Zmn-1066 薛问天 :关键是要承认无穷集合有可能同其真集一一对应的特性，评李鸿仪《1065》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对李鸿仪先生的 《1065》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关键是要承认无穷集合有可能同其真子集

一一对应的特性，评李鸿仪《1065》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

李先生说【 有无限个球，我们可以对其中的任何一个球用自然数进行编号，但是我们永远不可能对全部球用自然数进行编号。】

事实是，我们用X表示这无限个球组成的集合，显然只能对X的元素进行编号，而不是对X进行编号。也就是说【全部球】指的只是这个球集合中的每个元素，而不能指对由全部的球组成的集合进行编号，所以这时的【任何一个球】指的就是【全部的球】。它们的含义是沒有区别的。

如果把【 可以对其中的任何一个球用自然数进行编号】，解释成只可以对【部分的球】进行编号就是错误的。

李先生说【这是因为自然数中并没有无限数，所以，已经被自然数编号的球，永远只有有限个，而不是无限个，怎么可能对所有的球进行编号呢？】

这话说明李先生对自然数集合的理解显然是错误的。自然数中没有无限数，但是所有的有限自然数放在一起就构成一个无限集合。所以可以用所有的自然数编号的球的集合不会【永远只有有限个】，而必然是无限集合。也就是说同自然数集合一一对应的集合不可能是有限集合。

李先生提供的另一个理由是【 如果一定要用无限多个自然数来为无限多个球编号，那么这个编号过程就是不能完成和结束的。 如前所述，一旦结束，只能结束于某一个具体的自然数，这样被编过号的自然数就是有限的，而不是无限的。既然无法结束，当然就不可能对所有的球进行编号了。】

李先生这句话的错误在于他不了解有穷过程和无穷过程的区别。有穷过程完成时肯定有最后一步，对最后一个球进行编号。但无穷过程的完成并不一定有最后一步。认为 【只能结束于某一个具体的自然数】是错误的。所以得出结论说【 无法结束，当然就不可能对所有的球进行编号了。】就错了。

李先生从概念上没有弄清有限小数同无限小数的区别。他说【 说的有限小数，就必须说出它具体是几位有限小数，一百位?一万位?一万亿亿位?说不出上界即最大自然数，就是一个无限小数。】不对，我们说n位有限小数，这个n没有上界，可以任意大。但它始终是有限小数，不是无限小数。无限小数有无穷多位，其中并没有什么【最大自然数的位】，是它的位数无限多。它不同于任何n位有限小数。无限小数是一个确定的数，把无限小数看作是由很多个位数没有上界的有限小数组成的无穷序列是错误的。

李先生的重要错误就是没有认清无限(无穷)同有限(有穷)的区别。错误地以为在有限集合中成立的规律，对无限集合一定适用。这是完全错误的覌念。例如集合的【元素数目】，对有限集合就用自然数表示。但对无限集合，【元素数目】就不那么简单。对有限集合，集合同它的真子集肯定是【元素数目】绝不会相等的。但如果用一一对应来定义集合的【元素数目】相等，则对无限集合来说，集合同它的真子集却有可能是【元素数目】完全相等的。这是因为在数学上已严格证明，无限集合有可能同它的真子集一一对应。当然我们不能要求幼稚的小学生也懂这些。但李先生却把他自己的水平等同于小学生，说【 由于自然数只是有理数的一小部分，所以有理数当然要比自然数多得多。】

自然数是有理数的真子集，但它们是无限集，为什么就不能【元素数目】相等，而必须遵守有限集的规律，集合比它的真子集【元素数目】多得多呢？

李先生说【 全体大于部分也是一个数学公理】，不对，这不是什么【数学公理】。数学要求每个数学概念都有严格的确切的数学定义。这里的【全体】【部分】和【大于】要看它指的什么，不可随意。如果 【全体】指的是有限集合，【部分】指的是有限集合的真子集。【大于】指的是有限集合个数的多少，那么这没有问题，是正确的。但是如果指的是无限集合，【大于】指的是集合基数的大于，就不对了。因为无穷集合可能同它的真子集一一对应，基数相等。因而对【全体大于部分】的所指必须给出正确的所指，具体问题具体分析，不应随意解释。

