在Schrodinger方程中取势能函数$V(x)equiv0$，考虑如下方程：

[left{begin{array}{c}frac{partialpsi}{partial t}=frac{ihbar}{2m}frac{partial^2psi}{partial x^2}\psi(x,0)=psi_0(x)end{array}right.]

此时，位置的期望和动量的期望满足：

[left{begin{array}{c}langle Xrangle_{psi(t)}=langle Xrangle_{psi(0)}+frac{t}{m}langle Prangle_{psi_0}\langle Prangle_{psi(t)}=langle Prangle_{psi_0}end{array}right.]

$S1$. Fourier变换法求解：

我们首先寻找如下形式的解：

[psi(x,t)=e^{i(kx-omega(k)t)}=expleft[ikleft(x-frac{omega(k)}{k}tright)right]]

上述解带入方程容易看出$omega(k)=frac{hbar k^2}{2m}$。在物理上，将时间频率表达为空间频率的函数的形式的偏微分方程的解称为扩散关系。这里$frac{omega(k)}{k}=frac{p}{2m}$称为相速度。

命题：设$psi_0$为速降函数，$hat{psi}_0$为其Fourier变换（容易证明它也是速降函数），则上述初值的自由Schrodinger方程的解为：

[psi(x,t)=frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^inftyhat{psi}_0(k)e^{i(kx-omega(k)t)}dk]

由上述命题容易看出，$hat{psi}(k,t)=hat{psi}_0(k)expleft[-ifrac{hbar k^2t}{2m}right]$。由于Fourier变换是$L^2(mathbb{R})$到其自身的等距，而$expleft[-ifrac{hbar k^2t}{2m}right]$模长为$1$，从而若$psi_0(x)$为$L^2(mathbb{R})$中单位向量，则$hat{psi}_0(k)$也为$L^2(mathbb{R})$中单位向量，这意味着$hat{psi}_0(k)expleft[-ifrac{hbar k^2t}{2m}right]$也为$L^2(mathbb{R})$中单位向量。由此，我们引入如下：
定义：对任意$psi_0in L^2(mathbb{R})$，对每个$tinmathbb{R}$，我们定义$psi(x,t)$为 $L^2(mathbb{R})$中使得其Fourier变换恰为$hat{psi}_0(k)expleft[-ifrac{hbar k^2t}{2m}right]$的那个元素。

容易证明：上述元素（记为$psi(x,t)$）在弱的意义下满足Schrodinger方程，这里弱的意义是指：对每个光滑的紧支撑函数$chi$，有

[int_{mathbb{R}^2}psi(x,t)left[frac{partialchi}{partial t}+frac{ihbar}{2m}frac{partial^2chi}{partial t^2}right]dxdt=0]

注记：Fourier变换延拓为$L^2(mathbb{R}^n)$到其自身的等距的计算可以通过以下公式给出：

[mathcal{F}(psi)(mathbf{k})=(2pi)^{-n/2}lim_{Arightarrowinfty}int_{|mathbf{x}|leq A}e^{-imathbf{k}cdotmathbf{x}}psi(mathbf{x})dmathbf{x}]

这里的极限是在$L^2(mathbb{R}^n)$范数拓扑下取的。其逆变换可以通过下式给出：

[(mathcal{F}^{-1}f)(mathbf{x})=(2pi)^{-n/2}lim_{Arightarrowinfty}int_{|mathbf{k}|leq A}e^{imathbf{k}cdotmathbf{x}}f(mathbf{k})dmathbf{k}]

$S2$. 卷积法求解：

定理：假设$psi_0in L^2(mathbb{R})cap L^2(mathbb{R})$，则对于$tneq0$，$psi(x,t)$可由下式计算：

[psi(x,t)=sqrt{frac{m}{2pi ithbar}}int_{-infty}^inftyexpleft{ifrac{m}{2thbar}(x-y)^2right}psi_0(y)dy]

这里$K_t(x)=sqrt{frac{m}{2pi ithbar}}expleft{ifrac{mx^2}{2thbar}right}$为自由Schrodinger方程的基本解。

