破除数学思维中的宗教式迷信

            李鸿仪，上海

我是研究热力学的。但在我的工作中也经常会碰到一些数学界还没有很好地解决的问题，因此我也常会自己尝试解决并发表相关文章。在我正式发表的文章当中，数学论文和热力学论文大约各占半壁江山。

在我的印象中，数学是严格的，数学家也是聪明、令人尊敬的。然而，退休后我偶然进入了带有哲学色彩的数学基础领域，却发现其景象与我所熟悉的数学完全不同，令我大跌眼镜：在数学基础领域，充满了许多自相矛盾的悖论。

悖论其实并不难解决，以所谓小号悖论为例^【1】，不过是错误地把两个不同单位的数值在比较而已。比如我们在切蛋糕的时候，蛋糕的体积并不变，但是它的表面积却在增加，如果蛋糕可切成无限薄，有限的体积就可以有无限的表面积，这其实再正常不过了，哪里有悖论？

记得我还在读书时,老师介绍了当时期刊上讨论的一个悖论：根据薛定谔方程的计算，电子所穿越的节面的几率密度为0，那么电子是怎么穿越过去的？我大概思考了几分钟(一般的悖论我都只需要几分钟就能解开)，课后就找老师说，电子是有大小的，而节面的厚度为零。概率是对概率密度的积分，所以有大小的电子穿越厚度为零的节面时，节面前后的概率密度都不为零，积分后的概率也不为零。这个悖论不过是混淆了概率密度和概率的区别所致。当时我还质疑道，这么简单的问题，怎么学术界会搞不清楚？化学系的老师们显然无法回答我的质疑，他们就去和物理系的老师们讨论，最后认为我说得有道理。

世界上本来没有悖论，只是由于人们思维不严格，才产生了所谓悖论。

在悖论问题上，群友黄汝广和MAN与我的观点相近。

因概念不清、思维混乱而导致的悖论与科学相悖，理所当然是应该被消灭的，甚至根本就不应该出现。但在数学基础中，人们似手难以摆脱悖论，只能举手投降而与悖论共生共舞，甚至还用悖论来做学问。

1 数学基础中的一些悖论

1）建立在希尔伯特无限旅馆悖论基础上的信条

∞+1=∞                                （1）

如果仅仅从字面上看，（1）似乎并无问题：无穷加上1后当然仍然是无穷。

问题在于，各种无穷都只能用同一个符号∞来表示吗？比如某一个无穷相对于另一个无穷是高阶无穷，这时再用同一个符号来表示不同的无穷恰当吗？

如果采用不同的符号来表示可能不同的无穷，比如用下标1，2等来对可能不同的∞加于区分，则(1)可改写为，

∞₁+1=∞₂                                       （2）

现在在问题是

∞₁=∞₂                           （3）

是否成立？

显然，如果（3）成立，则∞+1>∞;如果（1）成立，则（3）不成立。不过，要证明（3）不成立恐怕并不容易，事实上也从来没有人证明过。然而，认为（1）成立仍然是绝大多数数学家的不二信条，也是康托”证明”任何无限集可以与其真子集一一对应的“理论基础”。虽然该信条并没有人严格证明过，但数学家们却坚信不疑：如果有人竟然会质疑这一信条，数学家大多会投来”你连这点都不懂？”的惊讶眼光。

