Zmn-1068 薛问天 : 不要再坚持对函数和隐函数的错误认识。评师教民先生的《1067》

【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1067》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不要再坚持对函数和隐函数的错误认识。

评师教民先生的《1067》。

薛问天 

xuewentian2006@sina.

关于我们讨论的问题(3)，师先生的主要错误我在《 1050》中做了全面的分析。但师先生对此并未做出认真的回复。希望师先生对《1050》中的一，二和三详细阅读，认真回答，哪些同意，哪些不同意。所有的问题都可解决。

我在《Zmn-1061 》中又明确指出 : 解决【问题(3)】就是要纠正dx1=dx2的错误。在《1062》中指出: 正确认识【隐函数】和【隐函数的求导方法】，

沒想到，师教民先生不仅对这些主要讨论的问题给不出具体的回复。还在重复地坚持他对【函数】和【隐函数】的错误认识。这些问题实际上前面早己做过评论。只好在此再做些重复的评论。

师先生说【 隐函数的特点为： ①只要两个变量x和y由一个方程式彼此联系起来，那么这个方程式就是隐函数，】

显然不对。师先生也引述了，《高等数学》上明明写的是【 方程 x+y^3-1=0表示一个函数，…．这样的函数称为隐函数．】是把方程表示的函数称为隐函数，怎么说【 这个方程式就是隐函数】。同样，菲书说的也是【 一个函数y=f (x)如果由未对y解出的方程(1)所给出，则称为隐函数.】是把函数 y=f (x)称为隐函数，并没有把给出它的方程称为隐函数。所以说，认为方程式就是隐函数是完全错误的。

师先生说【而且变量x和y地位相同、权利均等，谁也不比谁更突出、更特殊、更优越．所以就未分自变量和因变量．所谓自变量和因变量，都是擅自地、主观地、人为地假设的，并且既可以假设x为自变量或因变量，又可以假设y为自变量或因变量．】而且在②中还说【 对于隐函数， 两个变量x，y的取值就是一一对应 】。

显然这也是明显的错误。著书中明确说【一般地，如果在方程F(x，y)=0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值y存在，那么就说方程F(x，y)=0在该区间内确定了一个隐函数】这个给定的隐函数y=f(x)的自变量是x，因变量y是明确给定了的。当然， 如果在方程F(x，y)=0中，当y取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值x存在，所给定的隐函数x=g(y)的自变量是y，因变量是x，也是给定了的。而且很明确，这种隐函数的关系规定的是映射，而没有要求是双射，是一一对应。在如此明确的定义下还要错误地说【未分自变量和因变量．所谓自变量和因变量，都是擅自地、主观地、人为地假设的，】以及【 两个变量x，y的取值就是一一对应】。不知师先生是怎么思考的。

难道师先生真的看不懂【 当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值y存在，】说的是x是自变量，y是因变量的函数，以及它们的关系是映射关系吗？为什么对书中的这么明确的定义，視而不見呢？这么明显的错误还要我来指出吗？

另外，师先生说的什么【 实例 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1中的变量x和y也是一一对应关系，】是不对的。如果不对变量x和y的取值范围加限制，这怎么能是一一对应关系呢?它连单值函数都不是。我们在微积分中函数一般都要求是单值函数，隐函数也要求是单值函数，而不考虑多值函数。所以往往是对方程中变量x和y的取值范围加以限制，考虑给定的单值函数。例如在上述椭园方程中，限制y≤0或y≥0，即可给定两个以x为自变量，y为因变量的隐函数。当限制x≤0或x≥0，即可给定两个以y为自变量。以x为因变量的隐函数。而且知这些函数关系都是咉射，而不是双射(一一对应)。只有在同时限制( y≤0或y≥0)和( x≤0或x≥0)时，才在四个象限给出四个以x为自变量以y为因变量的隐函数，和四个以y为自变量以x为因变量的隐函数。这八个隐函数才都是双射(一一对应)。

