Zmn-1020-1 薛问天 : 全篇错误的文章。评李鸿仪先生的《1015-自然数集合的非唯一性》(上)

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1015》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

全篇错误的文章。评李鸿仪先生的

《1015-自然数集合的非唯一性》(上)

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

李鸿仪最近发表的一篇文章《Zmn-1015 李鸿仪 : 自然数集合的非唯一性》，是他的《Zmn-1005 李鸿仪 : 实无限的反例：自然数集合的非唯一性。》那篇文章的重述和补充。全篇统统都是错误。对《1005》中的错误，我已在《Zmn-1006 薛问天 : 全体自然数集合的唯一性。评李鸿仪先生的反例《1005》》，做过详细的分析，現在再在这里具体分析如下。

1，全体自然数集合当然是唯一确定的。

首先要明确，数学是逻辑相当缜密的科学。数学中的任何词汇都有严格的定义，不可随意乱用。例如李先生这篇文章的主题《自然数集合的非唯一性》，所涉及的【自然数集合】，在数学上指的就是所有自然数构成的集合，即全体自然数集合。数学上所指的集合就是集合论中规定的外延固定的确定集合。集合的唯一性，指的就是同一集合包含完全相同的元素，即有相同的外延。即所有的集合都是唯一确定的。全体自然数的集合，既然它是包含所有自然数的集合，它的外延明确和确定，所以当然是唯一确定的。

请问李先生，你的论证是按照这些数学严格定义的概念来推论的吗？李先生的错首先就错在这里。

实际上李先生反对的並不是【自然数集合的唯一性】，而是他根本就不承认全体自然数集合的存在。他说【实际上有一个未经证实的假设，即存在已经完成且不再变化的自然数集合，】又说【人类的思维远远不够严谨，无法确保不引入不可靠的假设。相反，在很多推导中，人们往往不自觉地引入一些似是而非的假设，从而导致其结论的不可靠性。】也就是说他认为，存在自然数集合，是不可靠的结论。

他的观点实陆上不是说【不唯一】，而是说【不存在】。

他反对的是全体自然数这个无穷集合的存在。他认为不存在的理由是什么呢？他说来说去，理由就是【自然数可以通过添加后继来增加。除非这个过程可以终止，也就是不再有后继数，才有可能形成“全体自然数”。然而这是不可能的，所以永远不可能形成“全体自然数”。】

这里说这个无穷集合的生成过程是个无穷的添加后继的过程，不可有穷地终止，这当然是对的，无穷过程不可在有穷次时终止，一旦终止就形成不了无穷集合。但是要知道永不终止只是这个无穷过程的属性。并不等于这个无穷过程整个不能完成。所以得不出【这是不可能的，所以永远不可能形成“全体自然数”。】的错误结论。

也就是要认识到【永不终止的无穷过程】是可以完成的。无穷过程是永不终止的，但整个无穷过程是可以完成的，过程的永不终止和整个过程的完成是两回事。

例如我举个最简单的例子。假如一物体从坐标0点运动到坐标1点，中间要经过坐标为0.9,0.99,0.999,......这无穷个点。显然经过这无穷个点的无穷过程永不终止。每经过一个点，还要经过下一个点。但当物体运动到坐标1点时，经过这无穷个点的无穷过程就完全完成了。可见这永不终止的无穷过程是可以完成的。

因而李先生所说的【自然数可以由+1形成，并不意味着形成的过程可以结束，从而形成“全体”自然数:只要过程还在进行，新的自然数就不断产生，“全体”自然数就永远无法形成。】就是错误的。自然数在形成的无穷过程中，虽然是永不终止的，但这个整个的形成过程却是可以完全完成的。因而“全体”自然数集合可以最后形成。