以信仰为基础，而不是以事实和逻辑为基础，这恐怕已经不是哲学色彩了，根本就是宗教色彩！

六年前的今天，我在上海大学参加一个学术会议。茶歇的时候，碰到南京大学专门研究悖论的张建军教授，当我表示了对康托理论的质疑的时候，他也先问我是不是承认∞+1=∞？

我一贯严格遵守的学术规范是，除了无法证明的数学公理和物理定律外，任何命题，要么能得到实验事实的支持，要么能够用逻辑进行证明，否则一切免谈！

在数学上，我们通常只能在有限的范围内观察事实，因此逻辑证明更为重要。

科学不是宗教，（1）是否成立只能用逻辑来说话，不能信什么就是什么。

虽然容易证明无限加1仍然是无限，但并没有人能严格证明(1)，我为什么要接受？

当时张建军似乎也投来了那种惊讶的眼光，对此我回应道，如果∞+1=∞，那么∞+1-∞应该是等于1还是0？

因茶歇的时间有限，我们没有继续讨论下去，但我估计他也未必能回答这个问题。

在那次会上我与同为77级、数学专业出身的田茂老师也有接触，后来他也成为我的群友。他倒至少还试图用数学方法来证明（1）（私人通讯）: 当n→∞时，(n+1)/n→1，然而，既然可以用除法，为什么不能用减法:无论n是否趋向于∞，n+1-n永远精确地等于而不是趋近于1！两种算法的结果显然不一样，他的证明实际上只证明了（1）可能是近似成立的，而我的证明则不但精确，而且普遍地证明了∞+1>∞。

如果说（1）在历史上还是有证明的话，最接近的也就是希尔伯特的无限旅馆悖论了:已经客满的无限旅馆，再增加一个旅客，只要调换房间号码，照样可以往得下，似乎就是∞+1=∞？

然而，如果在大多数数学家心目中的大数学家希尔伯特的治学态度是严谨的， 他不应该用任何自相矛盾的东西来证明任何命题。所谓悖论就是自相矛盾，就是错误，用错误的东西能来证明任何其他东西吗？

真是匪夷所思！

其实要证明这个悖论不成立是再容易不过了，比那个小号悖论和量子力学悖论都要简单得多：既然旅馆已经客满，那就说明每一个房间和旅客都是严格一一对应的:每一个房间都有且只有一个旅客，每一个旅客也都有且只有一个房间，严格一一对应后不可能再有任何空房子，怎么可能通过调换房间号码又可以住进新的旅客呢？

有的人可能会说，你那是有限思维：既然房间是无限多的，怎么可能没有空房子？

这就很奇怪了：从数学的角度来说，房间和人都不过是用自然数编号的元素，没有任何区别，怎么可以玩双标？

虽然房间是无限多的，但是旅客也是无限多的，无限多的房间为什么不可以被无限多的旅客往满呢？难道旅客不是无限多而是有限多的？真要这样，还能称为客满吗？

事实上，既然宣称已经是客满了，无限多的房间必然已经被无限多的旅客正好往满，一间不剩，决不可能通过调换房号码住进新的旅客！

上述道理其实再简单不过了，相信任何一个中国的小学生都不难想明白这件事，唯独某些脑子被洗没了的“数学家们”搞不清楚？

如果坚持不可能存在任何严格的一一对应，那么我还是这句话，拿出证明来，否则一切免谈！这里，严格一一对应定义为两个元素数目严格相等的无限集合之间的一一对应。

 没有人能够证明不存在严格的一一对应。相反，要证明存在严格一一对应倒是非常容易的：

假定甲乙两个工程队同时开始造房子，且造第一幢房子都用了0.5年，造第二幢房子都只用了0.25年，第三幢房子用了0.126年……，不难证明，一年以后两个工程队都造了无限多的房子，且所造的房子数目严格相等：严格一一对应后一幢不剩！

从这里可以看出，像科学网琢木鸟栏目的薛问天那样认为无限集的元素数目没有定义是错的:无限集的元素数目只是不能用任何自然数来表示，但是可以用无限数∞来表示，且它们的相对值(例如甲乙造的房子数的比值或差值)是可以精确一致的。

