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人类的现代科学之路 第三十章 开普勒第三定律
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第三十章 开普勒第三定律
开普勒发现了“行星运动第三定律”，他得到了数字上和谐的宇宙图像；开普勒达到这一目标是一个微妙而复杂的思维与逻辑过程，要探讨他的这一思维过程，不是平铺直述就能讲清的。
开普勒的著作《和谐的宇宙》共分五册。在前几册里，开普勒探讨了各种几何形体中不同部分的比值与和谐关系，以及音乐中各种音阶与音阶组合之间的和谐关系，然后是宇宙中天体运动的和谐关系与前两种和谐关系的一致性。在第五册之最后部分，开普勒迸发出他深邃思想中灵感的火花，从宇宙的和谐性出发，他发现了“行星运动第三定律”，并据此求出行星轨道的偏心率。
在第五册第三章第八部分，开普勒认为，“可以肯定而准确地说，任何两个行星的周期之比与它们[到太阳]*的平均距离，亦即真正的周长之比精确地符合黑米奥拉比①关系。但是有一点不能忽略，它们椭圆轨道直径的算术平均值略比长轴的值小一点。”②（A1）
接下来，开普勒继续写道，“因此，对周期相对值（例如，地球为1年，土星为30年）取三分之一，即立方根，然后使其加倍，即取根的平方，得到的即分别是地球与土星到太阳平均相对距离之确切相对值。1的立方根是1，取其平方仍为1；30的立方根大于3，因而其平方大于9。那么，太阳到土星的平均距离是太阳到地球平均距离的9倍多一点。”③（A2）
对（A1）部分以现代方法进行表述，以T表示行星的周期，S表示周长，R表示平均半径（因为S≈2πR，所以S1/S2≈R1/R2），以H表示黑米奥拉比（3/2），可以表示如下式
（T1/T2）2/3 = R1/R2 （30﹣1）
因而 （T1/T2）2 =（R1/R2）3 （30﹣2）
并且 T1/T2 =（R1/R2）H =（S1/S2）H （30﹣3）
这里，开普勒表述的就是T2=R3关系。
如同表（29﹣2）中的数据所示，以地球的周期与轨道半径为单位，得到以上关系；在式（30﹣2）中，令T2=1，R2=1，即得到 T12=R13关系。
在第谷和开普勒时代，还不能测出行星到太阳的距离，观测得到的是行星的角速度，开普勒根据和谐原理以相对值进行计算，由周期之比T1/T2求得平均半径之比R1/R2，这一步正是其思想深邃之所在。
（A2）部分以地球与土星为例，说明了由地球与土星的周期比求它们到太阳的平均距离之比的计算过程。
（1/30）2/3 =1/X，且 X＞≈9 （30﹣4）
由地球为周期1年，土星周期30年，得到太阳到土星的平均距离是太阳到地球平均距离的9倍多一点。
在全书结尾部分的第五册第十章“关于太阳系的极度启发性推测之结语”最后一节，开普勒引用以上关系，进一步论证，“因为平均运动之比与周长之反比是H关系。”④
以上论述可表示如下，以M表示平均运动，T为周期，如果以周长为1，则有MT=1，因而
M=1/T （30﹣5）
因而 M1/M2 = T2/T1 （30﹣6）
由式（30﹣3），得到
M1/M2 =（S2/ S1）H （30﹣7）
开普勒继续论证，“然而，在克拉维斯的《实用几何学》的附表⑤中，在底数相同的情况下，一数之立方数的相应值与其平方数的相应值之比也是H关系。因此，如果我们在那个表中的立方数中查找平均运动的数值，在左方平方数项下的数值就是周长的相对值。”⑥
设数X，底数为A，上述可以表达为
LogA X3/ LogA X2 = H （30﹣8）
以及
如果 T = X3 则 S = X2 （30﹣9）
因为周长的相对值也是半径的相对值，所以有
如果 T = X3 则 R = X2 （30﹣10）
那么 LogAT / LogAR = H （30﹣11）
由式（30﹣10）可得
T2 = R3 （30﹣12）
第三定律在这里再次出现，不过这是它的现代形式。
开普勒在论证宇宙的和谐性中得到了第三定律，为了发现它，他经历了18个月的深入思考。开普勒在发现宇宙的奥秘之后心中充满了欢乐与愉悦，“我因极度的喜悦而颤栗，我要以坦诚的感恩之心向作为世间过客而暂居这个世界的人们宣布，我已盗来埃及的金杯，在远离埃及的地方，为万能的神灵建立了永恒的殿堂。”⑦
引人入胜的是开普勒的推理过程。为了方便起见，将表29-1重新列在下面：
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行星 平均运动 平均运动反相值 周长相对值
原始数据 拟和立方数（t） 拟和平方数（r）
土星 156917 29539960 9556
木星 390263 11877400 5206
火星 2467584 1878483 1523
地球 4635322 1000000 1000
