Zmn-1094 薛问天: 所有的自然数都生成完成后，才算这个无限集合生成过程的完成。回复新华先生的《1093》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生的《Zmn-1093》一文的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

所有的自然数都生成完成后，才算这个无限集合

生成过程的完成。回复新华先生的《1093》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

新华先生对我《1089》所说的内容做了如下的归纳。 

【所有自然数这个无穷集合的生成过程能够结束完成】则表明：1、自然数集是无穷集；2、所有自然数生成过程能够结束完成；3、所有自然数都是由 0 经有穷次加 1 得到的；4、完成后得到所有的自然数都由有限个自然数构成的有限集；5、所有的由有限个自然数构成的有限集有无穷多个有限集合；6、这无穷多个有限集合的并集就是所有自然数构成的无限集合；7、这个集合有确定的外延，有无限多个元素。

然后提出了如下几个问题，我现在逐项回答如下。  

1、由“3、”可知：所有自然数“都是由 0 经有穷次加 1 得到的”，表明所有的自然数生存过程已经结束完成，不会再也新的自然数产生；则表明根据无穷公理的逻辑表达式{𝒏}∪𝒏已经结束完成，自然数是有限的，如何体现它们的无限？

答 : 应了解这个事实。所有的自然数，每个都是有限的。即每个自然数都可由0经有穷次的后继运算，即{𝒏}∪𝒏运算，而得到。在每个自然数生成过程完成后，这个自然数当然不需要再做后继运算。表示此自然数的生成过程己经完全。但要生成所有的自然数。也就是说所有的自然数的生成过程都要完成。当所有的自然数全部的生成过程完成后，就不需要【也不会再有新的自然数産生】。生成的所有的自然数有无穷多个，即全体所有自数构成的集合是无穷集合。这不是矛盾，是事实。即每个自然数是有限的，但所有的自然数是无穷的。

2、由“4、”可知：由于任意一个自然数都是有限的，根据无穷公理的逻辑表达式{𝒏}∪𝒏，任意一个自然数都是由有限多个自然数构成的有限集；表明任意一个自然数构成的有限集都是静态有限集，自然数𝒏+1，𝒏+2，„是否是自然数？是否也可以是成由有限多个自然数构成的有限集？ 

答 : 无穷公理表达的归纳集，是以空集{}为0，以{𝒏}∪𝒏作为后继运算。这样定义下的自然数也都是自然数的有限集。即【任意一个自然数都是由有限多个自然数构成的有限集；表明任意一个自然数构成的有限集都是静态有限集，】即0={}，1={0}，2={0,1}，....，n={0,1,2,3,...,n-1}，...。当然所有的自然数，如𝒏+1={0,1,2,3,...,n}，𝒏+2={0,1,2,3,...,n+1}，...，都是自然数。在这种定义下，每个自然数都是可以由有限多个自然数构成的有限集。

3、由“5、”可知：所有表示自然数的有限集就有无穷多个有限集合；是否包括自然数𝒏+1，𝒏+2，... 由有限多个自然数构成的有限集？ 

答: 当然。所有表示自然数的有限集，有无穷多个，其中包括上面所说的自然数𝒏+1，𝒏+2，...等所有由有限多个自然数构成的有限集。

4、由“6、”可知：所有表示自然数的有限集就有无穷多个，有限集合的并集就是所有自然数构成的无限集合；是否含有自然数𝒏+1，𝒏+2，... 由有限多个自然数构成的有限集？

答: 是的。所有自然数构成的无限集合： N=0∪1∪...∪n∪(n+1)∪(n+2)∪...。注意，对于这样定义的自然数集合，有性质 N=∪N。

5、由“7、”可知：这个集合有确定的外延，有无限多个元素中，是否包括自然数𝒏+1，𝒏+2，„？ 

答: 当然。0∈N，1∈N，...，n∈N，n+1∈N，n+2∈N，...。这个集合包括所有的自然数。

  6、我们知道构成集合有三大要素 1，元素的确定性；2、元素的互异性；3、元素的无序性；但是当元素个数较多时，往往可以通过元素的序分析出元素的规律，因此在元素个数较多数，集合中元素都是按照一定顺序排列的，只要根据前面有限多个元素，就能分析出后面的元素存在情况。既然自然集有无穷多个确定的自然数，而且都是有限的，按照无穷公理的逻辑表达式{𝒏}∪𝒏已经结束完成，生成的最大自然数就是𝒏，从 0 排到𝒏就应该完成结束，那只能是有限静态集，无穷自然数静态集中，𝒏后面是什么元素？如何通过它们体现，无穷自然数集是静态完成结束的？ 