李先生不承认存在全体自然数，却定义什么包含任意自然数的集合。

【定义 1 可以包含任意一个自然数的集合，称为自然数集合。】这中间的【任意】是含混不清的。要知道【任意】自然数就是【所有】自然数中的任意一员。不是【所有】自然数中的【任意】一员，指的又是什么自然数？

李先生说【按照实无穷的观点，无穷的过程是可以完成的，所以作为一个无穷集合，自然数集合的形成也是可以完成的。所以完全假设可以用实无穷的观点来证明。

问题是，实无穷这个概念本身就是一个没有人能严格证明的假设，反例倒很多。】

其实李先生已说得很明白，他反对的是实无穷覌。这就使我们清楚地认识到，从本质上讲，李先生认为生成无穷集的无穷过程不能完成，从而无穷集的生成不能完成，不承认无穷集的存在。大家都知道这是什么观点，这就是在康托尔提出集合论时，持反对态度的反实无穷观的人坚持的谮无穷观的观点。如果真是如此，是李先生在对实无穷观产生的怀疑，认为【实无穷这个概念本身就是一个没有人能严格证明的假设，反例倒很多。】我看就不必争论了。因为这已成为历史，业界早有共识和定论。请李先生去学学这段历史，理清头脑，早点抛棄过时的潛无穷观，树立起現代的实无穷观。人类从潜无穷观过渡到现代实无穷观体現了人类的文明和进步。可以说整个集合论和现代数学都是建筑在现代实无穷观的基础之上的。不承认无穷集合的存在，人类就无法对无穷的数学对象进行真正的研究。不树立现代实无穷观，就会失掉这一切文明！

2，这根本不是【自然数集合唯一性的一些反例】，而是李先生不理解什么是数学对不同事物具有相同数量关系的抽象。

数学是对客观世界的数量关系的抽象。不同的客覌事物，可能具有相同的数量关系。10头牛和10个苹果当然是不同的对象。但是表示它们数量关系的自然数10则是完全相同的，不能说表示10头牛的自然数10和表示苹果的10不同。100张壹元的钞票，和100张十元的钞票当然是不同的钱。但你能说自然数100不是唯一的，有很多个不同的自然数100吗？当然不行。自然数集合中只有唯一的一个【自然数100】，没有多个【自然数100】。

因而李先生所举的例子，想用同一个自然数集合所标注的对象集合的不同来说明自然集合不唯一，有多个不同自然数集合的说法，就是错误的。他用自然数集合来表示有不同单位的对象如钞票等，以及用自然数集合表示两个无限班级组成的无限学校。 然后用钞票单位的不同以及和学校的不同来说明自然集合不唯一，有多个不同自然数集合的说法就是错误的。犯了对抽象的错误理解。得出【如果自然数集合是唯一的，就会得出1分=1元这一荒唐结论】的错误结论。同用自熟数表示的【A班的班学号和B班的班学号以及校学号都是自然数集合】，但却得出【这3个自然数集合显然不可能是同一个集合】的错误结论。事实是客覌对象是不同的，但是作为它们的数量关系的抽象-自然数集合，却是相同的，唯一存在的。

在数学的应用中，凡是可数的集合都同自然数集合一一对应，都可用自然数进行标号。这种集合的对象，可以说有千千万万各不相同。但是同它们一一对应的自然数集合只有一个，是唯一确定的。这就是数学的高度抽象性和应用的广泛性。对此李先生应有正确的认识。

3，这里涉及若干问题。

3.1，关于全体自然数集合的形成过程。

我们已说过多次。就是由含有0或1这一个元素的有穷集合开始，每次由它的最大数加1增加一个元素，形成一个更大的新的有穷集合。这样不断增加扩大的过程，永不终止。正是由于这个永不终止的过程完成后，才产生了元素数目不断增加的无穷多个有穷集合。在这无穷多个有穷集合中并无任何一个是无穷集合。正是这无穷多个有穷集合的并集，即它的所有的元素构成的集合，才是包含全体自然数的无穷集合。

