关于一维玻色子有效模型的两个推导方法及其等价关系

龚明，中国科学技术大学

一维系统往往表现为Luttinger液体，而非普通的费米液体。一个典型的特点是，它没有费米面, 粒子的分布也不满足Fermi-Dirac分布。这是一种集体激发模式，类似声子，所以是一种玻色子。所以，无论是费米子、玻色子还是任意子，它们的激发都是这些玻色子，参数不同而已。所以其有效模型也一定是玻色子的有效模型。那么怎么推导它们呢？目前有两种方法较普遍，下面一一解释。

（声子模型，图片来自网络）

1. 第一种方法可以参考文小刚的量子场论教材，它适用于任何维度。考虑下面的拉格朗日量\begin{equation}\mathcal{L} ={i\over 2} (\psi^* \partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^*) - H, \quad H = {1\over 2} |\nabla \psi|^2 + {g \over 2} |\psi|^4 - \mu |\psi|^2. \end{equation}我们可以考虑相位-密度展开，即$\psi = \sqrt{n_0 + \delta n} e^{i\theta}$, $n=n_0 + \delta n$，那么可以得到\begin{equation*} \mathcal{L} = -n \partial_t \theta - {1\over 2} (|\nabla \sqrt{n}|^2 + n |\nabla \theta|^2) - {g\over 2} n^2 - \mu n.\end{equation*}假设$\delta n$是小量，同时考虑到作用量需要对$\int dx dt$做积分，所以$\int dx dt \delta n = 0$，这样忽略一个整体的常数$c$ --- 因为这个常数可以通过$\theta \rightarrow \theta - c t$消除掉。我们得到\begin{equation*}\mathcal{L} = -\delta n\partial_t \theta -{1\over 8m n_0} |\nabla \delta n|^2 - {g \over 2} |\delta n|^2 - {n \over 2m} |\nabla \theta|^2. \end{equation*}我们甚至可以直接扔掉第二项，因为密度的涨落是有能隙的，属于高频效应，是小量，所以\begin{equation*}\mathcal{L}= -\delta n\partial_t \theta  - {g \over 2} |\delta n|^2 - {n \over 2m} |\nabla \theta|^2. \end{equation*}这个密度涨落的项和相位涨落的项是可以完全解耦合的，如果做一个平移，它们就无耦合了，这对应$\delta n$的鞍点（saddle point）。这样得到一个有效场论模型\begin{equation*}\mathcal{L} = {1\over 2g} (\partial_t\theta)^2 -  {n \over 2m} |\nabla \theta|^2.\end{equation*}这个方程可以用来计算动量以及哈密顿。定义$\Pi = \partial \mathcal{L}/\partial \dot{\theta} = \partial_t \theta/g$，这样\begin{equation*}\mathcal{H} =  \Pi \partial_t \theta - \mathcal{L} = {g \over 2}  (\partial_t \theta)^2  + {n \over 2m} |\nabla \theta|^2.\end{equation*}从量子化条件，有类比关系$x\sim \theta$，$\Pi \sim p = \dot{x}$，所以$\Pi \sim \partial_t \theta$。我们也可以直接计算其运动方程\begin{equation*}{\partial_t^2 \theta \over g} - {n \over m} \nabla^2 \theta = 0, \quad \omega = v|k|, \quad v = \sqrt{{gn \over m}}. \end{equation*}这个结果是可以很容易解释：$n$越大，粒子数越多，则相互碰撞越频繁，声速越大；相反，质量越大，振动越难，碰撞越少，声速越小。我们可以想象一个无穷大质量的物体，连运动都困难，怎么可能传播声音呢？

   因为这个方法适用于任意维度，上面的讨论其实也可以在Bose-Einstein凝聚的教材中找到。此外，如果利用Bogolibov变换，还可能更加严格地计算这个色散关系，当$k$大一点点，它会表现抛物势行为，此时$|\nabla \sqrt{n}|^2$项很重要，不可忽略。

   

   （图片来自网络，它和玻色化有关）

2. 第二种方法是利用Haldane的构造法，只适用于一维系统。Haldane是Luttinger液体这个名字的命名者。它提出\begin{equation*}\psi \sim \sqrt{n_0 - {\partial_t \theta}} e^{i\theta}. \end{equation*}知道动能的贡献主要来自相位场$\theta$，而相互作用的贡献主要来自粒子数涨落，所以有动能和势能\begin{equation*} T = {n \over 2m} |\nabla \theta|^2, \quad V = {g\over 2} (n_0 - {\partial_t \theta})^2.\end{equation*} 如果忽略那些不重要的常数，同时考虑到$\int dx \partial \theta =0$, 就可以得到\begin{equation*} \mathcal{H} = {g \over 2} |\partial_t \theta|^2 + {n \over 2m} |\nabla \theta|^2. \end{equation*}这个结果和第一个方法的分析得到的结果是一模一样的。如果我们回顾Haldane的原始论文，就会发现其实波函数的构造不是上面的那样，而是（因为是一维，我们令$\nabla = \partial_x = \partial$）\begin{equation*}\psi \sim (n -\partial  \phi/\pi)^{1/2} \sum_m e^{i2m(\pi n x - \phi)}e^{i\theta}. \end{equation*}这个构造非常优雅漂亮，包含的意义也很深刻。保留$m=0$就足够了，其它项一般不重要。此外，利用量子化条件$[\theta, \partial \phi/\pi] = i \delta(x-x')$有$\partial \phi/\pi = \partial_t \theta$，这样就得到了上面的哈密顿。如果我们考虑一些周期外势的影响，此时周期外势可以弥补高阶项的动量传递，那么$m \ne 0$的那些项就有可能很重要了。

从上面的分析可以看出来，这两个处理是一致的。但是Haldane的方法更加普适，可以处理一些更复杂的问题。此外，如果抓住动能和势能的本质，那么和第一种方法相比，第二种方法毫无疑问更加简单和直观。但是它们各有优劣，比如第一种方法更加直观，而第二个方法则似乎是将第一个方法倒过来理解。但是，它们的使用范围很不相同：第一种方法适用于任意维度，而第二种方法则只适用于一维系统。据笔者了解，这两个方法在文献中都得到了广泛应用，都有自己的“爱好者”。

最后我们讨论一个问题，即如何把这个结果和Luttinger参数和速度联系在一起。假设\begin{equation*}\mathcal{H} = {v \over 2} ({(\partial_t \theta)^2 \over K} + K (\nabla \theta)^2). \end{equation*}得到$v=\sqrt{gn/m}$，$K = \sqrt{n/(gm)}$（见下图我的笔记的总结）。在Sine-Gordon模型中，如果考虑$g\cos(\theta)$，那么如果$K > K_c$，则存在相变，即系统会从无能隙相变成一个有能隙相。可见增加粒子数或者减小相互作用，都有可能实现这个相变。需要强调的是，这个相变和Mott相变不同，因为Mott相变要求在晶格中实现整数填充，而这里$n$可以是任意大于零的数。这个问题也比较容易理解，因为粒子数$n$足够多，才可能实现一个绝缘体。但上面的模型是没有办法实现这个绝缘体相，因为没有$\cos(\theta)$的项。这个可以很容易实现，比如加上一个很小的周期外势，就可以实现了【此时本质上就是Mott相变】。关于Sine-Gordon模型的相变，我在前面的博客中已经仔细讨论。

(来自我的笔记)

注：本文是对2020年，2022年我的讲课内容---玻色化---的整理和总结。