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数学九九表---兼及华德福小学低年级数学教学方法 II
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数学九九表---兼及华德福小学低年级数学教学方法 II
王永晖
因为儿子的学习进度已经到了背乘法九九表，暑假老师布置了作业，其中一项就是背九九表。
这个任务意味着，小学数学中最基本的能力，一年级开学时的数数，加法，二年级的乘法九九表，这些最基本的概念引入和培养，其实是由家长们完成的。公立小学老师们所做的，只不过是巩固和提高，有三大参数，准确性，速度，熟练度。
我把这个意思说明白后，可能会有很多家长不高兴，甚至有些家长会气愤，但是，我认为老师（对家长）的这个要求是合理的。
最基本的概念引入，应该是个性化的，是需要花很多日常时间让孩子慢慢来的，所以，只能家长来做，你自己不做，孩子若不是天才，跟不上，那又怪谁呢。
学校在引入概念方面，不可能做到适合每个孩子的进度，这是公立学校班级教学的能力所限，即使是小班教学，一个班20人以下，其实若要人人都照顾到，把概念引入做得特别切合孩子，这都是不太可能。
如果你想让孩子在班级教学里享受到个性化教学，一分价钱一分货，什么样的价钱才能做到这种程度呢，我认为即使是目前民间教育那种高价学费，每年3万以上，也是无法做到的。IB小学的学费是每年10万，他们做到了吗，知道的不妨介绍一下。
若是家长们全部信任这种民间教育/高价教育，不像公立学校的家长那样，把这些最基本的教学任务，揽到家长自己身上，那孩子就“毁”了，这是说得不好听的一句话，只是我的直觉，不见得对。
但是，我也有一定的理性成份在里面，我始终认为，一个孩子，在小学三年级结束的时候，一定要把四则运算的口算能力做好，准、快、熟。
如果一个孩子，到了三年级结束的时候，口算时还磕磕巴巴，我觉得这是不太好补了，即使补，恐怕也就是补到达标程度而已，很可能已经丧失了将来在数学上出类拔萃的机会。
什么事，例外肯定会有，那些小时候心算慢的数学家/数学大师，可能也会有，但就我局部所见来推理，比例会非常少，实际上就我自己接触的数学家来说，没有脑子慢的。
我有两位同事反对过“强调心算”的教学理念，一位老师其实不能算是数学研究者，只是在做数学教育方面的出版编辑工作，确实有很多很好的想法和理念，很有影响力，但他自己其实是没有真正做过数学研究文章的，没有上到那个台阶，使得他的观点就不见得有那么大的现实份量。
另一位同事是李克正老师，他是国内很高级别的数学家了，所以他的意见，相比于普通数学教育工作者的意见，更为值得重视，但是，他的反对意见，也在我经过慎重考虑，认为是无效的（不光是我，我们讨论班的数学家们在饭桌上和电邮里也讨论过）。
原因很简单，李克正老师是我们讨论班上脑子最快的，他自己的心算能力绝对很高，所以他的反对无效，他在初三的时候，就读完了范德瓦尔登的抽象代数，这么早熟，再小的时候会怎样大家可想而知。
当然，谈及小学低年级阶段的心算/口算，这里要提到“珠心算”的问题了，我也有数学家同事让孩子在学前练过珠心算，我儿子没练过，可能这也是他在班上，目前为止口算还只是中下水准的一个原因，可能班上不少同学练过。
为了与“珠心算”区别，大家需要注意，本文中提到的“心算/口算”，就是硬算，两位数以内的就可以了（最多到三位数），关键点是，不讲究那些速算口诀之类的附加规则，就是最基本的四则运算规则为基础。
我之所以没让儿子练习珠心算，原因写在以前的教育记录里面，大家可参考
笨男孩的幼小数学教育日记 - 豆瓣
相比于珠心算，这里我要再次推荐阴山英男书中所介绍的“百格计算”，其实就是中国传统九九表的变形而已。
我儿子的公立学校，这一级比较注重孩子的心算能力，据调查以前的家长，就是在北京，也不是每个学校都给孩子布置口算作业，并由老师认真批改的。
儿子的心算/口算作业，都是式子计算，跟百格计算的形式还是不同，我还是觉得百格计算在初始学习阶段更好点，儿子的反馈也让我更为确认。
儿子说，百格计算都是有规律的，发现了规律就很容易写出来。夫人很担心，所以每次都想把百格出题的边框数字顺序再改的混乱些（如果不乱就是九九表），以让孩子发现不出规律。