我们现在来评论李先生的论述。李说【(1)无穷自然数集是元素数目大于任意给定n*的自然数集；】

因为【无穷集的元素数目】并无定义，所以只能这么说，所有这无穷多个有限集合的元素数目都是自然数。但这无穷多个有穷集合的并集，即全体自然数集合是非有穷集合，即是无穷集。没有自然数作为它的元素数目。

李说【(2)无穷自然数集的形成过程永远无法停止，即永远无法完成，所以只有在形成过程中的无穷自然数集，没有已经完成的自然数集；】显然不正确。如果形成过程无法完成，形成过程中只能形成有穷集合，不会有形成的无穷集合存在。正确的说法应当这么说，无穷自然数集的形成过程永不终止，但整个过程可以完成。在过程完成后，形成了无穷多个有穷自然数集，这无穷多个有穷集的并集就是形成的全体自然数的无穷集合。

李说【(3)无穷自然数集合在形成过程中处于不同的形成阶段时可以是不同的，比如自然数集合A的元素数目刚好大于某个n*时，自然数集合B的元素数目可能已经大于2n*了。显然，A和B不是同一个集合。因为没有一个自然数集是已经完成的，因此，不可能有一个唯一的、已经包含了全体自然数的集合。】

在形成过程未完成而处于不同形成阶段时，形成的都是不同的有穷集合。就是在形成过程完成后，所形成的也是无穷多个不同的有穷集合。只是这无穷多个有穷集合的并集，才是最后形成的唯一的、包含了全体自然数的集合。因而认为在形成过程未完成时所形成的是不同的无穷的自然数集合，这种说法显然不对，是错误的。

另外说【因为没有一个自然数集是已经完成的，因此，不可能有一个唯一的、已经包含了全体自然数的集合。】也是不对的。不可终止的生成过程可以完成。在形成过程完成后，形成了无穷多个不同的有穷集合。这无穷多个有穷集合的并集，就是最后形成的唯一的、包含了全体自然数的集合。

3.2，关于递增自然数变量。

李先生给出如下定义。【定义2一个值从1开始一直通过+1递增的变量叫做递增自然数变量。如果这个变量没有上界，这个变量就叫做无界递增自然数变量，简称无界递增变量。】

在数学中给出一个变量，就要说明变量的取值范围，即所谓变量的论域集合。按我的理解，无界递增自然数变量，就是p以全体自然数集合为论域，有界递增自然数变量，就是以小于此界的自然数集合为论域。

另外，李先生还为他的变量增加了【从1开始一直通过+1递增】的属性规定。在数学中这样规定的变量只能是非常具体的函数变量，所以按我的理解，李先生的递增自然数变量非常具体，指的是变量值随时间节拍(或次数)变量t而变，从1开始一直通过+1递增。即递增的函数变量x在任何节拍瞬时t都有变量瞬时值x(t)，而且x(1)=1，x(2)=2，x(3)=3，...，x(n)=n，...。当然t的论域是自然数集合。而且此变量的瞬时值x(t)随t的1加而加1，即有x(t+1)=x(t)+1。

无界递增自然数变量，就是无穷序列。x(1)=1，x(2)=2，x(3)=3，...。

有界递增自然数变量，就是有穷序列。x(1)=1，x(2)=2，...，x(k)=k。

我们就按此理解来分析李先生评述的错误和不严格之处。

李说【性质1:无界递增变量的值可以大于任意给定的自然数n*。】

这个性质1，问题很多。首先什么是【无界递增变量的值】，要知道变量的值是从论域中取的。不同瞬时有不同的瞬时值，有很多。那么你的这个话是指

A【性质1:无界递增变量所有可取的值可以大于任意给定的自然数n*。】

还是B【性质1:无界递增变量至少存在一个可取的值可以大于任意给定的自然数n*。】

A显然不对，不是所有论域的数，所有的自然数，都可以大于任意给定的自然数。

那么B对不对呢？实际上也不对，自然数中并无最大自然数，并不存在一个自然数是【无穷自然数】，它可以大于任意给定的自然数。

这就是李先生在逻辑知识上的欠缺。应该把存在和任意的先后次序倒一下，正确的应是

C【性质1:对任意给定的自然数n*，无界递增变量至少存在一个可取的值大于n*。】这才是正确的。要知道在数理逻辑中(∃x)(∀y)[x>y]和(∀y)(∃x)[x>y]有重要差别。

