Zmn-1119 一阳生 : 与林益先生讨论无穷问题′

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与林益先生讨论无穷问题

一阳生

一、对【无穷】概念的理解要同一，这是讨论的基础。

林益先生说要首先有无穷的概念，然后才能讨论无穷过程。笼统的说我是认可这句话的。

林益先生说无穷过程的特征是：（可按照一定规律）不断延伸，有始无终，不能完成，不能结束。

林益先生所说的无穷过程在我看来是潜无穷过程。而一般认为的无穷和无穷过程中的无穷都是指实无穷。

对于无穷概念的理解，我们须要保持同一。这是讨论的基础。我下面称呼的无穷均指实无穷。

二、我对【无穷】概念的理解。

【无穷】(包括有穷和潜无穷)都是对对象的某一方面性质(数量属性或基数属性)的定性表达。当然这不能成为严格的数学定义。无穷概念本身不是对象，具体的对象如无穷集合、无穷序列等是说集合的元素、序列的项等有无穷个。

通常某类型对象的全体作为一个整体概念或整体对象才具有无穷的性质。

以我的认识，我认为全体自然数和全体自然数集合是一切其他具体无穷对象的存在基础。

遗憾的是没有看到林益先生对全体自然数和全体自然数集合的存在进行过论证。

不过如果林益先生不认可无穷，自然就不会承认全体自然数和全体自然数集合的存在。

三，关于全体自然数存在的证明与形象说明，后继数与后继运算各自代表的含义不同。

根据自然数的集合论定义：【空集{}作为自然数存在】，这是某自然数的存在性，可计为0。【对于任一自然数n，若n作为自然数存在，则n的后继数{n}Un也作为自然数存在】。这是任意两个相邻自然数之间的关联，他们共同的同时的存在。最后根据数学归纳法原理，得出全体自然数都存在。

如果把全体自然数视觉化为串起来的自然数链条，则是一个没有尽头的、看不到也想象不到尽头的、也不允许有尽头的链条。每个自然数都已串在其中。

要知道不管是皮亚诺公理中还是自然数的集合论定义中，都强调【后继数】概念，{n}Un是n的后继数。没有【后继运算】概念出现。

后继数概念表达两个相邻自然数之间的一种静态的后继关系，体现了全体自然数在存在性上的关联，他们共同的同时的存在。后继运算概念是后继数概念的引申，强调行为动作，可表达潜无穷过程的不断延伸的动态性。

他们带来不同结果，每个自然数都有后继数，可借此证明全体自然数都存在。由0开始的后继运算则无法穷尽全体自然数，永远达不到链条的尽头。

四、关于两种无穷观

林益先生关于潜无穷过程或潜无穷状态的特征描述，我是认同的。每一个具体的潜无穷过程都会导致一个唯一的动态结果。动态结果应被承认为是数学中的合法对象。

根据上面全体自然数存在的证明进一步推论可知，实无穷对象是由集合论的自然数定义(或皮亚诺公理)及集合论公理直接保证存在的，其元素数量是固定不变的，在公理中和论证过程中完全没有对无穷过程的表述。

这两种无穷观虽然不矛盾，但也是泾渭分明的。反映在客观世界中，就是单独的有穷过程和潜无穷过程无法达成无穷过程。

五、关于小球运动的无穷过程中为什么会有第二子过程。

林益先生用量变质变来比喻数列项的延伸规律(通项之间的运算)与极限运算的不同。他们确实是不同的。0.9,0.99,0.999，⋯中确实不包括1。但我们讨论的是客观世界中的无穷过程的完成，不是讨论潜无穷过程。

数学中的无穷没有过程，更谈不上结束完成。客观世界中可以有无穷过程。但客观世界中的无穷过程不可能由潜无穷过程这第一子过程单独完成，还须要通过第二子过程参与接力才能完成全部无穷过程。

根据对小球运动经过点数的计数操作的不同和直线上点的性质，必然存在第二子过程。我已在《Zmn-1111》和《Zmn-1113》的跟帖评论中作了详细论证。

六，存在与完成的关系。

林益先生说：“存在与完成没有直接的因果关系。”

这个要具体情况具体分析。如果该存在作为对象，他的内涵由其数量属性定量的决定，则随着数量的变化，该存在不满足同一律，从而不再成为该存在。如果该存在作为对象，他的内涵不由其数量属性决定，即使随着数量的变化，该存在依然是该存在。

比如集合对象其内涵受元素数量影响，数量变化，该集合将不再成为该集合。比如全人类作为一个整体对象(但不是作为集合对象)，即使人类数量变化，其定义也是一直不变的，全人类依然是全人类。

可见如果讨论集合对象，包括无穷集合，其元素都是固定不变的。不恰当的说，其存在与完成有直接的关系，存在即是已完成。(把完成改为元素固定不变才是恰当的。)

最后再次强调，林益先生的不能结束动态延伸的无穷过程，只是潜无穷过程。

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