如果甲在造房子之前已经有了一幢房子，然后再用上述方法造房子，那么一年以后，甲的房子就比乙多了一幢，即∞+1﹥∞。

上述简单的证明，我相信任何一个中国的中学生都看得懂。怎么大数学家连这些最简单的计算都不做，就开始想当然地下结论，立信条呢？

今天，2022年7月17日，我用集合论给出了∞+1﹥∞的证明。

7月17日是一个神奇的日子。六年前，我也是在这一天做了发言，并与张建军等交谈。

               右2

我之所以对这个日子记得这么清楚，是因为在我参会的那几天，正是所谓南海仲裁案生效的时候。美国的航空母舰一下子退后了一千多公里，在世人面前暴露了其表面上张牙舞爪，实际上只会装腔作势的纸老虎本质，并从此走上了不顾底线，自毁形象的下坡路”征程”，甚至出现了倡导喝消毒水之类的各种反智现象。

既然已经给出了否证（1）的证明，只要该证明是严格的，如果还有人会无脑地相信信条（1），除了反智的宗教情怀外，我实在找不出能予以解释的理由。

人的思维一旦被宗教式的盲目崇拜所绑架，往往就会失去最基本的思维能力，哪怕是再简单明显不过的事实，也很可能会永远搞不清楚。这是因为在宗教信徒的心目中，信条本身就是真理，怎么可能错？因此，如果事实与信条冲突，那一定是事实“错”了！

某些国人因为崇洋媚外，被洗脑了也就算了，毕竟我们以前落后过。但希尔伯特怎么也会这么糊涂？

在逻辑推理的长链上，往往失之分毫，差之千里。大数学家希尔伯特这一错，对数学界造成了多么大的影响!

希尔伯特尚且如此不严谨，其他数学家，比如说康托、罗素之流，那就更不用说了。

2）罗素的逻辑主义和罗素悖论

罗素的逻辑主义也非常可笑: 数学乃至任何一门学科的最高境界是以古希腊《几何原本》为范本的公理化概念体系。所谓公理化概念体系其实就是尽量用普遍的命题来证明具体的命题的证明体系，但是总有一些无法用逻辑来证明的一些最普遍的命题，称之为公理。比如说物理学中所有无法用逻辑来证明的定律其实都是数学意义上的公理。以热力学第二定律为例，用它可以证明很多东西，但是它本身不过是一些普遍成立的经验的总结而已，无法用逻辑进行证明。 比如说其中最直观的一种说法是克劳修斯说法:热量只能自发地从高温物体流向低温物体，怎么可能用逻辑来进行证明？再比如说牛顿第二定律F=ma，哪一个地球人能够进行证明？真要能够证明的话，他应该早就设计出上天的飞碟了。数学当中的所有公理也都是无法用逻辑进行证明的，例如，人们差不多花了两千多年试图证明《几何原本》中的平行公理，结果也没有成功。但逻辑主义却希望用逻辑能够得出数学，那就意味着首先必须用逻辑来证明数学公理，这难道不违反常识？不可笑吗？这么简单的道理，为什么没有人预先指出，反而听任该主义者们胡打乱撞，最后碰得头破血流，以失败而告终？

所谓罗素悖论，本质上也不过是混淆了原因和结果的关系:集合不过是把一些已经存在的事物放在一起而已。这些事物后称为元素，但实际上在集合之前就存在了,即实际上是应该先有这些事物，然后才有集合，或者说这些事物是因，集合是果，既然如此，形成集合的事物中怎么可能出现还没有定义或正在定义的集合呢？难道不是因果混乱吗？

事实上也根本不存在所谓包含自身的集合。表面上似乎最接近这类集合的应该是所谓书目悖论：

书目=｛书目，书1，书2，.....｝                                         (4)

其实作为集合的书目和作为元素的书目并不是一回事:前者包含很多书名，可以看作是一本书，后者只不过是一个书名。能把书名当成书吗？难道不是很低级的概念混淆？他这一混淆，浪费了多少人的脑细胞！

因此，如果严格遵守因果律，即先确定组成集合的那些后被称为元素的事物，后有集合，那么，在集合的元素中，是不可能出现尚未定义的集合的。打一个比方，种瓜得瓜，种子还没播下去，种子中怎么可能出现瓜呢？

