本节我们考虑如下的特征值方程：

$$hat{H}psi=-frac{hbar^2}{2m}frac{d^2psi}{dx^2}+V(x)psi(x)=Epsi(x)$$

这里，特征值$E$与特征函数$psi$均未知，其中

$$V(x)=left{begin{array}{cc}-C,&|x|leq A\0,&|x|>Aend{array}right.$$

命题：设$psi$在区间$(-infty,-A)$、$(-A,A)$以及$(A,+infty)$上均为光滑的，则$psiinmathrm{Dom}hat{H}$的充要条件是

$psi,dpsi/dx$在$x=pm A$均连续，且$d^2psi/dx^2in L^2(mathbb{R})$。

由于在$(-infty,-A)$上$V$为常数，我们可以很容易在该区间上解特征值方程，其解空间为二维的，由上述命题，对于区间$(-infty,-A)$上的解在$xrightarrow-A^-$ 时可以作为$(-A,A)$区间上解的初值，再在$(-A,A)$上解特征值方程便得到$(-A,A)$上的解，类似地得到$(A,+infty)$上的解。由此可见，$(-infty,-A)$上的解一旦确定，在整个$mathbb{R}$上的解便唯一确定。

下面我们寻找属于$L^2(mathbb{R})$的解：

首先注意到当$E>0$时，对于$x<-A$，其解为两个复指数函数的线性组合，除非其为零函数，否则这样的函数不可能是平方可积的。但利用上述命题，若在$x<-A$为零函数，则该函数必在$mathbb{R}$上恒为零。类似的讨论知$E=0$时平方可积解也只有零函数。因此，非平凡的平方可积解只有在$E<0$时可能存在。

当$E<0$时，在$(-infty,-A)$上的解是$e^{alpha x}$与$e^{-alpha x}$的线性组合，这里$alpha=frac{sqrt{2m|E|}}{hbar}$。要保证其平方可积，$e^{-alpha x}$的系数必为零。从而其解为$ce^{alpha x}$利用前述命题，我们便唯一地得到在整个$mathbb{R}$上的解，但为了使解是平方可积的，必须让该解在$(A,infty)$上也平方可积，然而这只能对某些特殊的$E$的取值才能做到！

首先容易证明$Eleq -C$时不存在平方可积解。从而我们仅需考虑$-C<E<0$的情形：

为方便，我们将特征值方程改写为

$$frac{d^2psi}{dx^2}=left{begin{array}{cc}varepsilonpsi,&|x|>A\-(c-varepsilon)psi,&|x|<Aend{array}right.$$

这里$varepsilon=-frac{2mE}{hbar^2}$，$c=frac{2mC}{hbar^2}$。注意到位势函数$V$为偶函数，从而若$psi$为上述方程的解，则$psi$的奇部和偶部也是解。因此，我们仅就奇函数解和偶函数解分析。首先考虑偶函数解：在$(-infty,-A)$上平方可积的解形式为

$$psi(x)=ae^{sqrt{varepsilon}x}$$

因为其为偶函数，从而在$(A,+infty)$上的解为

$$psi(x)=ae^{-sqrt{varepsilon}x}$$

而在$(-A,A)$上，解的形式为

$$psi(x)=bcos(sqrt{c-varepsilon}x)$$

从而有上述命题立即得到：$psi(x)$为上述方程在$mathbb{R}$上的解当且仅当$varepsilon$满足：

$$sqrt{varepsilon}=sqrt{c-varepsilon}tan(sqrt{c-varepsilon}A)$$

容易看出，对任意正数$c,A$，至少存在一个$varepsilonin(0,c)$使得上式成立。从而有

命题：对任意正数$A,C>0$,至少存在一个$Ein(-C,0)$使得特征值方程具有如下形式的非零解：

$$psi(x)=left{begin{array}{ll}cos(sqrt{c-varepsilon}x),&|x|leq A\cos(sqrt{c-varepsilon}A)exp[-sqrt{varepsilon}(|x|-A)],&|x|geq Aend{array}right.$$

对于奇函数情形，我们有

命题：对充分大的$A,C>0$,至少存在一个$Ein(-C,0)$使得特征值方程具有如下形式的非零解：

$$psi(x)=left{begin{array}{ll}sin(sqrt{c-varepsilon}x),&|x|leq A\sin(sqrt{c-varepsilon}A)exp[-sqrt{varepsilon}(|x|-A)],&xgeq A\-sin(sqrt{c-varepsilon}A)exp[-sqrt{varepsilon}(|x|-A)],&xgeq Aend{array}right.$$