Zmn-1062 薛问天 : 正确认识【隐函数】和【隐函数的求导方法】，评师教民先生的《1059》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1059》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识【隐函数】和【隐函数的求导方法】，

评师教民先生的《1059》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，正确认识【隐函数】的基本概念。

首先要认清[隐函数]并不是一个独立定义的新的数学概念。它只不过是一种定义函数的方式。一个函数y=f(x)，如果是由一个方程式F(x.y)=0，所给定，则称这个函数是【隐函数】。因而首先必须先把【函数】这个概念搞清楚，才能把【隐函数】的基本概念搞清楚。

关于函数，教科书上讲得很清楚，我就不解释了。原文如下(引自同济《高等数学》第5版)。

〖定义  设数集D⊂R， 则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x)，x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D。〗

菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》中关于函数概念的定义。

〖设给定两个变量x及y，其变动区域为X及Y。假定根据问题的条件，变量x可以不受任何限制地取区域X内的任意数值，那么如果依某一法则或规律，对X中的每一x值，总有一个确定的y值(在Y内)与它对应，则就称变量y是变量x(在它的变动区域X内)的函数。〗

关于【隐函数】，师先生只引用了菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》中的前一段【设有两个变量x和y，其值由一个方程式彼此联系起来，若这个方程的一切项都移至左边，它一般有这样的形式：

F(x，y)=0．   (1)

这里F(x，y)是给定在某区域上的一个二元函数．】

其实书上后面还说【若对于每一x值--在某一区间内--存在一个或几个y值，它们与x值同时满足方程(1)，则函数y=f(x)由此确定是单值的或多值的。于是方程F(x，f(x))=0，便成为关于x的恒等式】。同时后面还明确说【若函数y=f(x)是由未曾解出(关于y)的方程(1)所给定，它就称为稳函数。 若研究其中y对x的直接关系，它就成为显函数。】

菲赫金哥尔茨的书写得如此明白，说明师先生的理解说【方程式就是隐函数】是错误的，方程式是方程式，函数是函数，不能混为一谈。

另外说1)【变量x和y也不分自变量和因变量】，2)【对于单值隐函数，两个变量x，y的取值就是一一对应，】完全是由于对函数理解的错误而引起的错误。

师的批评①显然错了，关于【隐函数】的定义，说得很清楚。当然是把方程(1)给定的函数y=f (x)称为是隐函数，不能把方程(1)称为是隐函数。

师的批评②显然也是错的。由方程(1)给定的既有以x为自变量，y为因变量的隐函数y=f(x)，也有以y为自变量，x为因变量的函数x=g(y)，它当然也是隐函数。所以由方程(1)给定的隐函数有两种，一种是以x为自变量，y为因变量的隐函数，另一种是以y为自变量，x为因变量的隐函数。

其实师先生也承认函数y=f(x)和函数x=g(y)是隐函数。只不过他说【y=f (x)和x=g(y)只是隐函数的两个特例】。还说什么【把特例显函数y=f (x)以及x=g (y)当成隐函数的总体定义就错了．】

什么特例，这就是由隐函数的定义所说的，隐函数是由方程(1)给定的函数。两种不同函数都是由方程(1)所给定的。所以隐函数有两种。

另外师先生把函数y=f(x)以及x=g (y)说成是【叫做显函数】。这显然是认识上的严重错误，y=f(x)以及x=g(y)只是函数的记号，只是函数定义中所说的【通常简记为】，不是显函数要求的【研究其中y对x的直接关系】，所谓的有明确的【表达式】。这是师先生认识的严重错误。

师先生的批评③的错误在于师先生说【从上述世界名著的隐函数定义知：隐函数是含有二个变量的一个函数且这二个变量也不分自变量和因变量．】前面己说明白了，这是师先生对函数概念理解的错误，从任何教材中函数的定义都可知，任何函数都有两个变量，一个是自变量一个是因变量。没有【不分自变量和因变量】的函数。

师先生批评④的错误在于，函数y=x^2(x＞0)就是以x为自变量以y为因变量的函数，不是【变量x，y都可以做自变量和因变量，都可以先变化和后变化，】的函数。

关于师先生的批评⑤的错误。我多次指出师先生对函数认识的错误，就是把函数定义中的【映射】错误地认为是【一一对应】。当然，这是指函数的定义，不是指特例，因为【一一对应】是【映射】的特例，满足单射和满射两个条件的【映射】才是双射，正反函数都是双射。师先生的批评⑤的错误就是拿存在有是双射的函数，例如函数y=x^2(x＞0)它的函数映射是双射，来为他错误地把函数定义为【一一对应】作辩护。要知道这是映的特例，并不是所有的映射都是双射，都是一一对应。例如函数 y=x^2(x∈R)的映射就不是一一对应，不是双射，但它还是函数。你怎么解释？

