芝诺悖论的可靠消解

0 引言

关于芝诺悖论的争论已有两千多年的历史。虽然用微积分原则上可以解决该悖论^[1],但由于微积分某种程度上可以看作是无限接近于精确值的近似方法，因此用于解决需要绝对精确的数学问题时，有时会导致各种争论。例如，芝诺悖论,实际上研究的是无限小的距离和时间，数学界对无限小本来就有不同的流派，这就注定了用微积分研究该悖论很难得到公认的解决方案。

本文避开微积分，试图用更简单且可靠的初等数学方法来解决芝诺悖论，或许可以永久性地消解该悖论。

1芝诺悖论的叙述与初步分析

追赶者第一次从x₀出发到达逃跑者出发的地方x₁时，逃跑者已经前进到达x₂了，追赶者第二次到达x₂时，逃跑者又已经前进到达x₃了...永远追不上？

其实，无论是第一次，第二次....都是有限次，因此，芝诺只证明了在有限次内是追不上逃跑者的，并没有证明无限次也追不上逃跑者^[1]。

 定量的分析如下。

      2 相关的定义，公式和定理

2.1 芝诺式追赶

定义1：设追赶者与逃跑者的距离为l，追赶者以速度v追赶，逃跑者以速度u逃跑(u<v),追赶者到达逃跑者的出发点时，称完成了一次芝诺式追赶。

2.2相关计算公式

在第1次芝诺式追赶时，追赶者走过的路程是l₁=x₁-x₀，用时t₁= l₁/v, 逃跑者走过的路程是l₂=x₂-x₁, 用时也是t₁，且t₁=l₂/u,

    因为l₁/v=l₂/u, 故

      l₂=l₁(u / v)                                   (1),

同理，在第2次追赶时，设l₃= x₃-x₂可得

  l₃=l₂(u / v)                                (2)

比较(1)(2)得

 l₃=l₁ (u / v)²,                             (3)

......

在第n次追赶时，设l_n+1= x_n+1-x_n可得

l_n+1=l₁ (u / v)ⁿ,                (4)

(4)可改写成

n=ln(l_n+1/l₁)/ ln (u /v)      (5)

对于任意小的追赶距离l< l₁ ，可根据（5）算出所需要的芝诺式追赶次数

n=ln(l/l₁)/ ln (u /v)      (6)

若(6)算出的不是整数，可忽略小数部分取整，但这时（6）的等号应该改为大于号。

2.3相关定理和结论

定理1   追赶者追不上逃跑者的充分必要条件是芝诺式追赶次数是有限的自然数。

证明 “必要性”：设追赶者与逃跑者的初始距离l₁ >0，逃跑者与追赶者的速度之比u /v<1, 则芝诺式追赶次数为有限的自然数n时， 由（4）可得，l_n+1>0, 即追赶者未追上逃跑者， “充分性”：追赶者追不上逃跑者时，即追赶者与逃跑者还相距l>0时，由（6）可得有限的自然数 n。证毕

如果追赶次数不是有限的自然数，而是无限次时

定理2  通过无限次芝诺式追赶，追赶者可以追上逃跑者。

证明(反证法)：假定无限次芝诺式追赶追不上逃跑者，由定理1可见，由于芝诺式追赶追不上逃跑者时,追赶次数是有限的自然数，与假定的无限次芝诺式追赶矛盾，证毕

在实际的追赶过程中，并不需要按照芝诺的方法一次次地追赶，而是用时l₁/(v-u)一次性就追上的。所谓芝诺式追赶，不过是在人脑中人为地把连续的追赶分割成一段段的追赶。但即使是芝诺式追赶，追赶步伐也并不因为人为的分割而停下来。因此，在芝诺式追赶中，无论是追赶者还是逃跑者，走过的路程和花费的时间与实际的追赶过程并无二致。例如，在芝诺式追赶中，追上的时间也是有限的l₁/(v-u)。既然追上的时间是有限的，由定理2又可以知道，在芝诺式追赶中，是通过无限次追赶追上的，这就证明了：

定理3  在芝诺式追赶中，可以在有限的时间内做到无限次追赶。

另一个在有限时间内可以得到无限次计算结果的例子是1/3＝0.333 …的计算：虽然小数有无限多位，但是我们实际上只需要有限的几次计算就可以知道这个结果，并不需要真的去进行无限次的计算。

当然，并非所有的无限都能够在有限的时间内达到，例如圆周率的计算，每增加一位小数都要花费大致相近甚至越来越多的时间，要达到无限次计算，就要花费无限多时间，在有限的时间内是达不到无限次计算的。

总之，经过无限次芝诺式追赶，追赶者可以追上逃跑者，悖论得到消解。

还有，所谓无限次，在这里其实是被定义为不能用有限的自然数来表示的次数，这个定义虽然非常自然（有限的自然数怎么能定义无限次呢），但实际上非常重要：给出了一个科学地定义无限的方式，例如，可以将无限集合定义为元素数目无法用自然数来表示的集合，把无限小数定义为小数位数无法用自然数来表示的小数…

通常，绝大多数学术争论都是因为定义不明确所致，因此，一旦无限有了明确的定义，关于无限的所有争论最后都应该云消烟散。

下一篇博文将会探讨这个问题。

参考文献

[1]李鸿仪.从一些数学悖论看数学家思维的局限性（五）：贝克莱，罗素、芝诺悖论

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1315045.html