KAM定理给出在哈密顿系统中可积系统的准周期运动在小扰动作用下保持不变的条件，包括系统的哈密顿函数足够光滑、导致不可积性的扰动充分小、系统非退化和相应可积系统非共振等。在这些条件下，可积系统的多数非共振环面在扰动下不消失，仅有轻微变形，因此在受扰系统相空间中仍然存在不变环面，它们被相轨线稠密地充满，其独立频率数目等于系统的自由度数。

可积哈密顿系统存在在与自由度数目相同的不变环面，因此可积哈密顿系统的运动只能是周期的或准周期的，不存在混沌运动。1892年，庞加莱证明了包括三体问题在内的许多经典动力学问题的不可积性。事实上，可积的系统是远比人们通常想象的要稀少，以至于不可能用可积系统去逼近不可积系统。目前尚无根据哈密顿函数判别系统是否可积的简单判据。

由可积系统附加小扰动而形成的不可积系统称为近可积系统。利用作用-角变量(I,q)，近可积系统的哈密顿函数可写作：

式中扰动V充分小。若不存在扰动（即V=0），此函数对应的哈密尔顿系统可积，其解为：

式中n是系统的自由度，2n个常数I(0)和q(0) 由初始条件确定。当V10时，在一般情形下可积性受到破坏而成为近可积系统。1954年，A.N. 柯尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 研究了近可积哈密顿系统与相应的可积系统之间关系，阐明了可积系统的准周期运动在扰动下保持不变的条件。其结果分别由V.I. 阿诺德 (Arnold) 在1964年和J.K. 莫泽 (Moser) 在1967年给出严格证明并加以改进，并以三人姓氏的首字母命名为KAM定理。

KAM定理的数学表述如下。设系统的哈密尔顿函数H(I,q)= H₀(I)+V(I,q)满足如下条件：

(1)  H(I,q)在区域S₀:½Imq½￡t , ½I-I₀½￡s上实解析；

(2)  在I₀计算的使得(非退化条件)；

(3)  对任意非零整数向量k=(k₁,k₂,…,k_n)，存在正数C(W)>0和m>n-1成立非共振条件

则对任意e>0，存在d=d(e,C,m,s,t)，若在S₀内½V½<d，那么方程

的相轨线在n维不变环面

上，式中G和F是在½ImQ½￡t/2上周期为2p的实解析函数。此不变环面上的相轨线由方程

确定，且该不变环面充分接近相应可积系统的不变环面，即：

在该定理中，有些条件如H解析和非退化条件可以适当减弱。当KAM定理成立时，n自由度系统有n个独立的积分，因此相轨线都位于n维环面上，该环面称为KAM环面。

哈密顿系统的混沌研究就是从KAM定理的条件受到破坏开始的。20世纪60年代以来开展的研究使人们对哈密顿系统中混沌出现的机制有了清晰的理解，主要是共振与不可积扰动增强。当哈密顿系统共振时，KAM环面破裂，产生局部的随机层，即使不可积扰动充分小，在高于两自由度的系统中将发生阿诺德扩散并导致混沌。如果系统共振且不可积扰动充分大，共振环面开始破裂形成共振带，出现局部混沌，接着共振带彼此重叠，出现全局混沌。

扩展阅读

A.N. Kolmogorov. On the preservation of conditionally periodic motions under a small change in Hamilton’s function. Dokl. Akad. Nauk SSSR (new series), 1954, 98: 527-530.

V.I. Arnold. Proof of a theorem of A.N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian. Russian Math. Surveys, 1963, 18(5): 9-36.

J.K. Moser. Convergent series expansions of quasi-periodic motions. Math. Ann. 1967, 169: 163-176.

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《中国大百科全书(第3版网络版)》“KAM定理”