Zmn-1026 薛问天 : 在等式两端作微分运算，认为变量相同微分就相同是错误的推论。评《1025》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1025》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

在等式两端作微分运算，认为变量相同微分就相同

是错误的推论。评《1025》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

沒有想到师先生的逻辑这么差，竟然还认识不到我指出的，他把用dx对不同函数表示的不同微分，当作同一微分所犯的低级错误。好吧，我就再来回答师的问题。

关于我引的师先生的①，师说【请薛问天先生说明我错在哪一步或哪一行？薛问天先生对这5行话都未提出异议，因此应是默认这5行话正确．】

我原先没说①是错的，我说的是〖在①这段叙述中，微分dx1=dx2=dx指的是编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分。〗师先生完全可以在①中用dx1，dx2，dx表示编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分。这没有错误。

但是师先生这次却说他①中说的dx1不是编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分，而是编号为1的函数y=f(x)的自变量的微分。说【把我的函数为y=f (x)的自变量的微分dx1改成了函数x=g (y) 的因变量的微分=dx2】。当然如果是这样，师先生说他在①中的dx1表示的是函数为y=f(x)的自变量的微分，那①中的dx1=dx2就是错的了，我后面再评论。

师先生说【1)薛问天先生在概念上把我的dx1改成=dx2后，就不是我的原有观点了，就是他自己编造的新观点了，就与我的原有观点无关了．】

这里请大家特别注意的是，师先生在①中并没有说明dx1表示的是函数为y=f (x)的自变量的微分。在①中师先生是这样写的

【由x1=g (y)及微分的定义知，dx1=g′ (y)dy，】

这里由微分的定义，当然知dx1表示的是编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分，怎么能是【函数为y=f (x)的自变量的微分】呢？。

师先生说【2)薛问天先生说的【微分dx1=dx2=dx指的是编号为2的函数x=g (y)的因变量的微分】只是空喊了一句口号，没有敢说明在概念上把dx1改成编号为2的函数x=g(y)的因变量的微分的理由．】。这简直是在空口说白话，在①中师先生是这样写的

【由x1=g (y)及微分的定义知，dx1=g′ (y)dy，

由x2=g (y)及微分的定义知，dx2=g′ (y)dy，

由x=g (y)及微分的定义知，dx=g′(y)dy，】

师先生①的理由说得很清楚是根据【微分的定义】，这还用我来说明理由吗？这就是理由。

师先生说【3)我未把dx1和dx2在概念上当作相同的微分，只是证明了函数y=f (x)的自变量微分dx1和x=g (y)的因变量的微分dx2数值相等．所以，薛问天先生在其文章1022的题目中说【把不同的微分当作相同的微分】就错了，错在把数值相等当作概念相同了．】

要知道根据微分定义，函数y=f(x)的自变量微分dx1，同在①中【由x1=g (y)及微分的定义知，dx1=g′ (y)dy，】所得出的dx1，不仅不能在【概念上当作相同的微分】，认为【数值相等】也是毫无跟据的。要知道根据【微分定义】由函数x1=g(y)，得出的dx1=g′(y)dy，这里的dx1只能是编号为2的函数的因变量的微分，它根本不是那个编号为1的函数的因变量的微分dx1。怎么能说这里的dx1=g′(y)dy同那个编号为1的函数的因变量的微分dx1【数值相等】。这是毫无跟据的错误。【数值相等】的错误就来源于认为变量相同则微分就相同这一概念的错误。

我已说过多次，微分的关键不仅是同变量有关，重要是同这个变量是哪个函数的因变量和自变量有关。我们看到变量x是同一个变量，在两个函数y=f(x)和x=g(y)中出現。则dx就有可能是第一个函数的自变量的微分，也可能是第二个函数的因变量的微分，概念不同，数值也不相等。这一定要分清不能将其混洧。看来师先生的错误就在这里。

現在我们来分析师先生【进一步阐明理由】中暴露的错误。

师先生是这样来解释他认为在①中所说【由x1=g(y)及微分的定义知，dx1=g′ (y)dy，】中的dx1是y=f (x)的自变量的微分的。

师先生的错误主要表现在这句话【因为是对包含有y=f(x)的自变量x1的等式x1=g(y)的两边进行微分运算得到的结果是dx1=g′ (y)dy，所以dx1在概念上就是y=f (x)的自变量的微分，】

师先生错就错在对微分的理解上，微分是对函数变量的微分，而不是单纯对变量的微分。师先生认为把变量的等式，对等式两端变量作微分运算，就可求出微分数值相等的运算结果来。认为等式x1=g(y)的左边变量是x1，认为按微分定义所求出的dx1=g′(y)dy中的dx1就是他认为的函数y=f(x)的自变量的微分。这样的㸔法和作法是犯了严重的错误。变量是同样的变量，都是x1，但微分dx1却可能完全不同。不能由变量的等式由左右两端作微分运算，认为得出的就是相等微分的等式。难道由变量的等式x1=x2，就能得出微分的等式dx1=dx2吗？这样的认识和作法是严重的错误。

根据【微分定义】由函数x2=g(y)，得出的dx2=g′(y)dy，这里的dx2是编号为2的函数的因变量的微分一点错误都没有。

但是根据【微分定义】由函数x1=g(y)，得出的dx1=g′(y)dy，说这里的dx1是编号为1的函数的自变量的微分。理由是认为dx1=g′(y)dy中的dx1，是由【对等式x1=g(y)的两边进行微分运算得】出的。而这个变量x1【仍然是y=f(x)的自变量】，从而得出【所以dx1在概念上就是y=f (x)的自变量的微分，】

师先生在这个推论中，犯了严重的错误。错就错在他自己所说的【考虑对等式进行微分运算的数值结果，没有考虑用微分定义写出的公式．】

也就是说，对于微分，正确的方法只能是【考虑用微分定义写出的公式．】不能【考虑对等式进行微分运算的数值结果，】因为按微分的定义变量相等得不出微分相等的结论。在等式两端作微分运算，认为变量相同微分就相等是错误的推论。

师教民先生的错误，关键就是错在这里。

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