李先生错误地接着说【这里要注意，我们可以找到一个大于任何一个给定自然数的变量，但是我们不可能找到一个大于全体自然数的变量，】

要知道你并没有【找到一个大于任何一个给定自然数的变量，】而是

确认C【对任意给定的自然数n*，无界递增变量至少存在一个可取的值大于n*。】成立。

李接着说【这也是“任何”和“全体”不一样的一个例子，】请李先生注意，逻辑上的全称量词说的[所有]是对象的个体而不对象的全体。因而在全称量词中说[任何的]和[所有的]是一个意思。因而把C中的【对任意给定的自然数】换成【对所有的自然数】仍然是成立的。即

C′【对所有的自然数n*，无界递增变量至少存在一个可取的值可以大于n*。】C′同C是一个意思，也是成立的。

B的不成立，也正是因为把B中的【对任意给定的自然数】换成【对所有的自然数】，即

B′【性质1:无界递增变量至少存在一个可取的值可以大于所有的自然数n*。】B′同B是一个意思，是不成立的。

即这里的[任意给定的]就是[任何的]，[所有的]。含意完全一样。

李先生说【定义3一个取值可以大于任意给定自然数n*的无界递增变量称为无限变量，用n∞(或简单地用∞)表示。】

李先生的错就错在他不了解，存在一个取值可以大于[任意给定的]自然数，同对于[任意给定的]自然数n*，存在一个取值可以大于n*是不同的。存在一个取值可以大于[任意给定的]自然数，就是该取值可以大于[所有的]自然数，含意完全一样。既然无界递增变量的论域是自然数，那么就不存在这样的【无穷自然数】，它能大于所有的自然数。因而李先生定义的无限变量就不存在，是个伪定义。

如果把无限变量的定义改动如下，【定义3。一个对所有的自然数n*，都至少存在一个可取的值大于n* 的无界递增变量称为无限变量，用n∞(或简单地用∞)表示。】

则是一个无用的多余定义，因为有C【对任意给定的自然数n*，无界递增变量至少存在一个可取的值可以大于n*。】成立。所有的无界递增变量都是无限变量。李先生，逻辑上这么混乱，你如何解释？

李先生说【打一个比方，人的年龄是一个有限变量，但如果未来科技可以让人长生不老，则人的年龄就是一个无限变量。】显然是错误的，既使可以让人长生不老，人的年龄变量也只能是取自然数为值的无界递增自然数变量，不可能有人活到【无穷自然数岁】，即活到【无穷岁】，他的岁数大于任意的自然数，大于所有的自然数。要知道这是不可能的。

因而李先生的【无限变量n∞】是个不存在的伪定义。于是所有由【无限变量n∞】定义的概念都成问题。

3.3，我们现在来分析在3.3中陈述的错误。

李说【无限变量与数学分析中序列{n}: 1，2，3…的异常极限Lim [n→∞]n=∞的定义没有什么不同，因为后者实际上也只说Lim [n→∞]n=∞大于任何给定的自然数n*。】

这就是李的错，数学概念必须严格定义，不能说什么【没有什么不同】。你要认为它们相同就严格作相同的定义。可以说分析中的序列{1,2,3,...,n....}同无界递增变量可以完全相同。但序列的极限是无穷大同【一个取值可以大于任意给定自然数n*】则在数学上无论如何不能认为是相同的陈述。在分析中明确指出极限∞不是数更不是自然数。可是在无界递增变量的【一个取值】则必须是取自自然数。这怎么能相同呢？李先生，你真的认为极限∞是变量的一个取数吗？逻辑能如此混乱！

