Zmn-1043 一阳生 : 关于一些问题的新认识，与薛老师继续讨论

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关于一些问题的新认识，与薛老师继续讨论

一阳生

公理集合论关于集合的两个问题，存在性问题和唯一性问题。

集合的存在性问题：公理集合论中的存在性公理解决了集合的存在性问题。空集合存在性公理、无序对公理、无穷公理直接应用了概括原则，即使用元素的性质(包含对元素范围的概括性表述)来定义集合。当然概括原则的直接使用仅限于这几条存在性公理。其他的如并集公理、替换公理、分离公理等须要在已知集合的条件下应用概括原则。也就是说公理集合论对概括原则限定了使用范围和使用条件，不是不用。概括原则依然起到定义集合的作用，定义完毕后元素的性质作为集合的内涵。

存在性公理定义出来的集合，理应是具体的集合，是具体的存在和对象。所以要求其外延之中必须是唯一的，是其本身。否则定义出来的就是外延不唯一的概念，而不是具体的集合。

集合的唯一性问题：外延公理告诉我们，若不满足全部元素彼此属于对方集合，则集合不同。是否满足全部元素彼此属于对方集合，要由双方集合的内涵决定。根据外延公理，若集合的内涵是关于元素的增减变化的，则该集合的外延将不再唯一，该集合将不再是具体集合，而是概念了。所以外延公理对概括原则中的性质使用做了限定，必须使用让元素固定不变的性质。

集合的这两个问题理解通透之后，可知命题【给定任一集合，其元素是固定不变的】是真的。当然前提要为真，即确保给出的是集合，不是概念。

这几日在做思考，现在比之前理解的更深入一些。但薛老师关于此命题也无任何的实质性证明，更像是作为信念而相信。

关于归纳集

薛老师说无穷公理保证了归纳集的存在。那么归纳集理应是外延单一的具体集合，而不是外延之中有一系列具体集合的概念。

归纳集到底是什么？下面是自己最近几日的思考。

在公理集合论中把自然数定义为特定的集合。查看定义【空集{}是自然数0】。那么该定义同时蕴含【非空集如{{{}}}是自然数0】或【非空集如{{{}}}不是自然数0】。所以满足该定义的所有对象为全体集合，归纳集实质为全体集合的集合体，为真类。以集称之已不合适，对其应用分离公理更加不应该。

关于全体自然数集

应称呼无穷公理保证了全体自然数集合的存在。但要把全体自然数定义为一个具体的集合对象，必须要以证明全体自然数已经生成完毕或已经全部存在为前提。如此，性质【是自然数】才是一个让元素固定不变的性质，才可应用概括原则定义全体自然数集合。

薛老师说【给定了全体自然数集合，全体自然数就是固定不变的】。这种说法从蕴含关系看，若前提为真，结论当然为真。但若是前提为假，即全体自然数不是固定不变的，导致不能成为集合。则结论就无法保证了。所以薛老师应了解到要先行证明无穷之全体存在，才是全体自然数集合得以存在的基础。当薛老师成功证明之后，全体自然数集合有了存在基础，然后说出全体自然数集合的元素是固定不变的，自然是前提恒真结论恒真。

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