李先生在逻辑上否定不了康托对有理数同自然数的一一对应的证明。同时他也表示承认一一对应是无穷集合【元数数目】相等的标志。所以他不得不承认，而且公开说【康托确实证明了有理数和自然数的元素数目是一样多的。】

但是李先生把矛盾归结为自然数集合不是唯一的。他说【在康托的证明中，其实存在两个自然数集合：一个是有理数集合Q中包含的自然数真子集N，另一个是与Q一一对应的自然数集合，为防止混淆，以下以N2表示第二个自然数集合。】

这当然是错误的，因为在康托的有理数可数的证明中，所用的与Q一一对应的自然数集合N2就是作为Q中包含的自然数真子集N，是同一个集合。

李先生提不出任何认为N不是N2的理由来。他首先说【N2中只有极少一部分自然数就能与N中的所有自然数一一对应，充分证明了N2是比N大得多的自然数集合。即两者并不是同一个自然数集合。】

以此作为理由显然不对，这只是说明同Q一一对应的N2的一个真子集能同Q的真子集N一一对应，李先生由此得出结论说【充分证明了N2是比N大得多的自然数集合】，显然是错误的。因为N2是无穷集完全有可能同它的真子集一一对应，【元素数目】相等。为什么说是比N【大得多】呢？

李先生又说【 另一方面，由于N2可以与Q一一对应，根据一一对应的定义，N2的元素数目与Q必定是精确一致的，当然也就比Q的真子集N多得多，】

犯了同样的错误，因为Q是无穷集，它完全有可能同它的真子集一一对应，【元素数目】相等，得不出【 当然也就比Q的真子集N多得多，】的错误结论。

也就是说 你没有证明【N2和N的元素数目都不一样】，所以你得不出【这两个集合不可能是同一个集合】的错误结论。

也就是说李先生在错误的理由下，所得出的结论，【 认为N2和N不是同一个集合】这在学术研究上，没有【有半点严谨可言】是完全错误的！

李先生这次在文中公开说【康托在他的原著中把基数定义为抽取元素性质和先后秩序后留下的东西，并把能够一一对应看作是基数相等，这一点问题都没有。......而且把能够一一对应看作是基数 相等，也完全符合一一对应的定义：所谓基数相等，也就是元素数目相等。】

李先生第一次在文中认可康托【把能够一一对应看作是基数相等】，【 所谓基数相等，也就是元素数目相等。】【 基数就是元素数目，一一对应，既是基数相等，也是元素数目相等这些基本原则，】

有了这样的认可，不能不说是李先生的一个重大进步。可惜的是李先生既承认N2同N的一一对应，又不承认N2同N的元数目相等，总是处在一个矛盾当中。

我们再看李先生的另一个例子。李先生说【 虽然可用函数y=x-1在N1={0}UN和 N 之间建立所谓“一一对应”关系】，【但以上的“一一对应”并不是真正的一一对应。这是因为，以上的所谓双射函数实际上只证明了对于任一个属于N（或N1）的元素，都可以在N1（或N）中找到其映射元素而已，并没有证明所有属于N（或N1）的元素，都可以在N1（或N）中找到其映射元素。】

李先生的这个说法当然不对。任何一个属于N的元素x，x-1都属于N1，指的就是所有属于N的元素x，x-1属于N1，反之亦然。这里的【任何】同【所有】是一个意思。把【任何】看作是部分成立，部分不成立，不是全部成立，是完全错误的。李先生你能指出哪个x属于N而x-1不属于N1的反例吗？

