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量子力学讨论班(二)

已有 3843 次阅读 2013-12-27 08:36 |个人分类:数学物理|系统分类:科研笔记|关键词:学者

(1)波、粒子和概率:

量子理论中的两个关键要素:波粒两相性;概率行为(用波函数来描述)。

(2)位置算子和动量算子:

量子理论中诸如位置、动量、能量等都表示为复数域上某个Hilbert空间$\mathbf{H}$中的算子($\mathbf{H}$中的内积记为$\langle\cdot,\cdot\rangle$,它关于第一个分量是共轭线性的,第二个分量是线性的)。对于$\mathbb{R}^1$中运动的粒子来说这个空间为$L^2(\mathbb{R})$,设粒子的波函数为$\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$,则$|\psi(x)|^2$即为粒子位置的概率密度。从而粒子位置的期望为

\[E(x)=\int_{\mathbb{R}}x|\psi(x)|^2dx\]

定义$L^2(\mathbb{R})$中的位置算子$X\psi=x\psi(x)$,则上式在Hilbert空间中表示为

\[E(x)=\langle\psi,X\psi\rangle\]

同样,位置的高阶矩表示为

\[E(x^m)=\langle\psi,X^m\psi\rangle\]

动量算子的引入需要如下的

de Broglie假设:若粒子的波函数空间频率为$k$,则粒子的动量$p=\hbar k$,这里$\hbar$为Planck常量。

利用上述假设,我们很自然地定义动量算子$P$为

\[P\psi=-i\hbar\frac{d}{dx}\psi\]

位置算子$X$和动量算子$P$不交换,它们满足关系:

[XP-PX=ihbar I]

这个关系在量子力学中具有基本的重要性。

参考文献:Brian C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, GTM267, Springer, 2013.

 



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1 强涛

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