师先生的批评⑥的错误在于他把【方程当然不是函数，你把方程说成是函数当然是错的】看成是【空洞的口号】，这当然不是空洞的口号。菲书中的定义很清楚，〖若函数y=f(x)是由未曾解出(关于y)的方程(1)所给定，它就称为稳函数。〗是明确把由方程(1)给定的函数y=f(x)称为是隐函数，怎么能把给定函数的方程(1)称为隐函数呢？反过来说，正说明你认为【方程本身就是隐函数】才是毫无根据的乱说。

师先生在批评⑦中说【你的隐函数定义【一个函数y=f(x)称为是方程A(x，y)=0的隐函数】中的函数y=f (x) 是否【显函数】？若否，那么你薛问天先生根本就不知道何为显函数；】他把函数y=f(x)的【通常简记】符号，看作是显函数的【表达式】。我前面说了，这是严重的错误。

关于⑧，师先生要求【写出被称为是方程 A(x，y)=y+xe^y-sin x=0 的隐函数 y=f (x) 吧．】

很简单，y=f(x)就是〖通常简记〗函数的记号。直接写y=f(x)就可代表这个隐函数。

因而根据隐函数的定义，就这样说就可以了。〖若函数y=f(x)是由未曾解出(关于y)的方程 A(x，y)=y+xe^y-sin x=0 所给定，它就是所指的稳函数。〗

为了解释清楚，还可以对【函数由方程所给定】补充如下的语句，

〖在方程A(x,y)=0中，若对于每一x值--在某一区间内--存在一个或几个y值，它们与x值同时满足方程，则函数y=f(x)由此确定是单值的或多值的函数。于是方程A(x.f(x))=0，便成为关于x的恒等式〗。

二，关于隐函数的求导数和求微分的方法 。

我上次曾这样写过〖由于隐函数就是满足方程的函数．所以可以完全根据复合函数的求导方法来进行隐函数的求导．

方程A(x，y)=0，也可写成A(x，y)=B(x，y)．如果你想求其隐数数y=f(x) 的导数dy1/dx1．完全可以把方程A(x，y)=B(x，y)，看成是这样的两个复合函数的形式，左右两端都是以y为中间变量，以x为自变量的复合函数．然后用复合函数的方法来求左右两端的两个复合函数的导数．〗

3.1)，师先生问【复合函数一无因变量、二无A=g [f (x)]的标准形式，你算什么复合函数?′】

师先生太无知了，二元函数A(x，y)和B(x，y)在y作为中间变量时，A和B同y=f(x)，这么明显的复合函数A(x，f(x))同B(x，f(x))，因变量就是二元函数A和B的因变量。师先生竟然看不出是复合函数，太不应该了。这是二元函数和一元函数构成的复合函数。

3.2)，我曾根据隐函数的求导方法，针对方程y^2+y=x^2+1,求出它给定的隐函数y=f(x)的导数dy1/dx1=2x/(2y+1)。同时也求出它给定的隐函数 x=g (y)的导数dx2/dy2=(2y+1)/2x。最后得出dy1/dx1=1/(dx2/dy2)，即dy1/dx1=dy2/dx2。

师先生说【薛问天先生的上述计算，是按照隐函数的两个特例即显函数y=f (x)和x=g (y)进行的，故当隐函数没有显函数时薛问天先生就无法计算了．】

错。这里的函数y=f(x)和x=g(y)都是该方程给定的隐函数，並未解出方程求出显函数的表达式，就完全计算出它的导数来了，怎么说【无法计算】呢？

另外，师先生说【薛问天先生只算出了dy1/dx1=dy2/dx2．并未证明dx1=dx2和dy1=dy2错误，因此，薛问天先生说【推出了dx1=dx2和dy1=dy2则是完全错误的】就只是空喊口号而无 根据了.】

这当然不是空喊口号，我是告诉你，用隐函数求导的方法证明的只是微分比值相等dy1/dx1=dy2/dx2，並未证明微分相等。而你把证明的比值相等误以为是微分相等，得出dx1=dx2和dy1=dy2当然是错误的。

3.3)师先生认为我说的〖在一般情况下，绝推不出dx1=dx2和dy1=dy2．说推出了dx1=dx2和dy1=dy2则是完全错误的．〗〖师先生得出的结论【dx=dx1=dx2】就是错误的〗【这只是空喊了两句口号，没有说明理由．】

这怎么是空喊号呢，这就是对你的批评。在〖推不出〗的情况下，你强行得出了〖结论〗，这就是对你批评的理由。你在没有根据的情况下，把dx这个函数的自变量微分，看作是另一函数的因变量微分，得出了错误结论，这就是你犯错的理由。、

4.1)关于函数y =x^sinx，能是一一对应吗？不是的，它不是一一对应。这很简单，因为sin(0)=sin(π)=sin(2π)=......=0，

所以当x=0,π.2π....,kπ,...时都有y=1。这不是一一对应。无可争辩。

4.2)，不愿在这些名词上同你争执，因为我说微分不是【因变量微分】【自变量微分】，而是函数的【因变量微分】【自变量微分】。是为了说明所有的自变量和因变量都是函数的自变量和因变量，而且这些微分都同它的具体函数内容有关。离开函数谈【因变量微分】【自变量微分】，在多个函数时常常会出错。只要你承认不同函数的【因变量微分】【自变量微分】可能不同，微分同其函数有关就行了。 不必在这些名词上同你们争执，但我仍然坚持认为微分是函数的【因变量微分】【自变量微分】。

