Zmn-1030 薛问天 : 微积分理论中没有师教民先生所说的【微分的运算法则】，评《1029》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1029》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

微积分理论中没有师教民先生所说的

【微分的运算法则】，评《1029》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn1

1，师教民先生的错误就在于他所说的和使用的【微分的运算法则】，在微积分理论中根本不存在这种法则。是他发明创造的错误法则。错就错在这里。微分不是单纯变量的微分，是函数的微分，分两种，一种是函数的因变量微分，一种是函数的自变量微分。把变量相同的不同函数放在一起(如正反数数)，虽然变量可以相同，但相应的微分就有不同。

师先生说【薛问天先生通过在数值上的 x1=x2=g (y)，在概念上也就把x1改成了x2．也把“x1的原有概念——函数y=f(x)的自变量”丢掉了．丢掉x1的原有概念是错误的，】你说错了。我说的不是变量x1，而是说的微分dx1。

函数x=g(y)，如果变量x=x1=x2，你完全可以把它写成x1=g(y)，和x2=g(y)。但是关于微分，根据微分的定义所得出的dx=g′(y)dy。这个等于g′(y)dy的微分dx，只能是【编号为2的函数x=g(y)的因变量微分】。当你已经明确规定【dx2在概念上是x=g(y)的因变量的微分】后，就只能写成【dx2=g′(y)dy】。而且当你已经明确规定【dx1在概念上是y=f(x)的自变量的微分】后，就不能写成【dx1=g′(y)dy】。不仅概念上不同，数值上说它相等也没有任何根据。因为【函数x=g(y)因变量的微分】同【y=f(x)的自变量的微分】，根本就不是一个微分。你不能根据y=f(x),x=g(y)这两个函数的变量x相同，就得出【x=g (y)的因变量的微分】在数值上等于【y=f(x)的自变量的微分】。

也就是说师先生由所谓的【极限理论的微分的运算法则】，【将x1=g (y)的两边进行微分运算】，所得出的【在数值上得dx1=g′(y)dy=dx2，所以dx1和dx2在概念上虽然不同，但是dx1和dx2在数值上却相等．】是使用错误的【法则】，得出的完全错误的结论。

在微积分理论中，确实如果有【两个函数相等，则它们的导函数相等】，这时等式表示的是两个函数相等。如在

y=x^4+x^3+x^2+x+1 时求导数，即都对上式两边求导数得

y′=dy/dx=4x^3+3x^2+2x+1．

这是在说，y=f(x)这个函数等于这个函数x^4+x^3+x^2+x+1。因而它们的导函数相等。即函数的导数f′(x)=y′=dy/dx等于

4x^3+3x^2+2x+1．

这没有问题，因为函数的导函数只有一个，是唯一确定的。相同的函数的导函数也相同。

但对于微分则不同。一个函数的微分有两个，一个是函数的自变量微分，一个是函数的因变量微分。在变量相同的情况下，但相应微分却不一定相同。如果y=f(x)的反函数是x=g(y)，尽管其中变量x可以相同，但微分dx=g′(y)dy中dx只能是函数x=g(y)的因变量微分。微分dy=f′(x)dx中dx只能是函数y=f(x)的自变量微分。尽管这两个函数的变量x相同，但它们的微分dx，有两个。这两个微分从概念上数值上都不相同。

师教民先生认为两个变量相等的等式x1=x2，在等式两端实施【微分运算】，所得出的微分就是dx1和dx2，而且认为它们相等，则是错误的推论。

2，师先生说【薛问天先生在他的文章Zmn-1028中，通篇都不敢提及我的论文Zmn-1027里的正反函数y=f (x) (编号为1)和x=g (y) (编号为2)，而只是对两个互不相干的函数y=f (x)和x=g (y)论述问题．】

错了。薛在文中明确说了〖如果你真要把两个函数放在一起讨论它们的微分，那就要用不同的符号来表示它们的微分dx，例如(1)中函数f的自变量微分用dx1表示，(2)中函数g的因变量微分用dx2表示。这样就是dx1=Δx，dx2≠Δx。这里就不存在矛盾了。〗

也就是说，我已经说清楚，既使两个不同函数使用的是同一个变量x，如正反函数那样。由微分定义所定义的微分dx也是不同的。也要用不同苻号将其分开。

师先生说【①薛问天先生说的“特别要注意微分是函数的微分而不是变量的微分”是句胡话】，这当然不是胡话。因为师先生的错误就在于没有认识到微分是函数的微分。认为微分是变量的微分，错误地认为变量相等，相应微分就相等。