逻辑的量词有两种，彐xP(x)和 ∀xP(x)。而且  ∀xP(x)→彐xP(x)成立，但反之 彐xP(x)→ ∀xP(x)並不成立。这个规律不对谓词作任何限制，只是对不同性质的谓词，有不同的结果而已。

我们讨论任何谓词P(x)和对任何集合X，只有三种情况。

①如果此谓词P(x)对集合所有的元素x都为假，则

彐xP(x)和 ∀xP(x)全为假。

② 如果此谓词P(x)对集合部分元素x为真，部分元素x都为假，则

彐xP(x)为真和 ∀xP(x)为假。

③ 如果此谓词P(x)对集合所有的元素x都为真，则

彐xP(x)和 ∀xP(x)全为真。

显然这里所说的 彐xP(x)→ ∀xP(x)并不成立，己对【 只对部分元素成立的性质不能随意推广到全部元素】说得相当清楚。实际上李先生把任何x的全称量词，理解为【只对部分元素成立】是完全错误的。【只对部分元素成立】的量词不是全称量词而是存在量词 彐xP(x)。

用数学归纳法只能证明(其实不用数学归纳法即可证明)，N是N1的真子集，但证明不了【N1比N元素数目多了一个】。

李先生 用数学归纳法证明【N1与N是不可能一一对应】是错误的。 用数学归纳法只能证明，对所有的自然数n，有限集{1,2,...n}同有限集{0,1,2,...n}不一一对应，并未证明N同N1不一一对应。这说明李先生对数学归纳法的认识有错误。

李先生说【 將无限集合定义为可以与其真子集一一对应的集合，则更是数学史上侮辱人类智商的另一个奇耻大辱:萝卜数和坑数都不一样，怎么可能一一对应？】关键还是李先生没有认清 无穷集合有可能同其真子集一一对应的特性，

李先生的另一个严重错误的根源。是他对无穷的一些偏見。我分析主要表现在如下四点。

(1)李先生把【无穷(无限)】同【不可以完成】等同起来，错误地认为无穷是不可以完成的。认为可以完成就是有穷。从而认为无穷集合的生成过程不可能完成。自然数集合只能包含部分自然数，不可能包含全部自然数。李先生的这个错误就是由于认为无穷是【不可以完成】而来的。 李先生质疑【 康托建立的所谓无限可完成的实无限观】。

(2)李先生没认清无穷过程完成的特性，认为无穷过程的完成就是无穷过程的半途终止。如李先生说【 加1的过程一旦可以完成，就只能完成于一个有限的自然数，所形成的集合也只能是一个有限集合，  这样的过程还是无限过程吗？】这是不对的。有穷过程的完成都有最后一步，但无穷过程的完成不一定有最后一步和其执行的终止时刻。 无穷过程的完成并不是无穷过程的半途终止，而是整个的无穷过程的完成。由单个元素的集合{1}不断加1，可以生成很多个数目不断增加的递增的有限集合。这个过程进行无穷次，这个无穷过程的完成可以生成无穷多个有限集合。而不是半途中止，只生成有限个有限集合。无穷过程完成后，所有这些有限集合的并集，才是全体自然数构成的无穷集合。

(3)李先生分不清这递增的有限集合的无穷序列同无限集合的区别，误认为无限集合就是这递增的有限集合的无穷序列。这是不对的。在这个无穷序列中全是有限集合，尽管它的元素数目没有上界，可以任意大，但它始终都是有限集合而不是无限集合。无限集合是这些无穷个有限集合的并集。认为无限集合就是这个序列，或者认为无限集合是这个序列的最后一项，这都是错误的。

(4)李先生基于他的错误观念，认为无穷不可完成， 递增的有限集合的无穷序列不能最终形成，从而错误地认为全体自然数构成的无穷集合是不存在的。认为不存在外延确定的无穷集合。当然这一切推论都是错误的。承认无穷可以完成，承认这递增的有限集合的无穷序列可以最后形成，那么由这个序列中所有无穷个有限集合的并集所形成的无穷集合，就是确定的存在的集合。 全体自然数构成的无穷集合不仅是存在的，而且是唯一确定的。