4.3)，关于方程y-x^2=0(x＞0)给定的隐函数求导。我指出师先生说【根据极限理论的导数的定义知：dy/dx中的微分dx是自变量x的微分，dx/dy中的微分dx是因变量x的微分】说的不对。而师先生说【这是因为我是据函数x=g (y) 的导数为微分商的定义得出的．当然，薛问天先生据我的推导过程说dx是函数y=f (x)的自变量的微分也不错，】然后师先生就得出结论说【这就说明dx既是函数x=g (y)的因变量的微分又是函数y=f (x)的自变量的微分．】

这就犯了在多个函数的情况下，把不同微分看作是同一微分的错误。这两个dx是不同的微分，不能看作是同一个微分。请师先生仔细阅读我在《1050》一中指出的师先生的〖主要错误〗。

4.4)，师先生对数学分析理论指责说【至少存在着名称和内容不相符合的矛盾！】这是毫无意义的。数学概念的名称只是个名称而已。它的确切含义要根据定义来严格确定。函数的【微分】定义为函数自变量增量的函数(dy=Adx，dx=Δx)，当然Δx可以很小也可以很大，所以微分也可以很小也可以很大。这就是微分这个数学概念的确切含义。师先生把【微分】这个数学概念的名称做字面上的任意理解，解释为【微分微分，分得细微之量也】当然是不合适的。要知道对数学概念的名称做这种任意的解释和指责是毫无意义的。学数学要关注它的定义，不要关注这些名称字面含义，这是学习数学的重要方法和诀窍。

5.1)，2)，关于函数的定义，用【一一对应】定义一元单值函数y=f(x)，当然是错的。我已引自同济《高等数学》第5版，以及菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》中有关函数定义的原文。这些都说明师教民先生的认识是错误的。

5.3)，师先生说【我请薛问天先生通过解隐函数方程y+xe^y=sin x得出他的正反函数y=f(x)和x=g(y)时，薛问天先生因为得不出他的上述的正反函数而未敢回复我，实际上也没有回复我．】

这本身就是无理要求。方程F(x.y)=0给出的隐函数y=f(x)和x=g(y)肯定是满足此方程的，是方程的解。必须F(x.f(x))=0，F(g(y).y)=0。但并不要求函数y=f(x)和x=g(y)都要解成显函数。师先生给出一个方程，要求我给出隐函数y=f(x)和x=g(y)的显函数表示，显然是错误的无理要求。你忘了菲书中写得很清楚〖若函数y=f(x)是由未曾解出(关于y)的方程(1)所给定，它就称为稳函数〗。

5.4)，师先生说【薛问天先生始终未敢、实际上也没有把「我说的〖他的【微分不是变量数的微分】和【微分是因变量的微分、微分是自变量的微分】互相打脸的事〗」说清楚．】

我说得很清楚，〖微分不是变量的微分〗，〖微分是函数的两个微分，是函数的因变量微分、函数的自变量微分〗 。这一点矛盾都没有，而且这样说的原因很简单。在多个函数共用一个变量时，不这样强调就要出问题。例如函数y=f(x)和函数x=g(y)，分别求微分时有dy=Adx...(1)，和dx=Bdy...(2)。(1)中的dx和(2)中的dx就是不同的微分。如果糊里糊塗说【微分是变量的微分】，就把两个不同的dx，错误地认为是同一个微分了，以为都是变量x的微分。但如果认识清楚〖微分是函数的微分〗，就可明确地认识到，(1)中的dx是函数y=f(x)的自变量微分，(2)中的dx是函数x=g(y)的因变量微分，它们是不同的微分。

这个道理我都讲了多少次，不知为何师先生还要在此纠缠。

5.5)，师先生说【薛问天先生始终未敢、实际上也没有把「我说的〖他的【微分定义dx=Δx和dx ≠Δx】的矛盾是因为他把隐函数的变量x既假设成所谓的自变量、又假设成所谓的因变量才形成的〗」说清楚．】

太清楚不过了。这就是我刚刚说过的师先生的认识错误，错误地以为微分是变量的微分，错误地以为dx都是变量x的微分，所以是同一个微分。从而【dx=Δx和dx≠Δx】产生了矛盾。要知道这两个dx是两个不同隐函数的不同微分。明确地认识到，一个dx是函数y=f(x)的自变量微分，一个dx是函数x=g(y)的因变量微分，它们是不同的微分。不同的微分一个dx=Δx，一个dx≠Δx，你说它有什么矛盾。这个矛盾完全是师先生的错误认识造成的。纠正了这个错误认识，所有的矛盾完全解除。

其实说来说去，关于问题(3)，师先生的主要错误我在《 1050》中做了全面的分析。希望师先生对《1050》中的一，二和三详细阅读，认真回答，哪些同意，哪些不同意。所有的问题都可解决。

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