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世界是连续的，还是离散的？概念篇
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在概念层次上，离散和连续其实是互相离不开，相反而相成的。
比如说电子系统里面的所谓“方波”，一般图示如下：
在概念上，方波对应于系统电压的离散跳跃，比如从0.0伏左右一下子跳到5.0伏左右，（似乎）不经过比如2.0伏这样的中间状态；隔一段时间，又从5.0伏跳跃回0.0伏，同样（似乎）不经过比如3.5伏这样的中间状态。
然而，如果看看上图的纵坐标：电压，很明显在0.0伏与5.0伏之间有众多的、连续的取值；而当我们谈论跳变的时候，这些取值哪怕不是实际上发生了，至少在概念上是必须要考虑进去的。就是说正是因为系统本来有可能处于2.5伏这样的0.0伏与5.0伏之间的其它电压，我们才可以说0.0伏到5.0伏的变化是个瞬间的跳变。就是说， 电压这一离散“跳变”在概念是相对于电压取中间值的可能性才成立、才可以得到理解的。在这个意义上，离散跳变离不开连续取值的可能性。
如果说电压取中间值只是概念上的可能性，而实际上可以不算数的话，那么再来看看上图的横坐标：时间。按照上图，时间的流逝显然是连续的了；而且似乎可以说，如果我们要理解跳变的离散性，要把它理解为瞬间飞跃的话，时间的流逝必须被视为连续的。只有这样，我们才可以说，所谓“跳变”，就是当时间取无穷小的极限时，电压的导数为无穷大，如此等等。反过来，如果时间是一秒一步那样离散地流逝的，我们就不能给时间取极限，那么我们最多只能说在这一秒钟里，电压从0.0伏变到了5.0伏，其间的中间状态我们并不清楚，具体情况就好像被一个黑盒子给屏蔽在里面了。
总之，至少就电压的离散跳变这个例子而言，它在概念上是必须要有个连续性的背景的，这个背景就是电压可能取值的连续性和时间流逝的连续性。没有这个背景，我们甚至不可能知道电压的离散跳变是什么意思。
这时候或许有人会指出：按照量子力学，物理量的取值并不是连续的，比如说能级。不过请注意，我这里所谓“电压可能取值的连续性”说的是电压的configuration space被视为连续的；我想能级的configuration space恐怕也是被视为连续的吧，而能级之间的离散性，也正是以这个configuration space的连续性为背景才看得出来的。此外，在量子力学里面时间的流逝也还是连续的吧：薛定谔方程毕竟是关于几率波在时间里的演变，涉及时间的偏导数的，而几率波也至少可以是configuration space上的连续分布吧。量子力学，俺只知道一点皮毛，就不再多说什么了，只是提出“离散变化在概念上必须有个连续取值的背景”这在量子力学里面也应该成立，留给专家们评判吧。
前面说的都是离散概念背后的连续性，下面再来看看连续概念后面的离散性吧。以经典力学为例，力、速度、质量等等物理量都可以连续变化：0.283牛顿、2π米/秒、0.5197千克，如此等等。然而，这些物理量都有各自的单位或者量纲（dimension），也就是其特定的维度。它们的连续变化都是在其特定的维度上进行的，量纲和量纲之间不能混淆，一半质量一半速度、0.283牛顿 + 0.5197千克、2π米/秒 – 0.283牛顿之类的东西是不可以的。用侯格兰（John Haugeland）的说法，这些物理量之间是“高阶离散”（higher-order digital/discrete）的。俗话来讲，就是在概念上是黑白分明的，不能一半是火焰、一半是海水。（我们从小做物理题，被要求一定要写上单位，就是表示对这种高阶离散性的尊重，不然就是犯规，所得结果数字的物理意义就是不清楚的。）
由此，我们可以说，经典力学的一个比较有意思的地方就是物理量的一阶连续性（速度、质量、力可以连续变化）和高阶离散性的并存。
那么，为什么经典力学里面会有这种高阶离散和一阶连续相结合的情形呢？两者之间的关系在概念上究竟有什么关系呢？难道一阶连续必须以高阶离散为背景吗？这些都是很值得思考的问题。
不管这些问题的答案如何，上面这些非常简单的例子似乎已经足以表明：离散和连续之间有着千丝万缕的概念联系。用“高阶离散性”来讲，就是“离散”和“连续”在概念上似乎并不是“高阶离散的”，不是那么黑白分明、水火不容的，而是互相依存，互相渗透的；它们之间的反对，似乎是相反相成的反对。就是说，作为我们看世界的概念工具箱里面的成员，“离散”和“连续”其实是不可分割的，要说什么东西是离散，就得有个连续的背景；要说什么东西是连续的，也得有个离散的背景。要想从工具箱里拿出一件来用而不同时拿出另外一件来，似乎是不可能的。
如果“离散”和“连续”在概念上的关系真的是必然如此，我想咱们也就不能说归根到底世界本身或者是连续的或者是离散的、二者必居其一了。
