Zmn-1095 薛问天: 不必再为显函数的表述和方程是函数的错误辩解了。评师教民先生《1092》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1092》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不必再为显函数的表述和方程是函数

的错误辩解了。评师教民先生《1092》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn。

1，关于显函数的问题。

1)，我认为师先生不要再为在显函数表述上的错误辩解了，问题如此清楚，还有什么可辩解的。

①，要知道〖表示为明显的解析表达式〗，我已经说了这不是我发明的，这是菲书中对显函数的解释的原话。还追问什么【你说的条件【明显的解析表达式】是什么？】又说什么【既然是【明显的解析表达式】，那么就应该用明显的数学式子写出来．薛问天先生始终不敢用明显的数学式子写出来，是薛问天先生不知道这【明显的解析表达式】是什么的缘故．】

不要再做这些无味的辩解了，毫无意义。

既然你在《1085》中辩解说【我并非只是注意到显函数的【函数的因变量被单独地放在了等式的左边，而函数的自变量包含在等式的右边的表达式中】的表达，从而满足了薛问天先生说的【这只是显函数的要求的一部分】．我更是4次注意到、并说明了表示函数的变量〖被解析出来〗，从而满足了薛问天先生说的『重要的是要求【表达式为明显的解析表达式】』．】

你都说了，你说的【被解析出来】满足了这个重要要求，怎么现在又再问【你说的条件【明显的解析表达式】是什么？】连是什么都不知道，怎么满足？简直在这里乱弹琴。

②，既然师先生认可了我的意見，【说“表示为明显的解析表达式的函数x=g (y) 或y=f (x)是显函数”正确】，而且说这也是他的观点。也就是说，正确的说法要在函数x=g (y) 或y=f (x)的前面加上条件【表示为明显的解析表达式】才能说它是显函数。当然不说这个要求，单说函数x=g (y) 或y=f (x)是显函数就是错误的。要知道并不是所有的函数都是显函数，这还有什么可辩解的。

说【出生在北京的中国人是北京人】是正确的。不说出生在北京这个条件。【单说中国人是北京人】当然就是错误的。要知道并不是所有的中国人都是北京人，这还有什么可辩解的。

可笑的是师先生竟然在问【什么叫做【单说】？【单说】的内容是什么？】这还用问吗，单说x=g (y) 或y=f (x)，就是没有说前面这个形容词，给这个函数加上这个【明显的解析表达式】条件，还用问吗？可笑的是后面师先生还在问【单说】与【明显的解析表达式】有什么本质区别？】这是师先生故意在此乱问。你再引用一下我说这话的原文，〖单说函数x=g (y) 或 y=f(x) 都不是显函数，只有当它们表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y) 或 y=f(x) 才说它是显函数。〗。单说就是没有说它们表示为明显的解析表达式，这还不明确吗？

③，我在《1068》中引述了菲书中的认为〖显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确〗，以及不能〖把按任何规则所给定的函数都看作显函数〗的原文。书中所举的显函数的例子y=sin x和y=lnx+√(1-x^2)，都是显的解析表示式。我说的〖只有当它们表示为明显的解析表达式时，这时的函数x=g (y) 或 y=f(x) 才说它是显函数。〗

己经说得如此清楚。而且师先生也己认可了我的意見。【说“表示为明显的解析表达式的函数x=g (y) 或y=f (x)是显函数” 正确】。怎么师先生还在那里【请薛问天先生......总结出显函数的一般式】？

2)，师先生不同意我说的这段话: 〖师先生说他各次都真的说了【被解析出来】，满足了我提的要求，意味着表示为明显的解析表达式．但是说着说着，师先生还是不愿意承认他的错误，于是就改口了．〗说【我从来没有改过口】。

其实师先生很清楚我的观点，很清楚关键点在哪里。他明明白白。他说【你薛问天先生说“单说函数x=g (y) 或y=f (x) 不是显函数”时也说了理由，理由为：【单说函数x=g (y) 或y=f (x)】就是没说【这个函数是被解析出来表示为明显的解析表达式】．】

也就是说，他清楚关键点在于说还是没说【这个函数是被解析出来表示为明显的解析表达式】这个条件。说了就没错，没说就是错的。为了证明他没错，所以就举了4次的例子，详细说明他说了【被解析出来表示为明显的解析表达式】。但是说着说着发现，实际上他大部分根本没说。我批评的就是他说的那句【 方程y=f (x) 才是以y为因变量的显函数的一般式；方程 x=g (y) 才是以x为因变量的显函数的一般式。】

那么没说不是就错了吗？为了不承认这个错误，就改口说【事实上，即使我不说〖被解析出来〗而只是说〖表示函数的变量y被单独地放在方程的左边〗也就够了，】认为说与不说【是一回事】。又否定了他前面的认可，最终还是不愿意承认他的错误。从详细说明他说了，转到认为说与不说【是一回事】，这不是改口是什么。

说和不说当然不同，怎么能【是一回事】呢！

师先生说【尽管你薛问天先生“没说【这个函数是被解析出来表示为明显的解析表达式】”，但是事实上，你薛问天先生单说的x=g (y) 或y=f (x) 是符合上述中名著说的显函数的特点的，是体现出了表示函数的变量被解析出来的标志的，】这当然是不符合实际的乱说，菲书中已明确说明不能〖把按任何规则所给定的函数都看作显函数〗。x=g (y) 或y=f (x)是代表一般函数的符号，不加说明，怎么能符合显函数的要求，体現【表示函数的变量被解析出来表示为明显的解析表达式】呢？