金星 7571328 612220 721
水星 18864680 245714 392
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第一列是由第谷的原始数据得到的平均运动数值；以A i表示第一列数据，第二列为周期相对值
t i = 4635322÷A i ×1000000 （30﹣13）
第三列则为周长（亦即半径）相对值
r i = t i 2/3÷10 （30﹣14）
在由第一列到第二列数据的计算中，开普勒以地球的平均运动速度为基准，得到了周期的相对值。其中分为三步：
1、M为平均运动，T为周期， T =1/ M；取1/ A i ，得到各行星的周期；
2、以地球运动速度4635322×1/ A i ，得到以地球周期为1的各个行星的相对周期；
3、乘以1000,000，使地球周期相应值为100的立方。
第二列数据的选取表现了开普勒的思维巧妙，看他在表中写下的列名：“在立方数中选出的平均运动反相值”⑧。第二列的列名有两层含义，首先，它是第一列数据的反相之比，用地球的原始观测值除以各行星的原始观测值，即t i = 4635322÷A i （然后乘以1000,000）；其次，这个数是由（克拉维斯表中的）立方数中选取⑨。
第三列只是第二列立方数的对应平方数除以10。第三列数据的选取时除以10，则是为了方便后续的计算，因为原表的右方还有几列有待计算。
现在，可以对比一下现代人们看待第三定律的思维与开普勒的思维的不同之处。
现代 开普勒
1、知道周期T； 得到周期T为一个立方数（T=X3）；
2、求平方（T2）； [开立方（X=T1/3）]；
3、开立方（T2/3），得到半径R。 对应平方数为半径R（R= X2）。
为了清晰起见，以TC、RC表示现代概念，以TK、RK表示开普勒的概念。
在开普勒的观念里，TK与RK由X联系在一起，TK=X3，RK=X2，并且LogXTK/LogXRK=3/2=H，符合开普勒心中宇宙的和谐关系。
在现代人的理解里，则取消了数X的地位，直接有TC2=RC3 ，和谐关系也被深藏起来。
在数学关系上，TC=TK、RC=RK，因为有
TC2 = TK2 = X6 （30﹣15）
与 RC3 = RK3 = X6 （30﹣16）
因而 TK2 = RK3 （30﹣17）
这种思维上的差异是由于时代的不同，以及由历史发展而引起思想的发展，不同时代的人们具有不同思维方式的表现；并且也由于科学发展的不同阶段所形成的限制造成的。这就是科学的必由之路，没有开普勒的思维，就没有现代人的思维，这便是科学的成长过程。
开普勒向事物内部的原因去寻找和谐，现代人则由逻辑去寻找事物关系的结论。
即使在现代，对于未知世界的探索，开普勒的思维方法仍然有旺盛的力量，那便是由事物的神秘感引起的，由信念、想象、类比所激发而产生的思想中的火花与灵感。
*[ ]内为本书著者加注。
① 黑米奥拉比（sesquialtera），音乐上的3:2音阶关系。
② 《和谐的宇宙》，第411-412页。（《The Harmony Of The World》，Johannes Kepler, translated by E.J.Aiton, A.M.Duncan & J.V.Field,American Philosophical Society, 1997。）
1619年，开普勒出版《和谐的宇宙》。
约翰·纳皮尔（John Napier，1550～1617）1614年阐明了对数原理；但在此之前，克里斯托夫•克拉维斯（Christopher Clavius，1538 –1612）已经构造了前于对数的一种用三角函数方法化乘除为加减的计算方法；亨利•布里格斯（Henry Briggs，1561–1630）1619年才详细阐述了对数计算和构造对数表的方法，1624年出版了《对数算术》一书，公布了第一个对数表。勒内·笛卡尔（Ren Descartes，1596-1650）于1637年开始使用指数符号。所以开普勒不可能用对数和指数符号表示第三定律。
③ 《和谐的宇宙》，第412页。
④ 《和谐的宇宙》，第485页。
⑤ 克拉维斯书中所附的表是整数1到1000的平方数与立方数表。
⑥ 《和谐的宇宙》，第485-486页，开普勒在这里使用了对数概念，参考注②。
⑦ 《和谐的宇宙》，第391页；在这里，开普勒以诗意的语言表明，他从希腊的先哲们那里获得了灵感，发现了宇宙的奥秘。
⑧ “Values from the mean motions in new inverse measure to be sought among cubes”。
⑨ 参见注⑤，开普勒在这里应当使用了插值方法。
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