假设下面的量子力学方程($\hbar = 1$, $2m =1$).在$O$参考下下，它满足的方程为

$i {\partial \psi(x,t) \over \partial t} = (-{\partial^2 \over \partial x^2} +  V(x)) \psi(x, t)$.

在$O'$坐标系下，它满足的方程和上面的方程类似

$i {\partial \psi'(x',t') \over \partial t'} = (-{\partial^2 \over \partial x'^2} +  V(x')) \psi'(x', t')$.

其中

$t' = t$, $x' = x + vt$.

那么，我们有

${\partial \over \partial t'} = {\partial \over \partial t} + v {\partial \over \partial x}$,

${\partial \over \partial x'} = {\partial \over \partial  x}$.  

我们的目的是找$\psi'$和$\psi$的联系，如果$\psi'(x', t') = \psi(x, t) e^{-iS(x, t)}$可以成立，那么我们可以说Schrodinger方程是伽利略不变的，但是前提条件是$S=S(x, t)$是某个实数。 在量子力学中，这个相位对最终的物理影响不大。而且在连个不同参考系中有不同的相位很正常。这是量子力学和普通波动理论不一样的地方，需要注意。

这里需要和普通的Doppler效应联系在一起。以前我们讲”事件“，这个时间是具体发生的某个事情，比如颜色、相位、爆炸、车祸、碰撞、散射等等。但是在量子力学中，这个事件可能是某个态，某个本征值或波函数等等。这是一个更加抽象的概念, 也是量子力学和之前的力学不一样的地方。

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