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Zmn-0198 薛问天：「潜无穷观」视野的限制-评新华先生《0189有关【缝隙】的看法》
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Zmn-0198 薛问天：「潜无穷观」视野的限制-评新华先生《0189有关【缝隙】的看法》
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0189》新华先生文章的点评。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
「潜无穷观」视野的限制
-评新华先生《0189有关【缝隙】的看法 》
薛问天
现对新华先生《Zmn-0189有关【缝隙】的看法 》一文点评如下。蓝色为原文，黑色为点评。
(一)，【区间(0,1)去掉 0.5，得两个开区间(0,0.5)与(0.5,1)，0.5 表示一个点，点是没有长度的，真能存在【缝隙】吗? 】
两个开区间(0,0.5)与(0.5,1)之间刚好有个 【缝隙】，在这个 【缝隙】中刚好可以填进一个数0.5。 点是没有长度的， 【缝隙】也是没有长度的。这不是很正常嘛！
(二)，【区间[0,1]是长度为 1 的线段，线段是无限可等分的，等分的步骤与自然数构成一一对应关系，每一次所得分点表示都是有限小数，但是每一自然数都可以通过+1 而无限延伸，则所得分点表示有限小数，而随着自然数通过 +1 而无限延伸，无限延伸能结束吗？有限小数的位数增加能结束吗？有限小数与无限小数是根据小数的位数来区分的，有限位与无限位有严格界限吗？有理数对应的是分点所表示的数，等分的步骤能结束吗？如果能结束，说明有最大自然数，显然不存在最大自然数，说明等分的步骤永远不会结束，说明有理数一直在构造的过程中，那么如何能把有理数都挖去呢？总不能睁眼说瞎话说是假设完成吧！研究数学问题，是要大胆猜想，但是还要精心验证，判断其是否符合事物发展规律，不能随心所欲的假设，认为自圆其说就可以了。】
这就是「潛无穷观」同「实无穷观」的区别。「潛无穷观」认为「全体自然数集」，「全体有限小数集」都不是确定的集合。认为「无穷小数」的位数不确定，不是确定的数。然而「实无穷观」则认为 「全体自然数集」，「全体有限小数集」都是确定的集合。正因为认为 「全体自然数集」是确定的集合，所以认为 「无穷小数」的位数是确定的(确定的无穷集)，所以 「无穷小数」是确定的与任何「有穷小数」都不同的数。
【 有限位与无限位有严格界限吗？】当然有严格区别，位的集合，一个是有穷集一个是无穷集。怎么能没有区别呢?
自然数没有最大数，这只是自然数集的一个特性，并不能因此而否认「全体自然数集」是一个确定的集合。就如同开区间(0,1)没有最大数，这只是开区间的一种特性，你照样承认这是一个确定的开区间。
「潛无穷观」认为【 有理数一直在构造的过程中】。然而 「实无穷观」认为「全体有理数集」也是一个确定的无穷集合，当然可以讨论把它从区间中挖去的问题。说这是【 睁眼说瞎话】，只是 「潛无穷观」的一种偏见。 「潛无穷观」者分辨不出有穷和无穷的区别，分辨不出有穷小数同无穷小数的区别，进一步也分辨不出有理数同无理数的区别。就等于在眼晴上糊上了一层不透明的眼镜，视野和分辩率不合格， 什么都看不清。
(三)，【有理数不存在「相邻点」间的【缝隙】。挖掉一个点，因为点没有长度， 也就没有【缝隙】只存在开区间。】
这句话在逻辑上有点乱。应该这样说:
可以严格证明在区间上挖走n(有穷)个有理数后，区间剩下有穷个(n+1个)开区间。相邻的开区间之间刚好有一个长度为0的缝隙。这就是刚被挖走的有理数。
我们先看中间一段话:
