a’=(1-δ)k+θk^v-(1+r)(k-a)-c

   u(c)+βπ_oEW(a’, θ’)+ηβ(1-π_o)EV(a’, y’, θ’)≥W_r(fk)

a≥0

k≥0

其中，(a’,y’, θ’)是其后代的初始水平，(y’, θ’)是以(y, θ)为条件的一阶马尔科夫过程。而退休的人的净价值为：

W_r(a)=max_c,a’{u(c)+βπ_oW_r(a’)+ηβ(1-π_o)EV(a’,y’,θ’)}

s.t.  a’=(1+r)a+p-c

a≥0

   其中p是退休金。

   对以上模型，作者通过数值模拟，拟合出了和现实中收入分配的状况相似的结果，并说明现实中的贫富分化主要是由初始财富分配不均和“借贷约束”造成的。