Zmn-1044 薛问天 : 同一阳生先生讨论集合论基本问题。评《1043》。

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对一阳生先生的 《1043》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

同一阳生先生讨论集合论基本问题。

评《1043》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，这是讨论的逻辑基础。

我不知道你是否同意我的看法，我认为有些道理是我们讨论的逻辑基础，不需要再做定义和证明。

应当很明确，我们讨论的所涉及的原始概念和关系都应该是逻辑上确定和不变的内容。例如集合论中涉及的集合和元素，以及它们的属于关系，都是逻辑上确定和不变的。集合是由元素构成的。集合就包含了所有属于它的元素。哪些元素是属于此集合，哪些元素不属于此集合在逻辑上必须是确定不变的，属于关系是个逻辑确定的关系，是真是假在逻辑上不能含混和变化。因而我认为既然元素，集合以及它们的属于关系在逻辑上是确定不变的，那么也就是说集合的内涵和外延都是确定不变的。【每个集合都有它确定不变的内涵和外延】。这种确定不变性是原始概念关系的逻辑基础，是不需要定义和证明的内容。

正如一阳生所说【可知命题【给定任一集合，其元素是固定不变的】是真的。】

不过一阳生说【薛老师关于此命题也无任何的实质性证明，更像是作为信念而相信。】

你说它是【信念】也可。我认为这是讨论的逻辑基础，不需要再做定义和证明。

我同意一阳生先生的不少看法，对于那些原始概念以外的内容，如各种具体的集合，却是需要定义的，它的存在性和唯一性都是需要由公理进行断定和证明的。

例如什么是【空集】，就需要定义。

我们把满足性质【没有元素】的集合称为【空集】。

空集的存在性，需要由公理断定或进行证明。我们知道空集的存在性，可由空集公理断定。

我们知道，逻辑的存在量词和集合的存在性都指的是至少存在一个的意思，因而存在公理和我们证明的集合存在性，只是证明了至少存在一个满足此性质的集合，但並未保证存在的滿足此性质的集合只有一个。还可能有多个集合存在。我要提醒一阳生先生的是，这多个集合中的每个都是滿足此性质的外延确定的集合。存在性保证的是至少存在一个滿足此性质的集合。滿足此性质的集合可能不至一个。但都是外延唯一确定的集合。正如一阳先生所说【存在性公理定义出来的集合，理应是具体的集合，是具体的存在和对象。所以要求其外延之中必须是唯一的，是其本身。】而且不仅仅是【理应】，而且是【必须】。因此不能把集合的存在性理解为还有可能存在着外延不确定可增可减的非【具体的集合】。要知道任何集合的外延都是唯一确定的，但滿足一定性质的集合可能不至一个，不是唯一的。是否唯一是由性质决定的。因而存在性並不能保证唯一性，是否具有唯一性仍需要根据其性质做进一步的证明。

例如空集是唯一的，它的唯一性就需要证明。可以这样来证。假定存在两个空集A和B，由于空集没有元素，所以对任何元素x，如果x∈A则x∈B，如果x∈B则x∈A。由外延公理即可推出A=B。可見空集是唯一的。证毕。

二，关于归纳集。

什么是【归纳集】，一阳生先生说【归纳集理应是外延单一的具体集合，而不是外延之中有一系列具体集合的概念。】说得不确切。正确的理解应该是这样。归纳集可以如下定义。如果一个集合S满足如下性质(归纳性质)，称为归纳集合: 【①，空集∈S，而且②，如果x∈S，则x∪{x}∈S。】

空集和归纳集的存在性，需要由公理断定或进行证明。我们知道空集的存在性，可由空集公理断定，归纳集的存在性可由无穷公理断定。

要知道存在性只是说这种滿足一定性质的集合至少存在一个，并没有断定只有一个，这种集合可能不至一个。可能有多个外延互不相同的集合都满足此性质。是否唯一是由性质决定的。因而存在性並不能保证唯一性，是否具有唯一性仍需要根据其性质做进一步的证明。

对于归纳集，证明不了它的唯一性，所以说归纳集可以有多个。即满足归纳性质的集合是一类集合而不是只有一个归纳集。

下面我们来对一阳生先生后面的文字作一些评论。他说【在公理集合论中把自然数定义为特定的集合。查看定义【空集{}是自然数0】。那么该定义同时蕴含【非空集如{{{}}}是自然数0】或【非空集如{{{}}}不是自然数0】。所以满足该定义的所有对象为全体集合，归纳集实质为全体集合的集合体，为真类。以集称之已不合适，对其应用分离公理更加不应该。】

不客气地说，我对这段的评语是〖语无伦次，逻辑混乱！〗

前两句没有问题，第三句就有问题了，【那么该定义同时蕴含【非空集如{{{}}}是自然数0】或【非空集如{{{}}}不是自然数0】。】

既然定义了自然数0是{}，而{}≠{{{}}}，自然蕴含【非空集如{{{}}}不是自然数0】为什么说是蕴含它【是自然数0或不是自然数】呢？关键是一阳生先生说此话有何意义不清楚。

第四句就更成问题。【所以满足该定义的所有对象为全体集合，】定义说【空集{}是自然数0】，满足该定义的所有对象只能是空集{}，怎么能成为【全体集合】？

第五句就不知结论从何来，根据什么说【归纳集实质为全体集合的集合体，为真类。以集称之已不合适，对其应用分离公理更加不应该。】，所以说我的评语只能是〖语无伦次，逻辑混乱！〗

三，关于全体自然数集。

全体自然数集合，可由匹亚诺公理来定义，称满足5条匹亚诺公理的集合N为自然数集合。

在以空集为0，以xU{x}为x的后继的约定下，可以证明自然数集合N是最小的归纳集合。即可以证明对任何集合A，若A是归纳集合，则N⊆A。

自然数集合的存在性可以由无穷公理和分离公理来证明，证明的基本思路是，由无穷公理推出至少有一个归纳集的存在，再由N是此归纳系的子集，而且满足一定特性，从而由分离公理即可推出N的存在性。

而自然数集N的唯一性可由外延公理来证明。证明的基本思路是这样，假定有两个自然数集N1和N2。由于空集是唯一的，显然N1中的空集属于N2，而且可证如果N1中的元素x属于N2，则x的后继xU{x}也属于N2。根括匹亚诺公理的第五公理数学归纳法，即可推出N1中的所有元素都属于N2。同理可证N2中的所有元素都属于N1，根据外延公理，N1=N2，从而N的唯一性得证。

所以我说【给定了全体自然数集合，全体自然数就是固定不变的】，当然是有为真的前提的。这个前提就是证明了全体自然数集合的存在性和唯一性。

至于一阳生先生说【但要把全体自然数定义为一个具体的集合对象，必须要以证明全体自然数已经生成完毕或已经全部存在为前提。】用严格的数学语言来陈述，就是以证明全体自然数集合的存在性和唯一性为前提。证明了集合的存在，自然就证明了集合的元素【已经生成完毕】，不然怎么能存在呢。证明了唯一性，才能断定它确实是【一个具体的集合】。

一阳生先生说【薛老师应了解到要先行证明无穷之全体存在，才是全体自然数集合得以存在的基础。】确实如此。证明全体自然数集的存在，就是在先证明了无穷的归纳集存在之后，再用分离公理作出进一步的证明。

一阳生先生最后说【当薛老师成功证明之后，全体自然数集合有了存在基础，然后说出全体自然数集合的元素是固定不变的，自然是前提恒真结论恒真。】

我非常同意一阳生先生的结论。

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