2，关于方程和函数的关系。

1)，师先生终于正式承认，他所说的【 F(x，y)=0既是隐函数，又是方程，】以及【 y=f (x) 既是显函数，又是方程，】的这些话，【世名著的原文中确实〖没有这样的语句〗】，这只是他的理解和推理。但是他要为他的理解来辩解。他说【这并不是我〖理解的错误〗】。可是他辩解的【理由】完全站不住脚，完全是他理解的错误。

明明书上说的是隐函数y=f (x) 是由方程F(x，y)=0【给出】和【表示】的，而师先生却把它理解为【是】，当然是错的。另外我已说过多次，函数表达式是等式，当然可以看作是方程式，但是方程和函数是两个不同的数学概念，当你把它分别看作是函数和方程时，含义不完全相同。所以不能简单地说函数就是方程。

2)，师先生提出下述5个问题，我试着回答如下

①变量x和y之间的一般关系与函数关系有什么区别？

答: 函数关系比一般关系要求高。方程要求的一般关系是对任何x和y，都使F(x,y)=0成立。函数关系y=f(x)要求 f 是自变量x到因变量y的映射关系。映射关系是满足单值条件的关系。即要求对任何x，都有y使y=f(x)，而且对任何x1和x2，若x1=x2，则f(x1)=f(x2)。当然一般关系没有这个要求。

②在函数和方程的区别中，薛问天先生说了函数有自变量和因变量,方程没有．除此之外，还有其他的区别吗？

答: 除此之外，具体内容上重要的区别是方程所给的变量x和变量y间的关系是一般关系。函数y=f(x)给出的关系是x到y的映射关系。函数x=g(y)给出的关系是y到x的映射关系。另外从概念上讲，方程和函数是两个不同的数学概念。

③函数的自变量和因变量的定义是什么？它们有什么区别？

答: 根据函数的定义，任何函数都有两个确定的不同变量，一个是自变量一个是因变量。自变量和因变量在函数中起的作用不同，因变量随自变量的变化而变，变化的取值由映射关系来确定。这就是它们的区别。

④极限理论或第二代微积分中的影(映)射的定义是什么？

答: 映射关系的定义非常明确。那就是满足单值条件的关系称为映射关系。详见①的回答。

⑤上述的中名著的前6版内没有影(映)射的概念，对于单值函数来说都是一一对应．你强调影(映)射概念后，一一对应是否还正确．

答: 师先生的说法是错误的。任何教材关于函数的定义都用的是【映射】，而不是【一一对应】。把函数关系说成是一一对应，这是严重的错误。我在《1061》中就说清楚了，我现在把当时的原文再引述如下。

〖沒想到师先生这次在《1057》中还坚持说【同济大学数学教研室主编、高等教育出版社连续出版的中国名著《高等数学》，前6版对一元单值函数y=f (x)的定义，都是用的【一一对应】，都不是用的【映射关系】，你薛问天先生敢说上述中国名著《高等数学》的前6版都错了吗？】

害得我又去查找。找到了个第五版，函数的定义写得清清楚楚，根本不是师先生所说的那样。函数的定义，原文如下。

〖定义  设数集D⊂R， 则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为y=f(x)，x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df，即Df=D。〗

写得清清楚楚，明明白白。是【映射】，哪里是什么【一一对应】。

师先生太不负责任人了，随意乱说。函数就是由映射定义的。把函数定义为【一一对应】当然是错误的。

师先生，你发现哪本教材把函数定义为【一一对应】，请把原文发出来，我们大家一起来批评。不要在这里乱说。〗

师先生，这是我在《1061》中就写清楚了，怎么你现在还在发问？

3，我还是坚持再次重申在《1068》中的那段话。

〖关于我们讨论的问题(3)，师先生的主要错误我在《 1050》中做了全面的分析。但师先生对此并未做出认真的回复。希望师先生对《1050》中的一，二和三详细阅读，认真回答，哪些同意，哪些不同意。所有的问题都可解决。〗

因为解决【问题(3)】就是要纠正dx1=dx2的错误。《1050》对此做了全面的分析。解决【问题(3)】就是必须要对这些问题，一个个做出正面的回答。

我的这个申明当然不是什么【想转移视线或目标】，而是为了集中精力尽快解决我们讨论的主要问题。现在讨论的显函数的表达方式和方程是不是函数的问题，同我们要解决的微分是否相同的问题确实没多大关系。不要被这些不相干的问题实际上起到了【转移視线或目标】的作用。

4，关于讨论的总结。

1)，我认为在显函数问题上，可以有共识。那就是 :

函数 x=g (y) 或y=f (x) ，当它们表示为明显的解析表达式时，是显函数。不是所有的函数都是显函数。

或者等价地说:

表示为明显的解析表达式的函数x=g (y) 或y=f (x) 是显函数。不是所有的函数都是显函数。

2)，关于方程和函数的关系，有如下共识:

方程和函数在数学上是两个不同的概念，但有密切的关系。同意名著书上的表述是正确的。

但也有不同的认识。师教民先生认为【 F(x，y)=0既是隐函数，又是方程，】以及【 y=f (x) 既是显函数，又是方程，】是他对名著书的表述的理解和推论。薛问天先生认为这是师先生对书的错误理解。我认为这些不同的认识可以暂时保留，不必争论了，不影响后面主要问题的讨论。

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