所以说李先生说【本文给出了∞的精确数学含义】是完全错误的。他所论述的一切有关无限变量∞的性质都是错误的。

也就是说李先生定义的变量∞，它的值的变化论域並不是自然数集合，还有不是自然数的对象。这就产生了逻辑混乱。

李先生说到亚氏三段论。三段论也有严格的规定。例如大前提说所有金属都是导电的，小前提说铜是金属，三段论得出结论说銅是导电的。这显然有严格规定，大前提和小前提说的是金属，如果小前提指的是木头，木头不是金属就得不出木头导电的结论。

在自然数理论中说所有的自然数变量x，x+1＞x成立。显然如果有小前提说变量y是自然数变量，显然可推出y+1＞y。

但是，如果说清楚，变量∞不是自然数变量，它的变化论域中有不是自然数的对象。由三段论的逻辑就推不出∞+1＞∞的结论。李先生对逻辑推理，要有最基本的训练。

正因为李先生所说的【无限变量∞只不过是一个取值于自然数的变量】是错的。所以他说的下述性质

【性质1无限变量∞可以像任何其他数学变量一样参与任何种类的数学运算。】和

【性质2:无穷变量∞可以用数学归纳法研究。】全部都不成立。

另外，对于序列{n}={1，2，3…n-1，n，n+1…..}和{m}={1，2，3…m-1，m，m+1…..}，这是完全相同的序列。序列{n}就是序列n(t):n(1)=1,n(2)=2,...。

序列{m}就是序列m(t):m(1)=1,m(2)=2,...。

也就是说对任何t，都有n(t)=m(t)。不可能还有什么其它的函数f，使对任何t，m(t)=f(n(t))。

要知道若{n}={1.2,3,...,n....，

若有m=f(n)=2n，则{m}={2,4,6,...,m=2n,...}，这根本不符合定义2的【从1开始一直通过+1递增的变量】的规定，′连【递增自然数变量】都不是。

要知道根据李先生递增变量的定义，【定义2一个值从1开始一直通过+1递增的变量叫做递增自然数变量】。这种递增自然数量变量根本无法进行运算。例如递增变量∞={1,2,3,......}，则∞+1就是∞+1={2,3,4,......}，∞+∞=2∞={2,4,6,......}，这些运算的结果根本不是【从1开始一直通过+1递增的变量】。

因而用m=f(n)引出的定义4【称{m}为{n}的相关无穷序列】和

【定理1:定义4中数列{m}的异常极限为f(∞)。】都不成立。

要知道更何况按极限理论，如果序列n(t)→∞，同样有f(n(t))→∞，那有极限等于f(∞)的说法。所以这一切都是错误的。李先生的论述完全依据的是他的主观想像，这哪里是数学理论的论证。

正因为无限变量∞的定义是个伪定义，根本不成立，对它性质的讨论逻辑混乱，所以想用它来定义无穷集合的【元素数目】，自然是毫无意义的。

李先生说【定义5。对元素的计数结果称为元素数目。】李先生所说的用对元素的计数结果来定义集合的元素数目，显然只对有穷集合有效。即他说的【性质1:有限集的元素数目可以用自然数n*来表示。】这没有问题。但他所说的【性质2:集合的元素数目也可以是无穷变量。】则毫无意义。李先生根本不认为无穷的计数过程可以完成，怎么会得出计数结果是完整的序列，【递增变量】呢？要知道既使这样的计数过程完成也可能只完成了无穷集的一个可数子集的计数，怎么能说它就是这个整个无穷集合的【元素数目】呢？