另外还要请师先生注意，师先生说的【函数y=f (x)是把隐函数假设x是自变量，y是因变量时的显函数；薛问天先生说的函数x=g (y)是把隐函数假设y是自变量x是因变量时的显函数．函数y=f (x)和x=g (y)都是同一个能化为显函数的隐函数，】是不对的。 我们所写的y=f(x)和x=g(y)这只是表示函数的符号，就是指方程所给定的不同的隐函数，不是己经化为显函数要求的表示式。

我要请师先生关注的是隐函数只是说的函数的一种给定方式，它仍然是函数，並没有也不是定义了一个新的数学对象。而且对显示式也只是概括地说是【显的解析表示式】并未给出严格的数学定义。请仔细读读书中的这段话【读者当能明了，这些术语仅叙述函数y=f(x)的表示方式，而並未涉及它的性质。】而且后面又明确地说【严格地说，函数的隐示式和显示式的对立性仅当显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确；不然，若把按任何规则[45]所给定的函数都看作显函数，则借助于方程(1)以确定y是x的函数并不劣于其它任何方法。】

因此我认为不必在显函数和隐函数的区别上去严格讨论，它只是对函数的表示方式上的一种描述，不涉及函数的本质属性。

下面我们再来分析一下师教民先生在 理解两名著的隐函数定义时犯的错误．

①师先生说【两名著的隐函数定义说：联系变量x和y的方程式本身就是隐函数】。错！名著并没有说【 方程式本身就是隐函数】，说得非常明确，是方程式所〖给定〗的、〖表示〗的〖函数〗是隐函数，不是方程式【本身】是隐函数。因而我批评得完全正确〖 方程当然不是函数，你把方程说成是函数当然是错的〗。

②关于函数y =x^sinx(x>0)，师先生认为它是一一对应显然是错误的。它同一y值可以对应多个x值。当然不是一一对应， 因而作为隐函数只能是x作自变量，y作因变量的函数，不能反其道而行之．是 y作自变量，x作因变量的函数。这当然符合世名著关于隐函数的定义。为什么说〖 不能反其道而行之〗，那是因为，如果不对变量x>0|作进一步的限制，当y取任一值时，并没有满足这方程的唯一的值x存在。我上次已明显指出对某些y的取值，就有多个x值与其对应，形成不了以y为自变量以x为因变量的单值函数作为隐函数。在定义中隐函数都是单值函数，并不把多值函数定义为隐函数。

另外，方程y =x^sinx(x>0)同方程lny=sinx lnx(x>0)是等价的。如果不对x和y的取值范围作进一步的限制，同样不存在以 y为自变量以x为因变量的隐函数。

至于方程y+xe^y=sinx，师先生说【 如果按照薛问天先生表达的上述逻辑，那么不能化为显函数的隐函数y+xe^y=sinx中的变量x，y就都不能做自变量和因变量了，所以隐函数y+xe^y=sinx就不是函数了，】这完全是在胡乱推理，方程给出隐函数，这同方程是否能解出显函数沒有关系， 而是在对变量x和y的取值范围作某种限制下，如果当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值y存在，那么就说方程在该区间内确定了一个以x为自变量以y为因变量间隐函数。而且 如果当y取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值x存在，那么就说方程在该区间内确定了一个以y为自变量以x为因变量间隐函数。

③师先生错误地认为y=f (x)或x=g (y)是显函数的表示形式，从而说【因为不能化为显函数的隐函数，不可能表示成显函数的形式y=f (x)或x=g (y)，薛问天先生认为显函数y=f (x)和x=g(y)能表示不能化为显函数的隐函数，】这种批评是完全错误的认识。y=f (x)或x=g (y)是一般函数的符号表示，根本同显函数的表示无关。显函数要求较高，必须是解析表达式，用f，g等这些简记的符号不能认为是显函数的表示形式。因而 y=f (x)或x=g (y)可以表示任何类型的函数。当然，隐函数以及不能能化为显函数的隐函数，只要是函数，都可以用 y=f (x)或x=g (y)来表示。

关于我们的讨论，我想再次重申。 关于问题(3)，师先生的主要错误我在《 1050》中做了全面的分析。但师先生对此并未做出认真的回复。希望师先生对《1050》中的一，二和三详细阅读，认真回答，哪些同意，哪些不同意。所有的问题都可解决。

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