我觉得，这可能恰恰是百格计算的优点，它本来就是九九表的变形形式，让孩子从中发现规律，没什么不好的。
百格计算的时候，儿子给自己出题，就喜欢出简单的题，夫人也是觉得头疼，觉得孩子在偷懒。我是觉得不然，孩子愿意做简单的题，那就让他们做呗，等做够了，自然就会愿意去做复杂的了。
我想，数学家跟普通人的分界线，也许不是那么玄妙，也许就在这些平平常常的细小差别里。
关键是愿意，孩子愿意做简单的，就做呗，普通学识的家长们，只看到“简单”，而没看到前面的那个“愿意”，如果此时去纠正孩子，逼他们做复杂的，这样的效果就对么。
这也是传统公立小学的不足之处，公立小学都是往前赶，不会让孩子们尽兴停留，刚到一个教学质量点，接着就又往前去追，在公立小学的教学进度里，就不容易做到我所说的这种想法。
我这种想法，与民间教育的“不做作业”/“不强调练习”相比，还是有区别的，我还是赞同孩子们要做作业，但不一定要赶难度，可以让孩子们自选难度级别，在做与不做上，我的态度是要做，如果孩子不愿意做，家长要引导，而不能附和孩子，放任自流。
但是，在怎么做上，我的态度是，要尊重孩子的难度选择，要相信他们自己的直觉，如果他们愿意做这样难度的题，很可能这样难度的题，对于他们的成长就是最合适的。
我说过，班级教学如果想弄成个性化，成本将很高，但是，每个孩子的教学记录乃至于作业练习，是完全可以个性化的，如果靠现代网络技术的帮助，成本摊在每个家长身上还可能会非常低。
这里就可以接着说说华德福的数学教学方法，我在以前的文章中曾有提及，这里可能会有内容上的重复。
前篇博文附录中摘有华德福圈子里的反馈：
『数学的练习 如果您参看华德福教学大纲可以发现 华德福一年级一下讲出来四则运算，但在1-4年级的时候逐步给予练习来强化 而没有在一年级做大量的练习。』
我不止一次指出，语文学习，可以按照格式塔心理学，先整体后局部，先掌握模糊的轮廓，再弄细节。数学是绝对不能这么搞的，一定要会一道做一道，细节清楚了，才能再谈整体的掌握。
我们可以把传统的数学教学方法“简单到复杂，细节到整体”当作教学过程的第一阶段，而把华德福教育所注重的“从整体到部分"的走法，当作数学教学的第二段过程。
所以，数学学习，分为两个阶段，缺一不可。华德福是有点忽视第一个阶段，急着走第二个阶段，而传统教育，在不够资质的老师手里，就有可能只走第一个阶段，而不再走第二个阶段。两者当然都是错的，但是在效果上，华德福这种数学教法产生的损失会更大。
我这里再具体进一步解释一下，我为什么不赞同华德福数学教学方法提倡的一年级就把四则运算全部引入，为什么要加法先学好了，做了大量的练习之后，才能开始正儿八经地学乘法，我们不排除有些孩子底下就接触和知道了乘法的概念，我们现在说的是班级教学进度。
这种基本的问题，可能普通家长/教师们都没管，因为传统都是这么做的，现在华德福引入一种新教法，才使这个问题显现出来，传统的方法是有教学道理的，所以在现实中才能长存。
但是，我们不能等到华德福的这个数学教学方法，在中国孩子们身上实践出很多问题来之后，才知道它错了，甚至将来很可能，家长们都认识其错误后，老师们仍然死扣教条而不改，这种情况在国外华德福已经有了。
所以，本文就要把这个最基本的问题，讨论一下。
四则运算，你让孩子学什么，当然是最基本的概念引入和培养才是最关键的，我们说过公立学校认识到教育的内在规律，适应实际情况，而把这个任务明智地交给家长们来做。
现代社会的家长们，在知识上肯定是能完成这个任务的，达到公立学校的要求，家长们都是有能力做到的，关键是家长对孩子的爱心有多大，那些成天希望公立学校提高爱心水准的家长们，其实最现实的应对方法是，扪心自问一下自己对孩子的爱心有多大。
本文还是希望能给大家些参考，这些教学方法蕴含着思维方式，基于我自己的科学研究经历，看看大家在实践后，又会跟以前有什么进一步的不同。
华德福教育，则是一股脑把四则运算都放在一年级，而且都由主班老师来进行概念引入和培养，家长们基本上就放手了，因为不布置作业。
这意味着什么，缺少练习，加法练习不够，就让孩子们去学乘法，这样对么。