【 首先得搞清楚什么是无穷？不存在确定的无穷，只有趋于无穷，“无穷情况”本身就是伪命题。有穷和无穷是相对而言的，没有有穷，就没有无穷，有穷和无穷没有严格的界限，无穷只是有穷的延伸，在有穷趋向无穷的延伸中，只能按照原来确定的规 律延伸，没有“飞跃”和“穷竭”过程，规律不会发生变化，根本不可能发生 “质变”和“突变”，】
这段话说明此文作者是个典型的 「潛无穷观」者。他坚信【 不存在确定的无穷，只有趋于无穷，“无穷情况”本身就是伪命题。】因而他根本不会承认【 挖走无穷多个点后】这种情况。这有无穷多个点，你怎么可能全部挖完呢？怎么还会有挖走【后】的情况呢?这是个【伪命题】。根本就应拒绝讨论。可是作者却违背了他自已的信条，竟然参加讨论，並且还给出了结论，这就是前后两段:
【挖走无穷多个点后，必然存在无穷多个互不相交的开区间，绝不会是单点集，否则，就不能保证无限可分，单点是不能再分的，分的步骤必然结束，那么必然是有限可分。
【猜想定理】在(0,1)区间内挖走无穷多个点后，剩下的一定是无穷多个开区间。认为在有限在无穷情况下也成立。】
【因此在(0,1)区间内挖走无穷多个点后，不仅剩下的一定是无穷多个开区间，而且一定是无穷多个互不相交的开区间。】
这不很奇怪吗？既然不承认有【 挖走无穷多个点后】这种确定无穷的情况，既然这是一个【伪命题】，应该拒绝讨论和拒绝回答才对，怎么你能给出如此肯定的回答【...不仅剩下的一定...，而且一定...。】你的论证又根据什么呢？
(四)，【关于戴德金分割，分割必然有分点，分点必然表示一个实数，这是无可非议的，问题是这个分点如何确定是有理数还是无理数，这才是问题的关键：】
当然有方法来确定这个【分割(划分，分点)】表示的有有理数还是无理数。注意这是全体有理数的划分，第一类划分(B集有最小数)，和第二类划分(A集有最大数)表示分点是有理数。只有第三类划分(A集无最大数，B集无最小数)表示的是无理数。
【所谓“将有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集 A 和 B，使得集合 A 中 的每一个元素小于集合 B 中的每一个元素。”本身就是一个伪命题。戴德金忽悠人的水平发挥得真是淋漓尽致啊！ 】
新华先生说话要有根据要讲道理，你说的【伪命题】和【忽悠】至少要讲一条理由嘛。不能什么理由都不讲就下结论吧！
【如果对于区间（0,1），取靠近小于中点 0.5 的某一点 M 分割，首先就必须确定 M 是有理数还是无理数，你如何去确定 M 的值，如果确定 M 的值，一眼 就可断定 M 是有理数还是无理数；如果不知道 M 的值，如何判断 M 是有理数 还是无理数？】
戴德金分割是一种由有理数产生无理数的方法，他的次序是先有有理数的划分，然后根据划分的性质来确定是有理数还是无理数，由第三类划分确定是无理数，再求它的值。不是根据分点的值来区分有理无理数的。这里要注意是由划分决定分点(和分点的值)，而不是由分点(和分点的值)来决定划分的。
【假设 M 是无理数，如何判断（0，M]中无最大的有理数？（0,M] 中最大的有理数是多少？[M，1) 无最小的有理数？[M，1) 中最小的有理数是 多少？】
如果是表示无理数的第三类划分，A集没有最大数，B集没有最小数。新华先生的问题属【伪问题】不该问。
【M 所占的位置真的存在一个【缝隙】吗？这个【缝隙】的长度是多少？ 戴德金自己也不会说清楚的。】
很清楚。有理数的划分，第一类和第二类划分间没有【缝隙】。第三类划分间刚好就一个长度为0的一个数的缝隙，可用一个无理数填充。
（五）、【区间（0，1）有理数中的【缝隙】究竟有多少呢?首先应该确定区间（0， 1）有理数有多少，那么要首先确定所有有理数的数目不再变化，显然不可能， 只能认为有理数的数目为无穷多个，而且在不断的变化中，如果把有理数挖去， 只能存在互不相交的开区间，互不相交的开区间也必然是无穷多个，就无法统 计互不相交的开区间的多少，因为有理数是在不停的构造之中，如果认为是可数的，互不相交的开区间也必然是可数的，既然有有理数的「稠密性」，而且每 一个开区间还存在有理数，这是由有理数的「稠密性」所决定的。认为“有理数中的【缝隙】有不可数无穷多个，它们就是全体无理数，基数是连续统。”显然是错误的，不能自圆其说。 】