师先生说【对于函数x=g(y)来说，微分dx就是该函数因变量的微分，微分dy就是该函数自变量的微分，不论是因变量的微分，还是自变量的微分，都是变量的微分．】前面说的没错，就是结论说错了，结论不应说是【都是变量的微分】，正确的结论是〖微分不是单纯变量的微分，是函数的微分，分两种，一种是函数的因变量微分，一种是函数的自变量微分。〗

那种把微分看作是变量的微分，不论函数是什么，在变量的等式两端认为就可随意做【微分运算】，而且还断定这样的微分是数量相等的。这一切都是完全错误的。

师先生说【②薛问天先生说“函数(1)的微分dx同函数(2)的微分dx，则完全不相同．”这就把函数(1)：y=f(x)的自变量微分dx与该函数的微分（即该函数因变量的微分）混淆了．】请问师先生，是谁在作混淆。我说的是〖不同函数(1)，(2)的变量x可以相同，但函数(1)的微分dx同函数(2)的微分dx，则完全不相同．两个函数的微分的符号是完全相同的，都用dx表示．但是它们表示的微分和数值并不相同．〗难道师先生认为函数(1)：y=f(x)的自变量微分dx与函数(2)：x=g(y)的因变量微分dx相同或相等吗？

师先生说【③薛问天先生说到的函数(1)：y=f(x)和函数(2)：x=g(y)，是两个互不相干的函数，不是我的论文Zmn-1027中的正反函数．因此，薛问天先生的这段论述不论正确与否，就与我的该文毫无关系了，】

错了，我已很清楚说了〖如果你真要把两个函数放在一起讨论它们的微分，那就要用不同的符号来表示它们的微分dx，例如(1)中函数f的自变量微分用dx1表示，(2)中函数g的因变量微分用dx2表示。这样就是dx1=Δx，dx2≠Δx。这里就不存在矛盾了。〗

也就是说，我已说清楚，既使两个不同函数使用的是同一个变量x，如正反函数那样。由微分定义所定义的微分dx也是不同的。要用不同苻号将其分开。

师先生说【④我已在我的论文Zmn-1027中，用【在等式两端作微分运算】得到dx1=dx2=dx．其中dx1/dx2=dx2/dx2=1，dx1=dx2里的变量x1是因变量，其中 dx2/dx1=dx1/dx1=1，dx2=dx1 里的变量x1是自变量．故不论x1是因变量还是自变量，都得到dx1=dx2=dx．......】

我已经指出，师先生提出什么【在等式两端作微分运算】根本就是逻辑混乱的。他举的例子是在相等的函数的等式两边求导函数，这样求出的导函数当然相等。但对等式x1=x2两边求导数又是什么意思呢？我们知道他举的例子

y=x^4+x^3+x^2+x+1，两边求导函数。

y′=dy/dx=4x^3+3x^2+2x+1．

也就是y是x的函数然后求导数。所求的就是这个函数的导数dy/dx。而且其中的dy.dx就是该函数的两个微分(因变量微分和自变量微分)。那么x1=x2是否是指x1是x2的函数而且是恒等函数呢？要知道恒等函数的导数等于1。所以就得出dx1/dx2=1，自然得出dx1=dx2。但是这里求出的导数是恒等函数的导数，所求的微分dx1,dx2也是恒等函数的微分。所证明的是恒等函数的两个微分相等，恒等函数的因变量微分dx1等于恒等函数的自变量微分dx2。这同师先生想证明的，y=f (x)和x=g (y)为正反函数时，函数(1)：y=f (x)的自变量微分dx1和函数(2)：x=′g (y)的因变量微分相等，则相距甚远，不是一回事。

师先生说【⑤薛问天先生说的“【在等式两端作微分运算，认为变量相同微分就相同】的认识和作法是完全错误的”这句话只是喊了一句口号，没有说明理由．】

其实我已经举了反例。跟据微分的定义，两个函数

(1)函数y=f(x)，求微分，dy=f′(x)dx，这里dx称为是函数f的自变量的微分，而且dx=Δx。

(2)函数x=g(y)，求微分，dx=g′(y)dy，这里dx称为是函数g的因变量的微分，而且dx=Δx-o(dy)，从而dx≠Δx。

既使是正反函数，把两个函数放在一起讨论。尽管两个函数用的是同一变量x。但微分dx却有两个，一个是【函数f的自变量微分】，一个是【函数g的因变量微分】。而且一个等于Δx，一个一般不等于Δx。这是两个不同的微分。

也就是说，我们举了反例，说明有【函数f的自变量x】可以同【函数g的因变量x】，这两个变量相同都是x，但是【函数f的自变量微分dx1】同【函数g的因变量的微分dx2】却是不同的。所以不能【在等式两端作微分运算，认为变量相同微分就相同】。

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