https://m.sciencenet.cn/blog-453866-348091.html
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下一篇：电脑人心 之 引言（九）原则争论
比如说电子系统里面的所谓“方波”，一般图示如下：
在概念上，方波对应于系统电压的离散跳跃，比如从0.0伏左右一下子跳到5.0伏左右，（似乎）不经过比如2.0伏这样的中间状态；隔一段时间，又从5.0伏跳跃回0.0伏，同样（似乎）不经过比如3.5伏这样的中间状态。
然而，如果看看上图的纵坐标：电压，很明显在0.0伏与5.0伏之间有众多的、连续的取值；而当我们谈论跳变的时候，这些取值哪怕不是实际上发生了，至少在概念上是必须要考虑进去的。就是说正是因为系统本来有可能处于2.5伏这样的0.0伏与5.0伏之间的其它电压，我们才可以说0.0伏到5.0伏的变化是个瞬间的跳变。就是说， 电压这一离散“跳变”在概念是相对于电压取中间值的可能性才成立、才可以得到理解的。在这个意义上，离散跳变离不开连续取值的可能性。
如果说电压取中间值只是概念上的可能性，而实际上可以不算数的话，那么再来看看上图的横坐标：时间。按照上图，时间的流逝显然是连续的了；而且似乎可以说，如果我们要理解跳变的离散性，要把它理解为瞬间飞跃的话，时间的流逝必须被视为连续的。只有这样，我们才可以说，所谓“跳变”，就是当时间取无穷小的极限时，电压的导数为无穷大，如此等等。反过来，如果时间是一秒一步那样离散地流逝的，我们就不能给时间取极限，那么我们最多只能说在这一秒钟里，电压从0.0伏变到了5.0伏，其间的中间状态我们并不清楚，具体情况就好像被一个黑盒子给屏蔽在里面了。
总之，至少就电压的离散跳变这个例子而言，它在概念上是必须要有个连续性的背景的，这个背景就是电压可能取值的连续性和时间流逝的连续性。没有这个背景，我们甚至不可能知道电压的离散跳变是什么意思。
这时候或许有人会指出：按照量子力学，物理量的取值并不是连续的，比如说能级。不过请注意，我这里所谓“电压可能取值的连续性”说的是电压的configuration space被视为连续的；我想能级的configuration space恐怕也是被视为连续的吧，而能级之间的离散性，也正是以这个configuration space的连续性为背景才看得出来的。此外，在量子力学里面时间的流逝也还是连续的吧：薛定谔方程毕竟是关于几率波在时间里的演变，涉及时间的偏导数的，而几率波也至少可以是configuration space上的连续分布吧。量子力学，俺只知道一点皮毛，就不再多说什么了，只是提出“离散变化在概念上必须有个连续取值的背景”这在量子力学里面也应该成立，留给专家们评判吧。
前面说的都是离散概念背后的连续性，下面再来看看连续概念后面的离散性吧。以经典力学为例，力、速度、质量等等物理量都可以连续变化：0.283牛顿、2π米/秒、0.5197千克，如此等等。然而，这些物理量都有各自的单位或者量纲（dimension），也就是其特定的维度。它们的连续变化都是在其特定的维度上进行的，量纲和量纲之间不能混淆，一半质量一半速度、0.283牛顿 + 0.5197千克、2π米/秒 – 0.283牛顿之类的东西是不可以的。用侯格兰（John Haugeland）的说法，这些物理量之间是“高阶离散”（higher-order digital/discrete）的。俗话来讲，就是在概念上是黑白分明的，不能一半是火焰、一半是海水。（我们从小做物理题，被要求一定要写上单位，就是表示对这种高阶离散性的尊重，不然就是犯规，所得结果数字的物理意义就是不清楚的。）
由此，我们可以说，经典力学的一个比较有意思的地方就是物理量的一阶连续性（速度、质量、力可以连续变化）和高阶离散性的并存。
那么，为什么经典力学里面会有这种高阶离散和一阶连续相结合的情形呢？两者之间的关系在概念上究竟有什么关系呢？难道一阶连续必须以高阶离散为背景吗？这些都是很值得思考的问题。
不管这些问题的答案如何，上面这些非常简单的例子似乎已经足以表明：离散和连续之间有着千丝万缕的概念联系。用“高阶离散性”来讲，就是“离散”和“连续”在概念上似乎并不是“高阶离散的”，不是那么黑白分明、水火不容的，而是互相依存，互相渗透的；它们之间的反对，似乎是相反相成的反对。就是说，作为我们看世界的概念工具箱里面的成员，“离散”和“连续”其实是不可分割的，要说什么东西是离散，就得有个连续的背景；要说什么东西是连续的，也得有个离散的背景。要想从工具箱里拿出一件来用而不同时拿出另外一件来，似乎是不可能的。
如果“离散”和“连续”在概念上的关系真的是必然如此，我想咱们也就不能说归根到底世界本身或者是连续的或者是离散的、二者必居其一了。
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