对这个问题【区间（0，1）有理数中的【缝隙】究竟有多少呢?】「潛无穷观」者无法讨论此问题。【 ...确定区间（0,1）有理数有多少，那么要首先确定所有有理数的数目不再变化，显然不可能， ...】
「潛无穷观」者，根本不承认有理数集是个确定的集合。也就是说，在他们的视野中，根本不存在有理数集这个确定的集合。他怎么还能判断集合基数的对错呢？他根据什么说【...基数是连续统...显然是错误的...】。这就如同一个盲人在评论蓝天白云一样不靠谱。换句话说，「潛无穷观」者没有能力(甚至说没有资格)来评论集合的基数，及其对错。在「潛无穷观」的视野下，只能说基数问题【是伪问题】。不可能做出肯定或否定的回答。
（六），【“有理数中的【缝隙】有多少?”的证明问题
用“从二进制的有穷小数和无穷小数谈起。”的证法只是康托尔对角线证法 的翻版，用是反证法，用反证法证明可数不可数问题是不适宜的，不是简单的不是可数就是不可数，要把可数的情况都排除掉不是简单的问题：因为所谓可数的情况有无穷多种，它是有可数可加性决定的，只排除掉一种是不行的，要把无穷多种都排除掉也是不可能的，因此企图用反证法证明实数不可数是不可能的。】
这段议论完全站不住脚。低估了反证法的逻辑能力 。因为，P:【集合A可数】就是一个确定的命题。一旦能由P推出矛盾 。就可证明P为假。即 ﹁P为真，它就是【集合A不可数】的严格证明。根本不存在新华先生所说的什么【 不是简单的不是可数就是不可数，要把可数的情况都排除掉不是简单的问题......因此企图用反证法证明实数不可数是不可能的。】在数学上不是【可数】，就是【不可数】。这是严格的定义，没有任何值得怀疑的地方。所有的质疑都源于对可数定义的错误理解。
【有人证明W不可数，就是因为构造无穷小数 b 不在w1,w2,⋯的可数序列之中，就认为W的不可数，这种观点充分说明 b 加上可数序列w1,w2,⋯就不 可数，那么我们不用反证法，就可直接证明序列 b,w1,w2,⋯是可数的，证 明很简单，也采用康托尔最擅长的图证法：b→w1→w2→⋯，不就证明序列 b,w1,w2,⋯是可数的吗？ 】
我不知道新华先生是真看不懂反证法，还是在这里故意狡辩。我可以明确告诉新华先生，这里用的是反证法。假定「W可数」，于是W全体元素可以排成序列w1,w2,...。构适不在序列中的但属于W的元素b，这就同这个假定「W可数」发生矛盾，推出W不可数。你对这么严格地反证法的证明有任何疑问吗？除非你不懂什么是反证法。你在反证法的假定「W可数」下证明「W可数」有何意义？能说明什么向题？能否定这个反证法的证明吗？
【所谓连续统只是表示线段是连续的，有理数稠密性和实数稠密性都是相对于点而言的，它并不能作为分析和解决连续性问题的理论依据，因为线不是由点构成的，是由点的移动形成的，用点去分析和解决连续性问题是行不通的， 是不能自圆其说的，必然存在许多不能解释的问题。】
区间(0,1)中的每个点都对应一个0和1间的实数， 0和1间的每个实数都对应区间(0,1)中的每个点。所以「连续性」、「稠密性」既是实数集合的属性也是区间中点的属性。不存在新华先生说的【 用点去分析和解决连续性问题是行不通的，......，必然存在许多不能解释的问题。】如果新华先生觉得有【 不能解释的问题】，不妨具体说出来，看看是否真的【不能解释】。
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000到Zmn-0150期目录。 2020-4-14 14:37
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