这就牵扯到我们对教学的理解，加法练习不够就学乘法，孩子只是把乘法概念“背”下来的，他们不可能有充裕的时间，去体会人类在“加法”跨越到“乘法”时的巨大思想进步。
儿子现在背九九表，有时候我就会问他，你为什么要背九九表，他答不上来。我这么告诉他，背了九九乘法表，很多以前的计算，就不用一个一个加了，把那些背下来，然后再运用，一下子就把算术题做简单了，儿子认同这个道理，很高兴，因为他发现真是这么回事。
乘法，其实意味着，当n个相同的数连加时，这样的加法被我们认为是最简单的，这个特殊的加法，我们专门取之名曰，乘法（这段需要以后在契合的时机时，再跟儿子讲，这才是真正的个性化教学）。
要有这个认识，是不是需要大量的先前练习，而不能一股脑地灌给孩子，否则孩子们对“最简单”这个词，没有体会。
儿子是在公立学校，小学一年级练过整整一年加法之后，才进入乘法九九表的，我认为这种节奏，对于他这样的孩子是合理的。
他这几天在背乘法表的时候，如果出错，他能感觉到自己错了，有点迷茫地耽搁在那里时，我就问他，“如果背错了怎么办”，“---再背”，儿子说。
我说，“不对”，他就不知道怎么回答我了，我只好告诉他，“你如果背错了，即使再背，再背出来的你也不知道是对还是错啊。”儿子点头称是。
“背错了，自己就重新算一遍啊，算出正确的数后再把他记住”，儿子有恍然大悟的表情。
其实，这已经蕴含了最基本的数学学习方法，并能够贯穿他的一生，当然，那时候的知识更高阶而已。
数学学习和思维方法，就可以这么简单，其实很多数学基本思维都是如此，并不玄乎。
可是，就我了解的民间教育，以及华德福中的数学教学方法，有些地方就搞得花哨了，有些教师，甚至主观上就有追求花哨的个性趋势，反而把数学中最基本的东西忽视了，孩子们光接触花哨的东西，却没有掌握最基本的练习，更谈不上寓于其中的最基本的学习方法。
儿子其实在数学上，一直是偏于硬算，而不太采用记忆功能的，比如最基本的个位数加法，我从去年他6岁生日之后开始教他数学，光数数，就花了很长一段时间，有专门的豆瓣帖子作为教育记录，发帖的时候就把时间自动记下来了，方便以后回顾。
个位数的加法也是如此，那些个位数的加法，如果使用记忆功能，很快不就学会了么。可是，儿子偏偏放弃了记忆功能，每次把个位数加法，都当作一道新题来算，儿子的记忆能力本来是很好的，但是，他在数学上却自觉地放弃了记忆，这让我很欣慰。
这个过程中，缺少练习肯定是不行的，必须有足够的练习，才能让儿子跨过这一关，最终像成年人那样对待个位数加法。
虽然儿子这么搞，算得自然比小学同学们慢，一直在赶班上的进度，免得垫底，但是，这种练习是很有益的，他每次都这么从原始定义来算，甚至自己形成了一套跟教师传授所不同的算法，真的是成天在用，比如
34-16= 34-20+4=18
我问他竖式计算老师教过没，早就教了，但是儿子愿意这么算。问他，竖式计算和他这种计算，哪个会更快一些，他觉得还是竖式计算快，但是后来我俩又分析了一下，当时我其实还不太明白他怎么算出来的，反正他每次都算对了，通过分析，我才明白了他的算法，这个算法按理也不应该慢多少，但是孩子就是慢。
所以，需要练习。
孩子的这个算法，其实还体现了另一个非常基本的数学思维方法，加一项减一项，他个性上更喜欢这样算，而不喜欢竖式计算那种算法，我们分析之后，他每次做题仍是那样，就由着他呗，反正对的就行。
儿子在数学上的这些创意闪光点，我都记录在那个豆瓣帖子里，此处继续专注本文主题。
我和儿子在背九九表的时候，采用了华德福数学教学中的另一个方法，相比于前面批评的那个，这个方法我认为是很好的
华德福要求，孩子们在数数的时候，要一边口中数数，一边拍手，当然也可以用脚，大概意思是这样。我们在以前实践的时候，儿子并不喜欢，每次都是我耐心引导，但这个方法对儿子的吸引力一直都不大。
这也体现了儿子的特点，他的协调性不好，一边念数，一边拍手，对协调性的能力要求比较高，所以他不喜欢，光念数就轻松很多。不过，有个变形形式，一边上台阶，一边数数，遇到山城那种上百级台阶时，就会让儿子非常喜欢了。
这次到了九九表了，华德福也有他的背九九表的方式，但念法上跟中国传统的不一样。我为了跟公立小学衔接，还是按照中国传统的九九表念法来教，这个时候采用了两人面对面拍手，也许这是儿子这次喜欢这个方式的原因，以前拍手数数其实都是他一个人在拍，对拍的比较少，但我们已经过了那个时期了，孩子小，愿意试验这个方法的可以再参考我这个观察点，多试试亲子对拍。