也就是说李先生要改正他的错误，必须改变他对无穷的这些错误的观念。认识到无穷并不等于不可以完成。没有最后一步的无穷过程是可以完成的。无穷个递增的有限集合的无穷序列可以最后形成，从而由序列中所有有限集合的并集，即外延确定的无穷集合是存在的。

李先生反对康托的【实无限观】，所说的理由是他认为【康托之所以规定无限是可以完成的，仅仅是为了方便】，这种看法是错误的，康托的【实无限观】正是对客观事实的抽象。【无限能不能完成，只要看事实就可以了。】我曾经多次举了一个球从0点匀速运动到1点，中间要经过0.9,0.99,0.999,......这无限个点的例子。这难道不是事实吗。经过无穷个点的过程你能说它【不可以完成】吗？如果不完成它怎么能到达1这个点！这个无穷过程的完成并不是这无穷个点的半途中止，而是经过了这无穷个点的所有的点。而且这无穷个点都是客观存在的点，你不能说这无穷个点的集合【不存在】。

根据客观事实，正确地树立了康托的实无穷观，承认无穷是可以完成，当然就承认能形成一个已经包含了全体自然数的集合，也就是说承认存在有包含全体自然数的自然数集合，以及它存在的唯一性和外延的确定性。

另外李先生还在推理中表理出推论的无理。例如他说【一个已经包含了全体自然数的集合的存在直接与自然数集合元素数目的无限性发生矛盾：假定存在着一个集合，已经包含了全体自然数，那就意味着不再有其他自然数了，当然就意味着自然数的数目不是无限的了。】这种把无限集合理解为是集合的外延不受任何限制的集合显然是错误的。任何集合包含的元素都要受到限制，只允许包含它自己的元素，不能包含不属于它的元素。无限集合只是非有限集合，即不能同自然数表示的集合一一对应的集合。而不能是包括任何元素的集合。认为全体自然数集合不再包含其它非自然数作为元素，就不是无限集合，显然是一种无理的推理，是错误的。

当然存在包含了全体自然数的集合，而且这种自然数集合就是唯一的，N和N2是同一集合，认为它们不同有区别是错误的，当然是【无法解释】的。

李先生说【由于自然数的数目是无穷无尽的，所以任何一个包含自然数的集合实际上都只能包含部分自然数而不可能包含全体自然数，】显然毫无道理。全体自然数集合就是包含全体自然数集合的无穷集合。

当然同时也存在着各种只包含部分自然数的无限集合，如偶数集，奇数集等，只要是无限集当然【 包含更多的自然数，且其所包含的自然数没有上界即没有最大自然数。】但是对所有这些 只包含部分自然数的无限集合，都必须说清它包含的是哪些部分自然数和不包含哪些自然数，不说清楚它们就不是确定的集合。当然这样的集合所包含的自然数可以有所不同，但可以证明它们都是一一对应的。但要注意N和N2都是全体自然数集合，不是这种部分自然数集合。说【 N2永远比N大得多】是错误的，它们是同一个由全体自然数构成的集合。

另外李先生说【如果一个矩阵的行数表示小数的个数，列数表数小数的位数，则这个矩阵的行号和列号都是自然数集合。】这是错误的。全体小数不可能排成这样的以自然数为行列标号无限矩阵。要知道在对角线证明中的这个排列，是在反证法的【实数可数】的假定下排列的。而这个反证法的假定已被证明推翻了，所以这个排列的矩阵并不能成立。李先生将其列出进行推论是错误的。

数学和集合论当然是以客观事实，社会实践和人类思维为抽象对象的科学理论。符合感性到理性的认识规律。特别对无穷的概念，一定要克服一些偏見，认识到无穷同有穷的不同，认识到无穷的各种不同特性。正确地认识无穷，己成为我们认识水平提高的一个重要标志。

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