$S3$. 波包传播法（第一种方法）：

本节我们讨论自由Schrodinger方程的近似解：设解具有形式
$$psi(x,t)=A(x,t)e^{itheta(x,t)}$$
这里$A,theta$均为实值函数，代入自由Schrodinger方程得$A,theta$满足方程：

$$left{begin{array}{l}frac{partial A}{partial t}=-frac{hbar}{m}frac{partial A}{partial x}frac{partialtheta}{partial x}-frac{hbar}{2m}Afrac{partial^2theta}{partial x^2}\\frac{partialtheta}{partial t}=frac{hbar}{2m}frac{1}{A}frac{partial^2A}{partial x^2}-frac{hbar}{2m}left(frac{partialtheta}{partial x}right)^2end{array}right.$$
我们假设在初始时刻（从而在初始时刻之后充分短时间内）有
$$frac{1}{A}frac{partial^2A}{partial x^2}llleft(frac{partialtheta}{partial x}right)^2$$
此时上述方程变为
$$left{begin{array}{l}frac{partial A}{partial t}=-frac{hbar}{m}frac{partial A}{partial x}frac{partialtheta}{partial x}-frac{hbar}{2m}Afrac{partial^2theta}{partial x^2}\\frac{partialtheta}{partial t}=-frac{hbar}{2m}left(frac{partialtheta}{partial x}right)^2end{array}right.$$

容易验证，该方程具有初始条件$theta(x,0)=p_0x/hbar,A(x,0)=A_0(x)$的解为
$$theta(x,t)=frac{p_0}{hbar}left(x-frac{p_0}{2m}tright),qquad A(x,t)=A_0left(x-frac{p_0}{m}tright)$$
从而自由Schrodinger方程的近似解为
$$psi(x,t)=A_0left(x-frac{p_0}{m}tright)expleft[ifrac{p_0}{hbar}left(x-frac{p_0}{2m}tright)right]$$
上式中$A(x,t)$运动的速度为$p_0/m$（称为群速度），$theta(x,t)$运动的速度为$p_0/(2m)$（称为相速度）。群速度是粒子的真实速度，因为粒子的概率分布是由波函数的振幅决定的。

$S4$. 波包传播法（第二种方法）：

由前面讨论知，自由Schrodinger方程的解为
$$psi(x,t)=frac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^inftyhat{psi}_0(k)exp[i(kx-omega(k)t)]dk$$
这里$omega(k)=frac{hbar k^2}{2m}$。我们设$psi_0$的近似动量为$p_0$，亦即$hat{k}$的值集中在$k_0=p_0/hbar$，我们将$omega(k)$在$k_0$附近展开，则有
$$omega(k)approxomega(k_0)+omega'(k_0)(k-k_0)$$
带入自由Schrodinger方程的解中得到
$$psi(x,t)approx e^{iomega'(k_0)k_0t-iomega(k_0)t}psi_0(x-omega'(k_0)t)$$
若进一步设$psi_0(x)=e^{ik_0x}A_0(x)$，并注意到$omega'(k_0)=frac{hbar k_0}{m}=frac{p_0}{m}$，我们得到
$$psi(x,t)=A_0left(x-frac{p_0}{m}tright)expleft[ifrac{p_0}{hbar}left(x-frac{p_0}{2m}tright)right]$$

这与第一种方法得到的结果一致。而这种方法的优点是我们可以估计其与精确解的误差：

命题：设$psi(x,t)$为初值为$psi_0$的自由Schrodinger方程的精确解，$phi(x,t)$为上式给出的近似解，则
$$|psi(x,t)-phi(x,t)|_{L^2(mathbb{R})}leqfrac{|t|hbarkappa^2}{2m}$$
这里
$$kappa=left[int_{-infty}^infty|hat{psi}_0(k)|^2(k-k_0)^4dkright]^{1/4}$$

参考文献：Brian C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, GTM267, Springer, 2013.