答: 所谓元素的无序性，是指对一般的集合并无序的要求。不过有的集合当生成后，可以在元素间建立序的关系，称为有序集。注意，在元素间建立序的关系，并不是为了，也不能【根据前面有限多个元素，就能分析出后面的元素存在情况。】只是说元素间有大小的序关系。

无穷公理说的是归纳集N的存在。其中的表达式{𝒏}∪𝒏，表示的意思是说如果n∈N，则有{𝒏}∪𝒏∈N。通常把{𝒏}∪𝒏称为n的后继，是在定义归纳集的性质。即如果n属于N，则n的后继也属于N。

我们所说的自然数是有限的，是说每个自然数都可以由0经有穷次的后继运算而得到。

这一切都推不出新华先生所说的【按照无穷公理的逻辑表达式{𝒏}∪𝒏已经结束完成，生成的最大自然数就是𝒏，从 0 排到𝒏就应该完成结束，那只能是有限静态集，】这样的错误结论。

每个自然数n只需要有穷次的后继即可生成，完成结束。为什么【生成的最大自然数就是𝒏】。要知道自然数没有最大数。在生成完n以后，还需要生成n+1,n+2,...，我们所说的无限集的生成过程的完成，是指所有的自然数的生成都要完成。显然任何n都不是最大数。也就是说，新华先生所说的【从 0 排到𝒏就应该完成结束，那只能是有限静态集，】那只能是自然数n和这个有限集{0,1,2,...,n}生成的完成。而不是我们所说的无限集的全部生成过程的完成。

新华先生最后问【无穷自然数静态集中，𝒏后面是什么元素？如何通过它们体现，无穷自然数集是静态完成结束的？ 】就好回答了。n不是最大自然数，所以在n生成好后还需要生成n+1,n+2,...。当所有的自然数都生成完后，这个动态生成过程就完成了，所有自然数的集合就生成了，这时才是静态。它就是所生成的无穷多个自然数有限集的并集。

7，参加专栏探讨的人都是懂得计算的，请薛问天老师也可以通过具体计算给我解惑！

答; 其实，我认为数学的关键是逻辑推理，并不是计算，只能靠逻辑思维来解惑，靠计算解不了惑。

不过，目前有种时髦，很多人崇拜计算机飞速发展的AI。当然这也是事实。当前的人工智能确实发展很快，特别是在同人的对话交流，自然语言的理解，帮人做很多事等方面确实有惊人的进展。但是真正的逻辑思维，对这些深入数学问题的探讨和解释，我感到还有很大差距。新华先生谈到这个，我也试着设法问了ChartGPT一个问题。大家看看他的回答，评论一下他的水平。肯定靠AI解不了感。问答记录原文如下。

【问 : 请解释研究集合论为什么要持現代实无穷观？

回答 : 研究集合论持现代实无穷观的原因在于该观点提供了一个更严谨、更丰富的数学框架，使得数学家能够更好地探索和理解无穷集合的性质和结构。以下是一些支持现代实无穷观的理由：

1. **逻辑一致性：** 现代实无穷观下的集合论建立在一致的逻辑基础上，通过公理化的方法严格定义了集合的概念以及集合之间的关系。这种严格的逻辑框架使得数学推理更加清晰和可靠。

2. **丰富的结构：** 实无穷观允许数学家研究各种无穷集合的结构和性质，包括无限可数集合（如自然数集合、整数集合）、不可数集合（如实数集合），以及更复杂的集合结构。这种丰富性使得集合论能够应用于各种数学领域，如分析学、代数学、拓扑学等。

3. **应用广泛：** 现代实无穷观下的集合论不仅在数学内部有重要应用，还在计算机科学、物理学、工程学等各个领域都有广泛的应用。例如，集合论在计算机科学中被用来研究算法复杂度、数据结构等问题，而在物理学中也有用于描述连续性和无限性的应用。

4. **数学发展：** 实无穷观为数学的发展提供了重要的推动力，激发了数学家对于无穷性和抽象性的探索。许多重要的数学成果，如康托尔的连续统假设和不确定性原理，都与无穷集合的研究密切相关。

综上所述，持现代实无穷观的集合论为数学研究提供了一个坚实的基础，推动了数学的发展，并且在各个领域都有重要的应用和影响。】

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