以消灭所有悖论为目标的相容集合论^【2】严格遵循因果律，规定必须先选定元素，然后才能定义集合，这样，任何集合的元素中就不会出现该集合本身，即所谓包含自身的集合是不存在的，这样就从根本上杜绝了罗素悖论和康托悖论。

3）康托的一一对应和基数理论

康托的基数即势的概念也非常混乱^【2，3】。如果他用的是严格的一一对应，那么所谓基数相同就是元素数目相同，这倒也不是不可以。然而，严格的一一对应要求元素数目严格相等，但康托的一一对应显然并不是这种严格的一一对应: 众所周知，任何无限集合的元素数目必定是比其真子集多的，但是康托却可以在它们之间建立起所谓的一一对应。因此，建立在康托式的一一对应基础上的基数概念是不伦不类的。事实上，没有一个数学家能够给出基数概念的确切数学意义。在数学中保留这样一个连其数学意义都讲不清楚的概念，是否严谨？是否严肃？是否有意义？

所以，相容集合论^【2】摒弃了基数和势的概念，而直接采用元素数目这一概念。

2 一些讨论

因悖论而导致的问题和错误其实有很多，上面只举了一些典型的例子。

任何科学研究都是在发现问题、分析问题、解决问题这条道路上前进的。其中，发现问题是最关键的第一步:如果问题都发现不了，又怎么会去分析问题，去解决问题呢？

所以，存在问题并不可怕，相反，数学界还应该鼓励人们去发现问题、提出问题。

然而，宗教化倾向却反其道而行之：在宗教化倾向下，一切都以书本知识和权威为准，所有与书本知识或权威相悖的质疑或理论，都会被冠之以错误甚至严重错误的帽子。

    在这种情况下，一旦书本知识或权威错了，那就一切大错特错，且很难纠错：科学研究会变成一潭死水，且再无新的思想出现。 

   如果在石器时代，“科学技术”就已经被宗教化的话，那么，现在的科学水平，恐怕还停留在石器时代！       

    数学界似乎存在这样一种错误看法，如果允许质疑书本知识，就会影响正常的教学秩序：没法教书了！

    在这种思潮的影响下，强化书本知识权威性的宗教化倾向似乎有了根据。

    问题在于，这将会造成什么的后果？

    具有正常思维能力的人是永远不会接受错误的东西（比如（1））的，但在这种教学秩序下，学生为了应付考试，哪怕书本知识明显错了，也只好把错的东西当做正确的东西来接受。如果他很“真诚”地这样做，而不是像我当初那样，在学习书本知识的同时保持着对书本知识的批判和探索精神的话，长此以往，就会逐渐变成只会死记硬背，毫无是非辨别能力的人。如此代代相传，数学还有救吗？

    在这种万马齐喑，毫无生气的教学秩序下，钱学森之问恐怕会永远地被问下去。中国人高智商的优势当然也无从发挥了！

   人的思维一旦被宗教化，是难以进行任何正常的科学研究和交流的，其思维往往会变得非常奇怪。以我曾经与其在网上有较多争论的薛问天为例，他一会儿说世界上绝大多数数学家都认为基数就是元素数目，当我指出了这样会导致矛盾后，他又说，无限集的元素数目根本就没有定义，不能讨论，思维之混乱可见一斑。

 难怪丘成桐要设立相关基金，去培养还没有被残害的小孩子来搞数学科研了。

    其实，真正正常的教学秩序应该把教学与科研相结合：经常介绍一些前沿的科学问题，并介绍书本知识在历史上的演变过程，还其不断“进化”的真实历程，这样学生就不会把它们看成是永远不变的教条，其思维能力就不但不会被摧残，而且还会不断提高！

 这样，数学才能健康地发展，走在实事求是地追求真理的康庄大道上！

参考文献

【1】从一些数学悖论看数学家思维的局限性（二）：托里拆利小号悖论

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1294503.html

【2】相容集合论初探

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

【3】新方法比较无限集合的大小

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1340718.html