另外李先生说【定义6:元素数目为无限变量的集合称为无限集合。】也毫无意义。因为无限集合己有明确的定义，集合论中已明确定义，无限集合是非有限集合的集合。

最后李先生终于说出了他的结论，【定理2:不可能有固定的无穷数来描述自然数集合的元素数目。】

正式宣告了他试图定义无穷集合【元素数目】的努力完全失败了。李先生完全处于矛盾的逻辑之中。一方面说【不可能有固定的无穷数来描述自然数集合的元素数目】，一方面又说无限集合的【元素数目为无限变量】。而无限变量又是【一个取值可以大于任意给定自然数n*的无界递增变量称为无限变量】。要知道【可以大于任意给定自然数n*】的【一个取值】那只能是【无穷数】。它不可能是有穷的自然数。李先生已陷入极深的矛盾之中，宣告他的努力的失敗。无穷集合的元素数目必须是【无穷数】，即【超穷数】。

李先生定义集合【元素数目】失败的根源就在于他用【计数】来定义，这对无限集合是无效的。正确的方法是用一一对应来定义元素数目的相等，基数就是这样定义的，取得了成功。李先生说【超穷数理论，都是错误的。】毫无根据，说不出任何理由，完全是他主观的无理武断。

而恰恰是由于他采用错误的方法，引起定义元素数目的失败，定义不出无穷集合的元素数目来。就据此推出一系列错误的结论。

他推出的一个重要错误，就是他认为无穷集合没有固定的外延。他说【既然这里没有一个固定的无穷数来描述自然数集合的元素数目，那么也就不存在一个具有不变外延的无穷集。】【存在固定无穷数的错误观念从根本上混淆了有限集和无限集的区别，】

李先生的主观武断是错误的，有限集和无限集的区别不在这里。有限集合和无限集合都有确定的元素，都有固定的外延，每个集合，无论是有限集合还是无限集合都有唯一确定的基数，业界普遍公认这就是集合元素数目的精确的数学描述。只不过对有限集合，元素数目是有穷自然数，对于无限集合，则是超穷基数。这才是它们的区别。

李先生推出的另一个重要错误，就是由于他的逻辑相当混乱，一方面说【不可能有固定的无穷数来描述自然数集合的元素数目】，一方面又说作为无限集合元素数目的【无限变量∞可以像任何其他数学变量一样参与任何种类的数学运算。】

还断定【性质:无限集合的元素数目是可加的。】他的这个【可加】还指加后不等而且必须更大。∞+1≠∞，∞+1>∞，∞+∞=2∞>∞。这纯系他的主观武断。

他说【例如，如果N0 = {0}UN，根据定义6的性质，当N中没有0元素时，∞N0=1+∞N

该结果可以这样理解:N是N0的真子集，每一个属于N的元素也属于N0，所以虽然N的元素数目在不断增加，但是N0的元素数目也在同步增加。但是元素0永远属于N0，而不属于N，也就是说，N0永远比且只比N多一个元素0。】

显然这就是李先生的武断，当N的元素数目是∞时，N0的元素数目就是∞+1，这没有问题。但你怎么断定∞+1>∞呢？要知道对于有穷集合的元素数目自然数a，肯定有a+1>a，但是对于无穷集合元素数目的数系，加法并不一定有必定增大的规定。更何况如果用一一对应来描述元素数目相等，则由于已严格证明无穷集可以同它的真子集一一对应，N同N0一一对应，所以有∞+1=∞。而不是∞+1﹥∞。