一一得一。。。九九八十一，
这是中国传统九九表的节奏，四拍节奏，不妨把九九八十一中的“十”略去不拍，以便整个表统一。
我和儿子的对应拍手方法是，第一拍到第三拍都是，两人分别各拍各自的，互相注意动作对应但不接触，第四拍则两人出掌对拍，手心相对，两掌相拍。
第一拍和第三拍可能有多种选择，我们用的是，第一拍，自己两手相拍，第二拍，两手往下拍大腿面，第三拍，自己两手相拍。
儿子这次很喜欢这种用身体来学数学的方法，很有兴致，比以前强多了。男孩爱动，如果光在那背，时间稍长，真不一定能集中精力，有了跟家长对拍，我们练的时候，经常能练一个小时，甚至90分钟。
这是夫人给我布置的暑假任务，让我监督儿子背九九表。夫人以前的方法是，每天背上一会儿，或练上一会儿，但这样就提高速度太慢，我这种做法，儿子当然开始有点不愿意，我得跟他解释道理，这样子你一下子就背会了啊，下次背不就花的时间短了么。
儿子欣然同意，因为他也觉得就是这么个理啊，这次没背好，下次背的时候，不就要重新算，多花时间么。
其实，这也是简单的教学道理，其实也可以说是人生道理，就这么简单，但是恐怕有很多人，在自己事业的成长中，就是绊倒在这些简单的道理上。
儿子的体力足以达到这个强度了，而且跟拍手配合，中间再贯穿点小花絮，完全能够坚持下来。这么短短一周的功夫下来，有个别两天我们还没练，足以交差夫人的要求了。
儿子在“心意”上，其实还没有真正掌握乘法，他概念上已经掌握了，早就知道2×4就是两个四，他也早就知道3个8=8个3，推理方式我还没跟他深究。现在这两天，乘法表也练得逐渐完整顺溜了，虽然不够熟练。
我为什么说儿子在“心意”上其实还没有真正掌握乘法呢，这就要回头说到“百格计算”，今天做百格计算的时候，他来划格子，画出一个9×12矩阵，他觉得多了，我问他，多了多少，比平常10×10矩阵的百格计算多了多少个算式。
他觉得多了好多，那就算吧，倒底真正多了多少。算的过程中，最笨的办法是一个格子一个格子的数，这种办法儿子没有采用。他采用的确实是乘法的思想了，一列（刨去首项标记数字）是8个，二列就是16个，四列就是32个，经过一番反复，八列是64个，后面直接去16个8个的加，最后11列共有88个题。
儿子想的时候，包进去了二倍法，这种思维他以前就有过，见那个豆瓣笔记。
百格计算则是9×9=81道题，所以我们今天算的，比平常并不多太多。
儿子还没有意识到直接算出来，即，8×11=88，还是中间要有过度，说明，九九表虽然背是背了，但是还没有融化到他的心灵里，没有认识到乘法是个大规律，是加法中那类最简单的归总，他需要后继的练习，增加这方面的感觉后，才能点破。
所以，背九九表的教学过程很重要，能体现出学习的思维方式，各种能力是综合的，不仅仅是表象上的背，背只是名词而已，人类的心理活动是极为复杂的，岂能被简单的名词所障。
有些教育改革者，个性上不喜欢“背”这个词，所以一听到背九九表，就反对，并给大家传递错误信息，说什么美国学生不用背九九表，这些我已经写到本系列文章的第一篇中了。
背，是九大教学环节中的一个环节，既不能全盘突出，也不能全篇否定，这么一说，岂不明白，内容请参看本博置顶文档。
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附注1. 心算的要求，准、快、熟，前两个字好理解，第三个字需要解释一下，熟，熟练程度倒底是什么意思呢，就是小孩子把心算能力，不仅仅是知道和做到，而且进入到了他的本能层次，说得再晓白一点，其实就是换成动词方式来说，就是孩子累了的时候，精神头不是最好的时候，仍然能够比较好地完成心算练习，这只有达到熟练后的孩子才能做到。
这种要求是有意义的，我认同阴山英男的百格计算就在这个道理，阴山英男的书上对此有不少感性支持，他是实际的小学教学者，他认为，对于小学低年级学生来说，计算比推理更能促进孩子的大脑，我相信很可能这是对的。
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