$\mathbb{R}^n$中的量子力学：

此时，Hilbert空间取为$L^2(\mathbb{R}^n)$，其上的$n$个位置算子和$n$个动量算子定义为：

\[X_j\psi(\mathbf{x})=x_j\psi(\mathbf{x})\qquad P_j\psi(\mathbf{x})=-i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial x_j}\qquad j=1,2,\cdots,n\]

此时位置算子和动量算子满足如下的典型交换关系

\[\frac{1}{i\hbar}[X_j,X_k]=0,\qquad\frac{1}{i\hbar}[P_j,P_k]=0,\qquad\frac{1}{i\hbar}[X_j,P_k]=\delta_{jk}I,\qquad1\leq j,k\leq n\]

此时经典力学中典型Hamilton量对应的自伴算子

\[\hat{H}\psi=\sum_{j=1}^n\frac{P_j^2}{2m}\psi+V(X)\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\mathbf{x})+V(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x})\]

$\mathbb{R}^n$中的角动量$J_{jk}=x_jp_k-x_kp_j$对应的自伴算子定义为

\[\hat{J}_{jk}=X_jP_k-X_kP_j=-i\hbar\left(x_j\frac{\partial}{\partial x_k}-x_k\frac{\partial}{\partial x_j}\right)\]

多粒子系统：

现在考虑$\mathbb{R}^n$中$N$个互异粒子的系统，此时Hilbert空间为$L^2(\mathbb{R}^{nN})$，这时波函数为$N$个空间变量的函数$\psi(\mathbf{x}^1,\cdots,\mathbf{x}^N)$。我们可以类似地定义位置算子$X_k^j$和动量算子$P_k^j$（第$j$个粒子的第$k$个分量）。此时典型的Hamilton算子为：

\[\hat{H}\psi(\mathbf{x}^1,\cdots,\mathbf{x}^N)=-\sum_{j=1}^N\frac{\hbar^2}{2m_j}\Delta_j\psi(\mathbf{x}^1,\cdots,\mathbf{x}^N)+V(\mathbf{x}^1,\cdots,\mathbf{x}^N)\psi(\mathbf{x}^1,\cdots,\mathbf{x}^N)\]

如果所考虑的粒子是同种粒子，量子理论认为同种粒子是不可分辨的，具体地说，当我们在波函数中交换两个空间变量时，新的波函数与原来的波函数表示同一状态。这意味着

\[\psi(\mathbf{x}^2,\mathbf{x}^1,\mathbf{x}^3,\cdots,\mathbf{x}^N)=u\psi(\mathbf{x}^1,\mathbf{x}^2,\mathbf{x}^3,\cdots,\mathbf{x}^N)\]

再交换一次空间变量，便得$u^2=1$，故$u=\pm1$。满足$u=1$的粒子称为玻色子，而满足$u=-1$的粒子称为费米子。

物理学符号：

物理学中广泛采用Dirac符号（bra-ket符号），下面简要介绍：

Hilbert空间$\mathbf{H}$中的向量$\psi$称作ket，表示为$|\psi\rangle$；而$\mathbf{H}$上的连续线性泛函称作bra，设$\phi\in\mathbf{H}$，相应的bra（线性泛函）记作$\langle\phi|$，它由下式定义：

\[\langle\phi|(\psi)=\langle\phi,\psi\rangle\]

物理学中，内积$\langle\phi,\psi\rangle$通常记作$\langle\phi|\psi\rangle$。设$A$为$\mathbf{H}$上的算子，$\phi\in\mathbf{H}$，我们定义线性泛函$\langle\phi|A$为：

\[\langle\phi|A(\psi)=\langle\phi,A\psi\rangle\]

对任意的$\phi,\psi\in\mathbf{H}$，$|\phi\rangle\langle\psi|$为$\mathbf{H}$上的算子，其定义为：

\[(|\phi\rangle\langle\psi|)(\chi)=|\phi\rangle\langle\psi|\chi\rangle=\langle\psi|\chi\rangle|\phi\rangle\]

给定$\mathbf{H}$上的一族向量$|\psi_{n,l,m}\rangle$，通常简单地表示为$|n,l,m\rangle$。因此，如果$e_n,n=1,2,\cdots$为$\mathbf{H}$上的一组完备幺正基底，则

\[I=\sum_{n}|n\rangle\langle n|\]

在物理上，复数$z$的共轭记作$z^*$，而算子$A$的伴随算子记作$A^\dagger$。

物理学家通常只写出位置算子$X$和动量算子$P$及其交换关系$[X,P]=i\hbar I$，而不指出这些算子作用的空间。而Stone-von Neumann定理断言，在相差一个酉等价前提下，上述算子不可约作用的Hilbert空间是唯一的。因此，物理学家有如下记号：

给定（位置算子和动量算子）典型交换关系的不可约表示（这时作用的Hilbert空间唯一确定），向量$\psi$属于该Hilbert空间，物理学家通常将位置波函数表示为

\[\psi(x)=\langle x|\psi\rangle\]

这里$\langle x|$为bra，它所对应的ket$|x\rangle$为位置算子$X$的特征值为$x$对应的特征向量。

参考文献：Brian C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, GTM267, Springer, 2013.