因而李先主由此关于元素数目错误的武断所【证明】的

【定理3任何无限集合中元素的个数都大于它的任何真子集】

【定理4元素数目不同的两个集合之间不能建立任何一一对应关系。】

【定理5一个无限集合不能与它的真子集一一对应。】

【推论2自然数集合不能与它的偶数真子集一一对应。】

【推论3有理数和它的自然数真子集合不能一一对应的。】

都是错误的。错误的根源在于他从【无穷变量】的最基本的定义开始就错了，逻辑混乱，直到元素数目运算结果的主观武断。根据这些错误的论断所做的推论不可能有任何意义。

4，我已详细说明文中前面论述的定义，定理和推论全是错的。自然由这些错误的论断所推出的【定理6自然数集合不是唯一的】，肯定也是错误的。

我们来简单论述一下李先生【证明】的错误。

李先生给出了三个【证明】，错误在于他引用了三个他前面所作出的三个错误的论断。

证明1说，同一个自然数集合N={1,2,3,...}，它还可以表示为N*={1}UT，其中T={2,3,...}可同N一一对应。因而如果N的元素数目是∞，则N*的元素数目就是∞+1。

这些推论可以说都没错，错就错在他认为∞+1>∞，从而推出N和N*的元素数目不等，使错误定理得证。如果他知道∞+1=∞，就得不出错误的结论。

证明2说，同一个自然数集合N={1,2,3,...}，它还可以表示为A3=A1UA2，其中A1,A2是偶数集和奇数集，均可同N一一对应。因而如果N的元素数目是∞，则A3的元素数目就是∞+∞=2∞。

这些推论可以说都没错，错就错在他认为∞+∞=2∞>∞，从而推出N和A3的元素数目不等，使错误定理得证。如果他知道∞+∞=2∞=∞，就得不出错误的结论。

证明3把自然数集合N={1,2,3,...}的元素数目即无限变量，既看作是序列N={1,2,3,...,n....}，又看作是序列M={1,2,3,...,m....}。而且认为m=f(n)≠n，从而他认为若N的极限是∞则M的极限是f(∞)≠∞。即元素数目不等，集合不唯一。使错误定理得证。显然如果李先生知道了我所指出的无限变量是个伪定义，这些不同极限的性质都是错误的推理时，就得不出这个错误的结论。

另外我想告诉李先生，他这个定理【自然数集合不是唯一的】从本身概念上就不通。他说的不唯一是指的自然数集合不唯一，即说这些是不同的集合，它们都是所说的【自然数集合】。在证明中明确地说【N*......也是自然数集合】，【自然数集合A3 = A1 UA2】。

请问，根据什么说它们都是【自然数集合】。其实【定义1，可以包含任意一个自然数的集合，称为自然数集合。】说得很清楚，任意一个自然数都包含在其中，即集合的外延是任意自然数都在其中。这个外延是非常明确和确定的。之所以能把N，N*以及A3都明确地指出它们是【自然数集合】，就是根据它们包含的是相同的元素，即它们的外延是相同的。但是要知道外延相同的集合就是同一个集合，不是不同的集合，所以它必然是唯一的，怎么能是不同的集合呢。理由很简单，就是李先生把元素数目算错了，错把N同N*，A3的元素数目算成不相等，才得出了它们是不同集合的错误结论。

当然文中由错误的定理所做的推论应用也是错误的。

另外，李先生用【自然数集合不是唯一的】这个错误的论断，这样来错误地解释无穷集不能同它真子集的一一对应。

我们知道N0={0}∪N ={0}∪{1，2，3，...} = {0,1,2,3,...}，同它的真子集N，可以由双射y=x+1建立一一对应。他说由于N不是唯一的，因而同N0建立一一对应关系的集合不是真子集N而是N1，于是N0同N1的元素数目相同而与真子集N的元素数目不同。认为N0并未同真子集N一一对应。这种解释完全是一′种无理的狡辩。因为N同N1包含的元素完全相同，举不出任何反例说明N同N1包含有不同的元素，外延完全相同。所以N同N1完全是同一个集合。李先生由∞+1>∞来判断它们的元素数目的不同完全是错误的主观武断。这种推理应用是错误的，毫无意义。事实并不是李先生所说【康托的错误是把N1误认为N，】而恰恰是李先生错误地把N同N1同一集合，认为是不同的集合。

(待续)

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